Slide 1 Chương 6 Phương trình đạo hàm riêng

Slide 1 Chương 6 Phương trình đạo hàm riêng IUH 2022 Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí ThS Hồ Thị Bạch Phương Phương trình đạo hàm riêng 2 Một phương trình đạo hàm riêng (PDE) là.

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí Chương 6: Phương trình đạo hàm riêng ThS Hồ Thị Bạch Phương IUH - 2022 Phương trình đạo hàm riêng Một phương trình đạo hàm riêng (PDE) phương trình mà bao gồm hàm đạo hàm riêng Ví dụ:  u(x, t)  u(x, t)  x t PDE bao gồm nhiều biến độc lập (trong ví dụ x t biến độc lập) Chú ý  u(x, t) u xx  x  u(x, t) u xt  x t Bậc pt đạo hàm riêng = bậc đạo hàm cao PDE tuyến tính : Phân loại Một PDE tuyến tính tuyến tính hàm đạo hàm Ví dụ PDE tuyến tính u xx  u xt  u tt  u x  cos(2t)  u xx  u t  u x  Ví dụ PDE phi tuyến u xx   u xt   u tt  u xx  u xt  3u t  u xx  u xt u t  3u t  Phân loại PDE PDE tuyến tính bậc hai tập hợp phương trình sử dụng để mơ hình hóa nhiều hệ thống nhiều lĩnh vực khác khoa học kỹ thuật Phân loại quan trọng :  Mỗi thể loại có liên quan đến vấn đề kỹ thuật cụ thể  Phương pháp khác sử dụng để giải loại PDEs tuyến tính bậc hai Một PDE tuyến tính bậc (2- biến độc lập) A u xx  B u xy  C u yy  D  A, B C hàm x y D hàm x, y, u, ux, uy phân loại dưa (B2 – 4AC) sau: B2  4AC  Elliptic B2  4AC  Parabolic B2  4AC  Hyperbolic PDE tuyến tính bậc Ví dụ:  u(x, y)  2u(x, y)  0 2 x y Phương trình Laplace A  1,B  0,C   B2  4AC  Pt Laplace Elliptic Một giải pháp u(x, y)  e sin y x u x  e x sin y, u xx  e x sin y u y  e cos y, u yy  e sin y x u xx  u yy  x PDE tuyến tính bậc Ví dụ:  u(x, t)  u(x, t)  0 Phương trình nhiệt  x t A   , B  0, C   B2  4AC  Phương trình parabolic Phương trình sóng  u(x, t)  u(x, t) c  0 2 x t A  c  0, B  0, C  1  B2  4AC  2 Phương trình hyperbolic Điều kiện biên cho PDEs  Để giải cho PDE, tập hợp điều kiện biên cần  Điều kiện biên thông thường khơng thơng thường  u(x, t) u(x, t) PT nhiệt :   0 x t u(0, t)  t Vùng biên quan tâm u(1, t)  u(x,0)  sin( x) x Các phương pháp giải cho PDEs  PP giải tích cho trường hợp đơn giản đặc biệt  Để sử dụng tính chất phương trình, phương pháp khác sử dụng để giải loại khác PDEs  PP thảo luận dựa phương pháp sai phân hữu hạn  T(x, t)  T(x, t)  PT nhiệt : t x T(0, t)  T(1, t)  T(x,0)  sin( x) ice ice x PT parabolic B2 – 4AC = Các điều kiện biên cần để giải Phương pháp sai phân hữu hạn  Chia khoảng x thành khoảng nhỏ, khoảng có bề rộng h  Chia khoảng t thành khoảng nhỏ, khoảng có bề rộng k  Một lưới điểm dùng cho giải pháp sai phân hữu hạn Ti,j biễu diễn T(xi, tj)  Thay đạo hàm công thức sai phân hữu hạn t x 10 Phương pháp sai phân hữu hạn Thay đạo hàm công thức sai phân hữu hạn  T Công thức sai phân trung tâm hữu hạn cho : x Ti 1, j  2Ti, j  Ti 1, j  T(x, t) Ti1, j  2Ti, j  Ti 1, j   2 x ( x ) h Công thức sai phân thuận hữu hạn cho T : t T(x, t) Ti, j1  Ti, j Ti, j1  Ti, j   t t k 11 Phương pháp giải T(x, t)  2T(x, t)  t x T(x, t  k)  T(x, t) T(x  h, t)  2T(x, t)  T(x  h, t)  k h2 k T(x, t  k)  T(x, t)   T(x  h, t)  2T(x, t)  T(x  h, t)  h k Định nghĩa   h T(x, t  k)   T(x  h, t)  (1   ) T(x, t)   T(x  h, t) 12 Phương pháp giải Làm tính ? T(x, t  k)   T(x  h, t)  (1   ) T(x, t)   T(x  h, t) nghĩa là: T(x-h,t) 13 T(x,t+k) T(x,t) T(x+h,t) Hội tụ ổn định T(x, t+k) tính trực tiếp dùng: T(x, t  k)   T(x  h, t)  (1   ) T(x, t)   T(x  h, t) Có thể khơng ổn định, để bảo đảm ổn định : h2 (1   )      k 2 Điền nghĩa k phải nhỏ nhiều h dẫn đến tính tốn chậm Hội tụ: Các giải pháp hội tụ nghĩa giải pháp đạt dùng phương pháp sai phân hữu hạn tiệm cận tới giải pháp độ dài bước Δx Δt tiệm cận zero Ổn định: Một giải thuật ổn định sai số bước tính khơng tăng q trình tính tốn 14 Ví dụ: Pt nhiệt t Giải PDE Nhiệt độ  u(x, t) u(x, t)  0  x t u(0, t)  u(1, t)  u(x,0)  sin( x) Dùng h = 0.25, k = 0.25 để tìm u(x,t) cho x ϵ [0,1] t ϵ [0,1] k  4 h 15 x  u(x, t)  u(x, t)  0 x t u(x  h, t)  2u(x, t)  u(x  h, t) u(x, t  k)  u(x, t)  0 h k 16  u(x  h, t)  2u(x, t)  u(x  h, t)    u(x, t  k)  u(x, t)   u(x, t  k)  u(x  h, t)  u(x, t)  u(x  h, t) t=1.0 0 t=0.75 0 t=0.5 0 t=0.25 0 t=0 0 sin(0.25π) sin(0 5π) sin(0.75π) x=0.0 16 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 u(0.25,0.25)  u(0,0)  u(0.25,0)  u(0.5,0)   sin( / 4)  sin( / 2)  0.9497 t=1.0 0 t=0.75 0 t=0.5 0 t=0.25 0 t=0 sin(0.25π) sin(0 5π) sin(0.75π) x=0.0 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 Bài tập: Hồn thành giá trị cịn thiếu bảng 17 Chú ý: Các kết đạt khả chưa đạt độ xác vì: - 2λ = -7 Cho kết xác: - 2λ ≥ h (0.25)   0.03125 Chúng ta cần chọn k: k  2 k Ví dụ chọn k = 0.025    0.4 h 18 u( x, t  k )  0.4 u( x  h, t )  0.2 u( x, t )  0.4 u( x  h, t ) t=0.10 0 t=0.075 0 t=0.05 0 t=0.025 0 t=0 0 sin(0.25π) sin(0 5π) sin(0.75π) x=0.0 19 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 u(0.25,0.025)  0.4 u(0,0)  0.2 u(0.25,0)  0.4 u(0.5,0)   0.2 sin( / 4)  0.4 sin( / 2)  0.5414 t=0.10 0 t=0.075 0 t=0.05 0 t=0.025 0 t=0 0 Sin(0.25π) Sin(0 5π) Sin(0.75π) x=0.0 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 Bài tập: Hoàn thành giá trị thiếu bảng 20 .. .Phương trình đạo hàm riêng Một phương trình đạo hàm riêng (PDE) phương trình mà bao gồm hàm đạo hàm riêng Ví dụ:  u(x, t)  u(x, t)  x t PDE bao...  0 Phương trình nhiệt  x t A   , B  0, C   B2  4AC  Phương trình parabolic Phương trình sóng  u(x, t)  u(x, t) c  0 2 x t A  c  0, B  0, C  ? ?1  B2  4AC  2 Phương trình. .. u(x, t) u xx  x  u(x, t) u xt  x t Bậc pt đạo hàm riêng = bậc đạo hàm cao PDE tuyến tính : Phân loại Một PDE tuyến tính tuyến tính hàm đạo hàm Ví dụ PDE tuyến tính u xx  u xt  u tt  u