CHƯƠNG 1 các PHÉP BIẾN đổi và PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƠNG TRÌNH đại số

CHƢƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 1.1 SỐ PHỨC Nhiều tốn lý thuyết thực tế dẫn đến phương trình đơn giản x2 + = Trong trường số thực R, ta nói phương trình vơ nghiệm, tức không tồn x thuộc R để x2 + = Một đề đặt là, có hay khơng trường đó, để trường phương trình x2 + = có nghiệm 1.1.1 Định nghĩa Ta định nghĩa số ảo (imaginary number), ký hiệu i, thoả mãn i2 = –1 Số phức (complex number) số có dạng a + ib, (1.1.1) với a, b  R Ký hiệu C tập tất số phức, dễ dàng chứng minh C không gian vecto với phép toán cộng hai số phức nhân số thực với số phức định nghĩa phần Với z  a  bi , a b tương ứng gọi phần thực (real part, ký hiệu Rez) phần ảo (imaginary part, ký hiệu Imz) Số phức z  a  bi gọi số phức liên hợp (conjugate) z, ký hiệu ̅ 1.1.2 Mặt phẳng phức Vì số phưc z= a+jb cặp số thực (a,b)nên ta biểu diễn điểm M mặt phẳng tọa độ gọi mặt phẳng phức (+1; j ) M có tọa độ a b Mặt phẳng Phức mặt phẳng để biểu diễn số phức với hệ tọa độ Descartes có trục Ox (Trục Hồnh) biểu diễn Phần Thực, Trục Oy (Trục Tung) Biểu diễn phần ảo Điểm M có tọa độ (a,b) gọi ảnh số phức z=(a,b) Số phức z gọi tọa vị điểm M Trong mặt phẳng phức, số phức (0,0) có ảnh gốc tọa độ O, số phức (1,0) (0,1) có vị trí đặc biệt VD : Biểu diễn số phưc sau mặt phẳng phức : Các dạng biểu diễn số phức  Dạng đại số Là dạng viết theo tổng đại số phần thực ảo: V = a + jb biểu thị số phức mặt phẳng phức (+1; j ) Hình 1.1, điểm có hồnh độ phần thực a, tung độ phần ảo b Khoảng cách từ điểm V đến gốc toạ độ gọi là: modul V số phức V , góc hợp trục thực V  - gọi argymen số phức V Ta có: V  a  b   b ψ  arctg  a  a  V cos ψ  b  V sin ψ * Dạng lƣợng giác : Trong mặt phẳng phức, số phức a+jb biểu diễn hình 1.1 Chiếu véc tơ V lên trục Ox,Oy ta a  V cos ; b  Vsin  Do  V  a  jb  V cos   jV sin   V  cos   jsin    Ve j * Dạng số mũ Theo công thức Ơle: cos x  jsin x  e j x V  a  jb  V cos   jV sin   V  cos   jsin    Ve j  Viết tắt: V  Ve jψ  Vψ - Đọc V góc , gọi dạng số mũ Số phức cần lưu ý e jψ số phức có modul 1, argymen   e j j e π π π j π số phức có modul 1, argymen  : e   j  π j2 e   j j   j j 1.1.3 Các phép tính số phức Giả sử z1 , z2  C với z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 Khi đó:  Phép cộng: z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2)  Phép trừ: z1 - z2 = (a1 - a2) + i(b1 - b2)  Phép nhân: z1z2 = (a1a2 – b1b2) + i(a1b2 + a2b1)  Phép chia: (1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) z1 a1 +ib1 (a1 +ib1 )(a2  ib2 ) (a1a2  b1b2 ) (a2b1  a1b2 )  = = +i z2 a2 +ib2 a22 +b22 a22 +b22 a22 +b22 Các biểu thức z1 + z2, z1 – z2, z1z2 (1.1.5) z1 tương ứng gọi tổng, hiệu, tích thương z2 hai số phức z1 với z2 1 i 3i Có  i  (1  i 3)(  i)   2i   i i (  i )(  i) Ví dụ 1.1.1 Thực phép tính 𝑘 1.1.4 Thực phép tính phức máy tính kĩ thuật a Các máy tính bàn phím có nút bấm ghi chữ a b - Các phím chuyển máy sang mơi trường tính phức: PCLX, DRG - Phím để chuyển đổi dạng đại số sang số mũ ngược lại số phức: 2ndF Shift - Các phím mở máy trạng thái ban đầu: ON AC Ta bấm phím trên hình ba chữ: 0, CPLX DEG máy thực phép tính số phức Thao tác thực phép tính phức - Chuyển từ dạng đại số sang dạng số mũ Ví dụ: + j4  bấm  Modul =5  góc =53,130 - j4  bấm  Modul =5 a b -3 - j4  bấm 2ndF a +/- b b 2ndF  góc =-53,130 a Shift a Shift 126,870  Modul =5  góc =- b +/- a +/- b 2ndF 5e j53,13  bấm a 53,13 b a +/- 5e  j53,13  bấm b 2ndF b a Shift - Chuyển từ dạng số mũ sang dạng đại số: Shift 2ndF 53,13 b  phần thực =3 b  phần ảo =4 b Shift b  phần thực=3  phần ảo =-4  5e  j53,13   (5e  j53,13 ) bấm phần dấu ngoặc mục 0 Hoặc  5e j( 53,130  180 )  5e j124 ,86 bấm mục - Thực phép tính cộng trừ nhân chia số phức: (3+j3) + (3-j3) bấm a b 3+ - - X X ÷ ÷ a 3 +/- b = b  phần thực  phần ảo - Thực dãy phép tính: + Chuyển số phức dạng số mũ sang đại số + Thực theo luật phé p tính đại số nhân chia trước cộng trừ sau, ngoặc trước ngồi ngoặc sau.v.v Ví dụ: (3  j3).3e j15  (3  j3) 4e j25 Các bước thực hiện: * chuyển đổi 3e j150 4e j250 sang dạng đại số * Thực phép nhân tử sau đến phép cộng tử dến phép chia cho mẫu số b Thực phép tính số phức MTKT fx-570MS - Chuyển máy sang mơi trường tính số phức: MODE , bấm phím (CMPLX) Bấm phím - Chuyển từ dạng đại số sang dạng số mũ: x + jy = Vejψ Ví dụ: + j3 = 3,6055  56,30990 ta thực bấm sau: Bấm phím 2 Modul: 3,6055 + 3   Sitft ENG  +  = Sitft =   Góc: 56,3099 - Chuyển từ dạng mũ tích sang dạng đại số: Vejψ = x + jy Ví dụ 1: 3,6055  56,30990 ta thực bấm sau: Bấm 3,6055  Sitft  (-) 56,3099  =   Sitft  Phần thực Phần ảo = Ví dụ 2: 3,6055  -56,30990 ta thực bấm sau: Bấm 3,6055  Sitft   - (-)  56,3099  =   Phần thực =  Sitft  Phần ảo -3 - Thực cộng trừ nhân chia số phức: Khai báo phép tính sau ấn dấu Ví dụ: (3  j3).3e j15  (3  j3) 4e Bấm  15 ( ( ( j250 3  +3    (-) = 25   Sitft  ta thực bấm sau: +  -3  ENG   ENG ) x  3  ) ÷ ) 4 Sitft  (-) Sitft  =Phần thực  =Phần ảo c Thực phép tính số phức MTKT fx-500MS - Nâng cấp máy: Để sử dụng tính tốn số phức máy tính fx-500MS trước tiên ta phải nâng cấp máy thành máy fx-570MS sau: + Đối với máy fx-500MS (Có chữ A phía sau nắp máy) Ấn: MOME  ấn nút REPLAY sang phải 1  8 ấn M+ (nhiều lần đến chữ Data full)  M+ (1lần)   ấn nút REPLAY phía trên ấn số – – – …… đến hết hình  ấn  =  0=  ấn MODE Lúc ta quan sát thấy hình thấy máy chế độ CPLX, hoàn thành việc chuyển đổi + Đối với máy fx-500MS (Khơng có chữ A phía sau nắp máy) Ấn: 9.9999999999…tràn hình đến khơng nhìn thấy số hình  EXP99  +8EXP89 =  AC  Ans =  AC  36 =  ấn nút REPLAY phía lần  lại ấn nút REPLAY sang phải lần  ấn DEL nhiều lần (đến không thấy kí tự hình dừng lại)  AC  ấn nút REPLAY lên lần  ấn nút REPLAY sang phải lần  ấn nút REPLAY sang phải đến thấy chữ conjg thm đưa trỏ vị trí chữ h  ấn ta thấy hình chữ Dim ERROR  ấn AC  ấn nút REPLAY lên lần, sang phải lần  lại ấn nút REPLAY sang phải lần  Rồi ấn liên tiếp xen kẽ EXP ấn nút REPLAY lên lần, đến Math ERROR  AC  MODE Lúc ta quan sát thấy hình thấy máy chế độ CPLX, hoàn thành việc chuyển đổi - Thực phép tính: Giống nhƣ máy fx 570MS 1.2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Biến đổi Laplace nghiên cứu vào năm 1782 đặt theo tên nhà toán học thiên văn học người Pháp tiếng Pierre Simon Laplace (1749-1827) Tuy nhiên tính hữu dụng phương pháp lúc khơng cơng nhận Kỹ thuật thực tế để áp dụng biến đổi Laplace hiệu phát triển khoảng trăm năm sau kỹ sư điện người Anh Oliver Heaviside (1850-1925) Mặc dù hệ phương trình vi phân tuyến tính giải phương pháp cổ điển, với toán tín hiệu phân tích hệ kỹ thuật tuyến tính đầu vào đầu biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính, phép biến đổi Laplace có ứng dụng đặc biệt Mặt khác dùng phép biến đổi để giải phương trình, hệ phương trinh vi phân điều kiện ban đầu đưa vào trình biến đổi nên xuất biểu thức nghiệm… Phép biến đổi cơng cụ hiệu để giải tốn với điều kiện ban đầu thường gặp nghiên cứu mạch điện liên tục, hệ dao động học… Toán tử Laplace toán tử giúp chuyển biểu thức phức tạp gốc thành biểu thức đơn giản ảnh, sau tìm nghịch ảnh kết Giả sử ta cần tìm 𝑓 ( ) thoả mãn phương trình (𝑓( )) 𝑔 ( ), với 𝑔 biết Qua phép biến đổi Laplace, (𝑓( )) 𝑔 ( ) tương ứng có ảnh ( ( )) G(s), với ( ) ảnh 𝑓 ( ), tức ta nhận phương trình ( ( )) ( ) Với ( ) giải từ phương trình này, ta tìm nghịch ảnh 𝑓 ( ) Như vậy, với toán tử Laplace, ta cần giải hai vấn đề sau: + Bài tốn thuận: Biết gốc 𝑓( ), tìm ảnh ( ) + Bài tốn nghịch: Biết ảnh ( ), tìm gốc 𝑓( ) 1.2.1 Các định nghĩa phép biến đổi laplace Giả thiết hàm f(t) biến thực t hàm gốc tức hàm thoả mãn điều kiện sau:  f(t) liên tục khoảng với t   f(t) tăng không nhanh hàm mũ t +, tức M > 0, s  cho |f(t)|  M e st với t   f(t) = t < Giá trị s0 nhỏ số s gọi số tăng hàm f(t) Giả sử 𝑓( ) hàm gốc Khi F (s)   e  st (1.2.1) f (t )dt gọi biến đổi Laplace hàm 𝑓( ), ký hiệu ( ) *𝑓( )+ Hàm phức ( ) gọi ảnh phép biến đổi Ví dụ 1.2.1 Hàm bước nhảy (Heaviside) hàm số định nghĩa ( ) { (1.2.3) Dễ thấy ( ) hàm gốc với M = s0 = > 0, ảnh qua phép biến đổi Laplace Với * ( )+ ∫ ( )𝑒 ∫𝑒 𝑑 ( | 𝑒 𝑑 𝑒 ) Ví dụ 1.2.2 Tìm ảnh qua phép biến đổi Laplace hàm sau: a 𝑓 ( ) 𝑐 *𝑓 ( )+ b 𝑓 ( ) *𝑓( )+ ∫ 𝑒 𝑑 ∫ ( 𝑒 𝑒 𝑑 𝑒 ∫ )| ( 𝑒 𝑑 𝑒 ) 𝑒 Phép biến đổi Laplace ngƣợc Nếu 𝑭(𝒔) ảnh hàm gốc 𝒇(𝒕) với số tăng s0 điểm liên tục 𝒇(𝒕) ta có * ( )+ 𝑓( ) 𝑗 ∫ 𝑒 ( )𝑑 Phép biến đổi ảnh Laplace ( ) thành hàm 𝑓 ( ) gọi phép biến đổi Laplace ngược, * ( ) + ký hiệu Nhưng thơng thường dùng đến tích phân để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t) Bảng ảnh gốc số hàm bản: f(t) ( ) F(s) f(t) t e-at 1(t) s s2 s3 s n 1 sa s(s a) s (s a) A sa abt t t2 tn n! e-at 1  eat  a at   e at   a Ae-at F(s) n n! ( s  a)n1 s  b ln a ( s  b ln a)2 A ( s  a)2 tabt tAe-at  s  2 sinωt cosωt s s  2  ( s   )2   s  ( s   )2   2 e-at sinωt e-at cosωt A e at cos   t    2t A e  at cos   t    te-at ( s  a)2 (e-at - e-bt ) ba ( s  b)(s a) * A A  s    j s    j * A A  (s    j  ) (s    j  )2 1.2.2 Các tính chất phép biến đổi laplace 1.2.2.1 Tính chất tuyến tính Cho 𝑓 ( ) 𝑔( )) hai hàm gốc có số tăng 𝛼 𝛼 , phép biến đổi Laplace tương ứng ( ) ( ), a b hai số (phức thực) ta có: {𝑎𝑓 ( ) 𝑏𝑔( )} 𝑏 ( ) 𝑅𝑒(s) > max 𝛼 𝑎 ( ) Ví dụ 1.2.1 Tìm ảnh hàm số sau: 𝑓 ( ) sin at  s n𝑎 Theo công thức Euler iat iat (e  e ) 2i ⇒ {s n𝑎 + , {𝑒 } 𝑖 1.2.2.2 Tính chất đồng dạng {𝑒 +- 𝑖 [ 𝑖𝑎 𝑖𝑎 ] 𝑖 𝑖 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Định lý Cho  > 0, 𝑓 ( ) hàm gốc có ảnh ( ) Khi *𝑓( )+ / (1.2.6) Ví dụ 1.2.3 Tìm ảnh hàm cos 𝛼 Ta có cơng thức cos t  *cos 𝛼 +  cos2t ( * + *cos 𝛼 +) ( 𝛼 ) 4𝛼 ( 4𝛼 ) 1.2.2.3 Tính chất dịch chuyển ảnh Nếu 𝑓 ( ) hàm gốc có ảnh ( ) với Re(s) > 0 *𝑒 𝑓( )+ ( 𝑎) (1.2.7) Ví dụ 1.2.3 Tìm ảnh Laplace hàm sau 𝑔( ) (  , theo tính chất dịch chuyển ảnh s  2 s n𝑎 có ảnh F (s)  Hàm 𝑓( ) 𝑎) s n 𝑒  (s  a)  2 ( ) Trong trường hợp hàm ảnh phân thức hữu tỉ thực (bậc mẫu lớn bậc tử) Bằng cách phân tích mẫu số tích thừa số bậc tam thức bậc hai khơng có nghiệm thực dùng phương pháp hệ số bất định, ta ln chuyển phân thức hữu tỉ thực với hệ số thực tổng phân thức đơn giản 1.2.2.4 Tính chất trễ Cho hàm trễ với số thời gian trễ ( ) { Định lý 1.2.4 Nếu 𝑓( ) hàm gốc có ảnh ( ) * ( )𝑓( )+ 𝑒 ( ) (1.2.7) H(t–) H(t).f(t) H(t–).f(t–) Hình 2.3 t O  t t O O t t  t Chứng minh: Đổi biến: 𝑥  * ( 𝑥  𝑑 )𝑓 ( ∫ 𝑓(𝑥) (𝑥)𝑒 𝑑 Khi )+ ( ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑓( 𝑒 )𝑕( ∫ 𝑓 (𝑥 ) 𝑒 )𝑒 𝑑𝑥 𝑑 e  s F ( s ) Chứng minh tương tự ta Đặc biệt, 𝑓 ( ) * ( * ( )𝑓( )+ ) e  s s  𝑒 *𝑓( )+ 0 Nhờ hàm Heaviside ta tìm ảnh hàm gián đoạn loại Ví dụ 1.2.6 Tìm ảnh hàm xung chữ nhật  0 f (t )  c  0 ta at b bt 𝑓( ) c a b t Hình 1.4 Biểu diễn hàm xung 𝑓 ( ) qua hàm H(t) sau 𝑓( )   Do F (s)  c  e  as 𝑐, ( 𝑎) ( 𝑏 )- bs  c  as bs e   e  e  s s s Tìm hàm gốc biết ảnh chứa nhân tử dạng 𝒆 𝒔 : Ví dụ 1.2.8 Tìm hàm gốc hàm 2e3s s( s  4) 1 1 1 4t   Do hàm gốc f (t )   e s( s  4) s s  2 3 s 2e Vậy hàm có hàm gốc ( )𝑓( ), nghĩa s( s  4) 𝑒 { } ( 𝑒 ( )) ( ( 4) Ta có F ( s)  1.2.2.5 Biến đổi Laplace hàm tuần hoàn Cho 𝑓( ) hàm gốc có ảnh ( ) 𝑓( ) hàm tuần hồn với chu kỳ T, ta có *𝑓( )+ 𝑒 1.2.2.6 Ảnh đạo hàm tích phân gốc 10 ∫𝑒 (1.2.8) 𝑓( )𝑑 Và góc φn, 0 w = A*z; [m, j] = max(abs(w)); out = w(j); z = w/w(j); if norm(A*z - out*z) >= tol && norm(z-1) > times = times - 1; else times = 0; end end out = abs(out); Chúng ta viết hàm Jacobi(A,b,tol,times) để thực phương pháp lặp Jacobi hàm Seidel(A,b,tol,times) để thực phương pháp lặp Gauss – Seidel Các tham số hàm ma trận A, véc tơ vế phải b, sai số cho trước tol số lần lặp nhiều times Trong hàm có đoạn mã lệnh kiểm tra véc tơ b, véc tơ hàng chuyển thành véc tơ cột Giá trị b nhận làm xấp xỉ đầu tiên, sau b đóng vai trị  49 function x = jacobi(A, b, tol,times) [n m] = size(A); [p q] = size(b); if p == b = b'; end for k = 1:n b(k) = b(k)/A(k,k); A(k,:) = -A(k,:)/A(k,k); A(k,k) = 0; end sradius = spectralradius(A,tol,times); tol = tol*(1-sradius)/sradius; x = b; x0 = x + 1; while times > && norm(x - x0) >= tol x0 = x; x = A*x + b ; times = times - 1; end end function x = seidel(A, b, tol,times) [n m] = size(A); [p q] = size(b); if p == b = b'; end for k = 1:n b(k) = b(k)/A(k,k); A(k,:) = -A(k,:)/A(k,k); A(k,k) = 0; end sradius = spectralradius(A,tol,times); tol = tol*(1-sradius)/sradius; x = b; x0 = x + 1; while times > && norm(x - x0) >= tol x0 = x; for j = 1:n x(j) = A(j,:)*x + b(j) ; end times = times - 1; end end 50 ... chia: (1. 1.2) (1. 1.3) (1. 1.4) z1 a1 +ib1 (a1 +ib1 )(a2  ib2 ) (a1a2  b1b2 ) (a2b1  a1b2 )  = = +i z2 a2 +ib2 a22 +b22 a22 +b22 a22 +b22 Các biểu thức z1 + z2, z1 – z2, z1z2 (1. 1.5) z1 tương... X2(ejω) 1. 4 Các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình đại số Hệ phương trình đại số tuyến tính hệ số số hệ có dạng:  a11x1  a12 x   a1n x n  a1,n ? ?1  a x  a x   a x  a  21 22 2n n 2,n ? ?1 ... 45 h1  h1  h 2  4) h = h2 / h4 = h4 – (–3)h2 5) 1 1 2/5 1/ 5 2/5 1/ 5 0 ? ?1 0 ? ?1 –3 ? ?1 0 ? ?1 11/ 5 23/5 6) h3 = h3 /(? ?1) h4 = h4 – (? ?1) h1 7) 1 1 2/5 1/ 5 2/5 1/ 5 0 –2 –4 0 –2 –4 0 ? ?1 0 1/ 5 3/5