Slide 1 Chương 5 Phương trình vi phân IUH 2022 Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM

Slide 1 Chương 5 Phương trình vi phân IUH 2022 Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí ThS Hồ Thị Bạch Phương Mục tiêu của chương  Giải phương trình vi phân (Ordinary Differential Equa.

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí Chương 5: Phương trình vi phân ThS Hồ Thị Bạch Phương IUH - 2022 Mục tiêu chương  Giải phương trình vi phân (Ordinary Differential Equations ODEs)  Sự quan trọng phương pháp số giải ODEs  Đánh giá độ tin cậy phương pháp Đạo hàm ( vi phân) Đạo hàm Đạo hàm dv dt v hàm biến độc lập Đạo hàm riêng u y u hàm biến độc lập Phương trình vi phân Phương trình vi phân Phương trình vi phân d v  tv  dt Gồm hay nhiều đạo hàm hàm ẩn số Phương trình đạo hàm riêng u u  0 y x 2 Gồm nhiều đạo hàm toàn phần hàm ẩn số Phương trình vi phân (Ordinary differential equation ODE) Phương trình vi phân (ODEs) gồm nhiều đạo hàm hàm ẩn với biến độc lập Ví dụ: dv(t) t  v(t)  e dt d x(t) dx(t) 5  2x(t)  cos(t) dt dt x(t): Hàm ẩn t: Biến độc lập Bậc phương trình vi phân Bậc phương trình vi phân bậc đạo hàm cao Ví dụ: dx(t)  x(t)  e t Bậc ODE dt d x(t) dx(t) 5  2x(t)  cos(t) Bậc ODE dt dt d x(t) dx(t)   2x (t)  Bậc ODE dt dt ODE tuyến tính Một phương trình vi phân ODE tuyến tính hàm đạo hàm xuất với lũy thừa Khơng có tích hàm và/hoặc đạo hàm Ví dụ: dx(t) ODE tuyến tính  x(t)  e t dt d x(t) dx(t) ODE phi tuyến   2t x(t)  cos(t) dt dt  d x(t)  dx(t)  x(t)     dt  dt  ODE phi tuyến ODE phi tuyến Một phương trình ODE phi tuyến Nếu hàm đạo hàm xuất lớn Có tích hàm và/hoặc đạo hàm Ví dụ: dx(t)  cos(x(t))  dt d x(t) dx(t)  x(t)  2 dt dt d x(t) dx(t)   x(t)  dt dt Giải phương trình vi phân pp số x(t)  cos(2t) Là nghiệm pt vi phân d x(t)  4x(t)  dt Tất hàm với x(t) = cos(2t) + c nghiệm pt vi phân với c số Để giải pt vi phân bậc n cần n điều kiện d x (t )  x ( t )  dt x (0)  a x (0)  b ODE bậc 2 điều kiện cần để giải Điều kiện phụ (Auxiliary Conditions) Điều kiện phụ  Điều kiện ban đầu Điều kiện biên Tất điều kiện điểm biến độc lập  Các điều kiện khơng điểm biến độc lập Bài toán giá trị biên giá trị ban đầu Bài tốn giá trị ban đầu • 10 Tất điều kiện điểm biến độc lập Bài toán giá trị biên  Các điều kiện khơng điểm biến độc lập  Giải tốn khó tốn giá trị ban đầu x  x  x  e 2t x  x  x  e 2t x(0)  1, x (0)  2.5 x(0)  1, x(2)  1.5 Giống Khác Bài tập Dùng pp RK bậc (pp điểm để giải pt vi phân sau), x khoảng [0, 2], y(0) = với h = 0.5 h = 0.25 y’ = yx2 – 1.1y Giải pt vi phân sau dùng pp RK2 (pp Heun) với x khoảng [0,1] với h = 0.25, y(0) = y’= (1+4x)y0.5 40 Pt vi phân bậc cao Làm để giải pt ODE bậc cao x" 3x ' 6x  Cách tổng quát để giải pt ODE bậc cao Pt ODE bậc cao Chuyển đổi Hệ pt ODEs bậc z2  z '1     z '   1  3z  6z  , 1 Chuyển    x" 3x ' 6x  đổi 4 x '(0)  1; x(0)  Z(0)    1  ODE bậc 41 pt ODEs bậc Z véc tơ (khác z) Giải Giải Quá trình chuyển đổi Chọn biến phụ thuộc Một cách để lấy biến phụ thuộc ban đầu đạo hàm đến bậc thấp đạo hàm cao Viết phương trình vi phân theo biến Biểu diễn phương trình dạng ma trận Chú ý trình chuyển đổi Pt vi phân có bậc n chuyển đổi sang hệ n pt vi phân bậc Có vơ số cách để lựa chọn biến Kết là, pt vi phân bậc cao có số lượng vơ hạn tập hợp hệ pt vi phân bậc tương đương Sử dụng bảng để làm cho việc chuyển đổi dễ dàng 42 Ví dụ 7: Chuyển đổi pt ODE bậc cao tới ODEs bậc x" 3x ' 6x  1, x '(0)  1; x(0)  Giải Chọn biến mới: ODE bậc nên cần biến z1  x Còn lại đạo hàm bậc z2  x ' Tên cũ Tên x z1 x' z2 Giá trị ban đầu Phương trình z '1  z z '2   3z  6z1 z2  z'1     4  z'   1  3z  6z  , Z(0)  1     2  1 43 Ví dụ 8: Chuyển đổi pt ODE bậc cao tới ODEs bậc x"' 2x" 7x ' 8x  x"(0)  9, x '(0)  1; x(0)  Giải Chọn biến mới: ODE bậc nên cần biến Giá trị ban đầu Phương trình z1  x z2  x ' z  x" Tên cũ Tên x z1 z '1  z x' z2 z '2  z x" z3 z '3  2z  7z  8z1 44 z2  z '1    4 z '       z3 , Z(0)   2      z '3   2z  7z  8z1  9  Ví dụ 9: Chuyển đổi pt ODE bậc cao tới ODEs bậc x"' 5x" 2x ' 8y  y" 2xy  x '  x(0)  4; x '(0)  2;x"(0)  9; y(0)  1; y'(0)  3 Giải z1  x z2  x ' Chọn biến mới: ODE bậc cho biến nên cần (3+2) biến Giá trị ban đầu Phương trình z  x" Tên cũ Tên x z1 z '1  z x' z2 z '2  z x '' z3 z '3  5z  2z  8z y z4 z '4  z y' z5 3 z '5   z  2z1z 45 z4  y z5  y ' Giải pt vi phân bậc  Giải pt dùng pp Euler Dùng h = 0.1, tính 0.1 0.2 x" 2x ' 8x  x(0)  1;x '(0)  2 Giải Chọn biến mới: z1  x,z  x ' Pt bậc biểu diễn z2  z'1    1 Z  F(Z)      , Z(0)      2  z'2    2z  8z1  46 z2   1 F(Z)   , Z(0)    ,h  0.1   2   2z  8z1  Z(0  0.1)  Z(0)  hF(Z(0)) 2 1    0.8      0.1     2   2(2)  8(1)   2.2 Z(0.2)  Z(0.1)  hF(Z(0.1)) 2.2  0.8     0.58    0.1       2.2  2(  2.2)  8(0.8)  2.2       Tóm tắt: Các công thức dùng giải pt vi phân bậc ODE dùng để giải hệ pt vi phân bậc Khi thay biến hàm vơ hướng có biến hàm dạng véc tơ Pt ODEs bậc cao chuyển đổi thành hệ bậc 47 Ứng dụng giải toán độ võng dầm chịu lực phân bố Giải cho Bài toán giá trị (điều kiện) biên Dùng lại tính sai phân số chương Phương trình vi phân cho độ uốn y: x: vị trí dọc theo dầm E: hệ số Young 2 d y q( L  x ) I: mô men  q: tải dx EI L: chiều dài dầm Điều kiện biên y(x  0)  48 dy ( x  0)  dx Ví dụ 10: Độ võng y dầm chịu lực phân bố lực kéo, T, tâm sau: d y Ty qx( L  x)   EI EI dx Cho T = 7200N, q = 5400N/in, L = 75 in, E = 30Msi, I = 120 in4 Tính y x = 50 in với độ dài bước h = Δx = 25in, dùng công thức sai phân trung tâm 49 Thay giá trị cho vào: d y 7200y (5400)x(75  x)   dx (30  10 )(120) 2(30  106 )(120) d2y 6 7   10 y   10 x(75  x) dx Xấp xỉ đạo hàm bậc công thức sai phân trung tâm d y yi 1  yi  yi 1  2 dx ( x ) 50 Chúng ta viết lại pt: yi1  2yi  yi1 6 7   10 y  7.5  10 x i (75  x i ) (*) i (x) Khi Δx = 25 in ta có điểm dầm x1  x  x1  x   25  25 x  x  x  25  25  50 x  x  x  50  25  75 51 Ở bảng giá trị cho trước độ võng Điểm 1: x1 = 0, y1 = theo điều kiện biên tựa gối Điểm 2: Viết lai pt (*) cho điểm y3  y  y1 6 7   10 y   10 x2 (75  x2 ) 2 (25) 0.0016y1  0.003202y  0.0016y3  7.5  107 (25)(75  25) 0.0016y1  0.003202y  0.0016y3  9.375  10 4 Điểm 3: Viết lai pt (*) cho điểm y  y3  y 6 7   10 y3  7.5  10 x3 (75  x3 ) (25) Điểm 4: x4 = 75, y4 = theo điều kiện biên tựa lăn 52 Sắp xếp pt điểm dạng ma trân  0   y1  0  0.0016  0.003202   y  9.375  10   0016        0.0016  0.003202 0.0016  y  9.375  10        0   y  0    y1  0  y        0.5852  y   0.5852       y  0 y(50)  y(x )  y3  0.5852" 53 Bài tập Dùng pp Euler RK (pp Heun) để giải pt vi phân sau: y” - 0.5y’ + y = với y(0) = y’(0) = Giải cho x từ đến với h = 0.1 Dùng pp Euler RK (điểm giữa) để giải pt vi phân sau y” + 0.6y’ + 8y = mà y(0) = y’(0) = giải x = đến x = với h = 0.5 54 ... (y (0 .1)  0 .11 95) 0 .17 71     Y(0 .1  h)  Y(0 .1)  0 .5( K1  K )  y1 (0.2)   0.89   0 .11 95? ?? 0 .13 84   0.7 611   y (0.2)   ? ?1. 1 95    0 .18 90   0 .17 71? ??    1. 3780   ... 0. 01)  y (1)   K1  K  /  4  (0 .18  0 .16 62) / 32  3.8269 Buoc : K1  h f (x1  1. 01, y1  3.8269)  0. 01( 1  y  x )  0 .16 68 K  h f (x1  h, y1  K1 )  0. 01( 1  (y1  0 .16 68)  (x1...   1? ??      y2 (0 .1)  0 .11 95? ?? B2 : K1  h F(0 .1, Y(0 .1) )  0 .1      y (0 .1) 0 .18 90      y2 (0 .1)  0 .18 9  0 .13 84 K  h F(0 .1  1* h,Y(0 .1)  K1 )  0 .1      (y (0 .1)