Chương 1 Giải phương trình đại số

Chương 1 Giải phương trình đại số 1 1 Giới thiệu 1 2 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm 1 3 Một số phương pháp lặp giải phương trình 1 4 Giải bài toán cơ cấu bốn khâu bản lề Chương 1 Giải phương trình đạ.

Đại Học Cơng Nghiệp Tp.HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí Chương 1: Giải phương trình đại số ThS Hồ Thị Bạch Phương IUH - 2022 Phương pháp số Phương pháp số: Các giải thuật dùng để đạt giải pháp số vấn đề toán học Tại cần phương pháp số ? Khơng có giải pháp giải tích để giải tốn Một giải pháp giải tích khó khăn để có khơng thực tế Cơ phương pháp số: Thực hành: Có thể tính khoảng thời gian hợp lý Chính xác: Xấp xỉ tốt so với giá trị thực, Thông tin sai số xấp xỉ Giải phương trình phi tuyến Một vài phương trình đơn giản giải pp giải tích: x  4x   4   4(1)(3) Nghiệm giải pp giải tích  2(1) x  1 and x  3 Nhiều pt khác khơng thể giải pp giải tích: x  2x     x xe  Các phương pháp lặp để giải phương trình phi tuyến - Phương pháp Bisection (Phương pháp chia đơi) - Phương pháp Newton-Raphson (hay cịn gọi pp Newton – pp tiếp tuyến) - Phương pháp Secant (Phương pháp cát tuyến, dây cung) Độ xác Độ xác có liên quan đến gần với giá trị thực Định nghĩa sai số – Sai số thực Có thể tính giá trị thực biết: Sai số thực tuyêt đối Et = |Giá trị thực – Giá trị xấp xỉ| Phần trăm sai số tương đối εt = {|Giá trị thực – Giá trị xấp xỉ|/|Giá trị thực|}*100 Sai số ước tính Khi giá trị thực không biết: Sai số tuyêt đối ước tính Ea = |Giá trị ước tính – Giá trị ước tính trước| Phần trăm sai số tương đối εa = {| Giá trị ước tính – Giá trị ước tính trước|/| Giá trị ước tính |}*100 Tìm nghiệm phương trình Cho trước hàm liên tục f(x), tìm giá trị r cho f(r) = Những vấn đề gọi tìm nghiệm phương trình Nghiệm phương trình Một số r thỏa mãn phương trình gọi nghiệm phương trình Pt: x  3x  7x  15x  18 Có nghiệm:  2, 3, 3,and  i.e., x  3x  7x  15x  18  (x  2)(x  3) (x  1) Pt có nghiêm đơn -2 -1 nghiệm kép (lặp lại lần) Khoảng phân ly nghiêm: Khoảng [a,b] gọi lã khoảng phân ly nghiêm phương trình chứa nghiệm phương trình Zero hàm f(x) hàm số thực biến thực Bất số r mà làm f(r) = gọi zero hàm Ví dụ: zero hàm f(x) = (x-2)(x-3) Các Zero đơn Các Zero kép f ( x)   x  1( x  2) f (x)  (x  1)  x    x  x  Có zero x = -1 x = f ( x)  x  1 f (x)   x  1  x  2x  Có zero (lặp lại lần) x = Lập luận  Bất kỳ thứ tự đa thức bậc n có n zero (Zero gồm : số thực phức lặp nhiều lần)  Bất kỳ đa thức với bậc lẻ có zero thực  Nếu hàm có zero x = r với lặp lại m lần hàm đạo hàm (m-1) zero x = r đạo hàm lần m r khơng zero Nghiệm phương trình Zero hàm Cho pt: x  3x  7x  15x  18 Chuyển vế tất sang bên pt: x  3x  7x  15x  18  Gọi f(x) là: f (x)  x  3x  7x  15x  18 Các zero hàm f(x) giống với nghiệm pt: Chúng -2, 3, -1 Phương pháp số Nhiều phương pháp có sẵn để giải phương trình phi tuyến Trong mơn học học phương pháp:  Phương pháp Bisection  Phương pháp Newton  Phương pháp Secant Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn hội tụ Một chuỗi x1, x2, …., xn, xem hội tụ tới x ε > tồn N cho Hội tụ tuyến tính Hội tụ bậc x n  x   n  N Hội tụ bậc p x n 1  x C xn  x x n 1  x xn  x x n 1  x xn  x p C C Tốc độ hội tụ • Chúng ta so sánh phương pháp khác tốc độ hội tụ chúng • Hội tụ bậc hai nhanh so với tụ tuyến tính • Một phương pháp với hội tụ bậc q hội tụ nhanh so với phương pháp với hội tụ bậc p q> p • Phương pháp hội tụ bậc p> cho có hội tụ siêu tuyến tính 10 PP Secant - Sơ đồ x0 , x1 , i  xi 1  xi  f ( xi ) ( xi  xi 1 ) ; f ( xi )  f ( xi 1 ) i  i 1 Sai 40 Đúng xi 1  xi   Dừng Phương pháp Secant hiệu chỉnh Trong phương pháp Secant hiệu chỉnh, giá trị ban đầu cần: f (x i   x i )  f (x i ) f '(x i )   xi f (x i )  x if (x i ) x i1  x i   xi  f (x i   x i )  f (x i ) f (x i   x i )  f (x i )  xi Làm chọn δ ? Nếu chọn không đúng, pp khơng hội tụ 41 Ví dụ 50 Tìm nghiệm pt pp Secant 40 30 20 f (x)  x  x  10 Giá trị ban đầu x  1 and x1  1.1 -10 -20 -30 Sai số < 0.001 42 -40 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 x(i) f(x(i)) x(i+1) |x(i+1)-x(i)| -1.0000 1.0000 -1.1000 0.1000 -1.1000 0.0585 -1.1062 0062 -1.1062 0.0102 -1.1052 0.0009 -1.1052 0.0001 -1.1052 0.0000 Phân tích hội tụ Tỉ lệ hội tụ pp Secant siêu tuyến tính: x i1  r xi  r   C,   1.62 r: nghiệm xi: ước tính nghiệm lần lặp thứ i Pp tốt pp Biection không tốt bẳng pp Newton 43 Tóm tắt PP 44 Ưu điểm Nhược điểm Bisection - Dễ, Tin cậy, Hội tụ - Một lần ước tính hàm lần lặp -Khơng cần tính đạo hàm - Chậm - Cần biết khoảng phân ly nghiêm [a,b] chứa nghiệm i.e., f(a)*f(b) < Newton - Nhanh (Nếu điểm đoán ban đầu gần nghiệm) - Hai lần ước tính hàm lần lặp - Có thể khơng hội tụ May diverge - Cần tính đạo hàm điểm ban đẫu x0 cho f’(x0) ≠ Secant - Nhanh (Chậm Newton) - Một lần ước tính hàm lần lặp Khơng cần tính đạo hàm - Có thể khơng hội tụ - Cần điểm ban đầu x0, x1 cho f(x0)- f(x1) ≠ Ví dụ Dùng pp Secant để tìm nghiệm pt f (x)  x  x  Hai điểm ban đầu x0 = x1 = 1.5 (x i  x i1 ) x i1  x i  f (x i ) f (x i )  f (x i1 ) Giải 45 _ k xk f(xk) _ 1.0000 -1.0000 1.5000 8.8906 1.0506 -0.7062 1.0836 -0.4645 1.1472 0.1321 1.1331 -0.0165 1.1347 -0.0005 Xem xét cấu khâu lề : Góc α = θ4 – π : thơng số đầu vào Góc Ф = θ2 đầu Phương trình véc tơ vịng : r2  r3  r4  r1  (thể mối quan hệ Ф α) 46 Để r1 nằm trục x: Phương trình viết lại theo thành phần chiếu x y r2 cos( )  r3 cos(3 )  r4 cos( )  r1  r2 sin( )  r3 sin(3 )  r4 sin( )  Từ pt khử θ3 với θ2 = Ф θ4 = α + π, đơn giản ta có pt: R cos( )  R cos( )  R  cos(   )  Mà R1 = r1/r2; R2 = r1/r4; R3 = (r12 + r22 + r32 + r42)/2r2r4 Xét cấu khâu lề với r1 = 10, r2 = 6, r3 = r4 = ta có R1 = 5/3, R2 = 5/2, R3 = 11/6 phương trình 5 11 cos( )  cos( )   cos(   )  47 Phương pháp Bisection Giải toán khâu lề trình bày với α = 40o pp Bisection Gọi lại pt: Với α = 40o 5 11 cos( )  cos( )   cos(   )  5 11 f ( )  cos(40)  cos( )   cos(40   )  Chọn Фa = 30o, Фb = 40o 5 11 f (a )  f (30)  cos(40)  cos(30)   cos(40  30)  0.0397919 5 11 f (b )  f (40)  cos(40)  cos(40)   cos(40  40)  0.19496296 48 c  a  b 40  30   35o Thay Фc = 35o vào pt ban đầu 5 11 f (c )  f (35)  cos(40)  cos(35)   cos(40  35)  0.06599926 Khi f(Фa)*f(Фc) < Фb = Фc cho lần lặp tiếp giữ nguyên Фa Tiêu chuẩn hội tụ : |Фa - Фb|≤ 0.000001o cho lần lặp thứ 24 kết trình bày bảng 49 Phương pháp Newton f ( )  R cos( )  R cos( )  R  cos(   )  Đạo hàm f(Ф) f '( )  R sin( )  sin(   )  Pp Newton f (i ) i1  i  f '(i ) Với R1 = 5/3, R2 = 5/2, R3 = 11/6 α = 40o, phương trình 5 11 f ( )  cos(40)  cos( )   cos(40   )  f '( )  sin( )  sin(40   )  o Cho lần lặp Ф1 = 30 Khi 5 11 f (1 )  cos(40)  cos(30)   cos(40  30)  0.03979719 50 f '(1 )  sin(30)  sin(40  30)  1.07635182 0.03979719*(180 /  ) 2  30   32.118463o 1.07635182 Thay Ф2 = 32.118463o ta có f(Ф2) = 0.00214376 Tiếp tục phép lặp tiêu chuẩn hội tụ |Фi+1 – Фi| ≤ 0.000001 thỏa mãn lần lặp thứ Kết trình bày bảng: 51 Bài tập Tìm nghiệm phương trình: f(x) = -0.5x2 + 2.5x + 4.5 Dùng lần lặp với phương pháp Bisection Giá trị ban đầu x0 = x1 = 10 Tính sai số sau lần lặp Tìm nghiệm phương trình: f(x) = 5x3 - 5x2 + 6x – Dùng lần lặp với phương pháp Bisection Giá trị ban đầu x0 = x1 = Lặp sai số 10% Xác định nghiệm dương ln(x2) = 0.7 Dùng lần lặp với pp bisection với giá trị ban đầu x0 = 0.5 x1 = tính sai số sau lần lặp 52 Tìm nghiệm thực f(x) = -1 + 5.5x - 4x2 + 0.5x3 x0 = 1.5 Dùng pp Newton-Raphson với sai số ε ≤ 0.01% Tìm nghiệm thực lớn f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6.1 a) Dùng pp Newton-Raphson với lần lặp cho giá trị ban đầu x0 = 3.5) b) Dùng pp secant với lần lặp cho giá trị ban đầu x0 = 2.5 x1 = 3.5) c) Dùng pp secant hiệu chỉnh với lần lặp cho giá trị ban đầu x0 = 3.5, δ = 0.01) Dùng pp Newton-Raphson để tìm nghiệm pt f(x) = e-0.5x(4 x) - Tìm với giá trị ban đầu x0: Tính tối đa lần lặp (a) (b) (c) (d) Giải thích kết đạt 53 Tìm nghiệm f (x) = 2x3 - 11.7x2 + 17.7x – a) Dùng pp Newton-Raphson với lần lặp, cho x0 = b) Dùng pp secant với lần lặp, cho x0 = 3, x1 = Dùng pp Newton-Raphson pp secant hiệu chỉnh (δ = 0.05) để tìm nghiệm f(x) = x5 - 16.05x4 + 88.75x3 - 192.0375x2 + 116.35x + 31.6875 dùng giá trị ban đầu x0 = 0.5825 sai số ε = 0.01% Giải thích kết đạt Tìm nghiệm pt sau pp Newton-Raphson y = -x2 + x + 0.75 y + 5xy = x2 Các giá trị ban đầu x0 = y0 = 1.2 thảo luận kết 10 Dùng pp secant để giải toán khâu lề giảng có pt sau: f ( )  R cos( )  R cos( )  R  cos(   )  Với R1 = 5/3, R2 = 5/2, R3 = 11/6 α = 40o, giá trị cho lần lặp Ф0 = 30o Ф1 = 40o Tính đến lần lặp sai số lần lặp 54 ...  ? ?1 and x1  ? ?1. 1 -10 -20 -30 Sai số < 0.0 01 42 -40 -2 -1. 5 -1 -0.5 0.5 1. 5 x(i) f(x(i)) x(i +1) |x(i +1) -x(i)| -1. 0000 1. 0000 -1. 1000 0 .10 00 -1. 1000 0.0585 -1. 1062 0062 -1. 1062 0. 010 2 -1. 1052... _ 1. 0000 -1. 0000 1. 5000 8.8906 1. 0506 -0.7062 1. 0836 -0.4645 1. 1472 0 .13 21 1 .13 31 -0. 016 5 1. 1347 -0.0005 Xem xét cấu khâu lề : Góc α = θ4 – π : thông số đầu vào Góc Ф = θ2 đầu Phương trình. . .Phương pháp số Phương pháp số: Các giải thuật dùng để đạt giải pháp số vấn đề toán học Tại cần phương pháp số ? Khơng có giải pháp giải tích để giải tốn Một giải pháp giải tích khó