Bài giảng môn toán lớp 12 Giải phương trình đại số có dạng đặc biệt phương pháp lượng giác41892

ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT PHƯƠNG PHÁP LƯNG GIÁC Có nhiều toán phạm vi đại số khó giải, biết thay đổi hình thức toán thu phương trình đơn giản Trong số trường hợp ta chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua dấu hiệu đặc biệt biến có mặt toán thông qua miền giá trị chúng I CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯC LƯNG GIÁC HÓA DẤU HIỆU NHẬN BIẾT a x x a x  a sin t ;  t   hoaëc x a    ; t    ;  \ 0 sin t  2 x a  ; t   0;   \   cos t 2 x  a tan t ;  2  2 x  a cos t ;0  t   a x CÁCH CHỌN  t   ; hoaëc hoaëc x  a cot gt ;0  t   ;  ax   bx      1  c   c  c.sin t  x   a  c.cos t  y  a   t   0; 2    Ta xét ví dụ sau đây:  VD : Trên đoạn  0;1 phương trình sau có nghiệm? x 1  x  x  x  1     Giải : Vì x   0;1 nên tồn góc   0;  cho x  sin   2 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Thu phươnhg trình : 8sin  1  2sin   8sin   8sin   1   8sin  cos 2 cos 4  Nhận thấy cos   không nghiệm phương trình nên   nhân hai vế phương trình cho cos      0;  ta :  2 8sin  cos  cos 2 cos 4  cos     sin 8  cos   sin 8  sin     2        k 2    8          m2    2   k 2    18  ; k, m  Z      m2  14   Vì   0;  suy nghiệm :  x  sin   18 ; x  sin 5  5 ; x  sin ; x  sin 14 18 14  Ví dụ : Cho hai phương trình : 3  2     x x   (1) vaø   x   cos  (2) Giả sử x nghiệm phương trình (1) Chứng minh rằng, x nghiệm phương trình (2)   Giải :  2 Đặt   x   x   2t   x 1     1 2x    1 x 3 với t > Khi phương trình (1) trở thành : 4t  1   4t  3t  Xeùt t   1;1 , ñaët t  cos  ,    0;   ta 2t cos3   3cos   1  k 2  cos 3       2   5 7  Vì    0;   neân    ; ;  9 9  5 7  suy t1  cos ; t2  cos ; t3  cos 9 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Rõ ràng phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét 5 7  nghiệm t   1;1 Mặt khác t2  cos  t3  cos nghiệm phương trình (1) : t1  cos     x   cos  Vậy x nghiệm phương trình (1) x nghiệm phương trình (2)  Ví dụ : Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm : (1) x  1 x  m  Giaûi : ĐK :  x  Phương trình (1) có nghiệm m>0 Nhận xét : Vì  x  1 x  1 nên khiến ta nghó đến lượng giác hoá cách đặt :  x  sin t ;    x  cos t với   t  0;   2     m (1)  sin t  cos t  m  cos  t    m  cos  t    4   Phương trình có nghiệm   :  m So sánh với điều kiện m>0 ta có :  m   Ví dụ : Định giá trị m để phương trình sau có ngiệm :  4m   x    3m    x  m   (1)  Giải : Điều kiện : 3  x  (1)  m  x   1 x 1 x   1 x 1 Nhận thấy :  x3   1 x  2  x    1 x                Nên tồn góc   0;  cho :  2 x   2sin   2t 1 t2   với t  tan ; t   0;1  x  cos  2 1 t 1 t x   1 x 1 7t  12t  m m 5t  16t  x   1 x 1 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK 7t  12t  ; t   0;1 5t  16t  52t  8t  60 f '(t )   0, t   0;1 2  t  16 t    Xét hàm số : f (t )  Suy hàm số nghịch biến đoạn  0;1 vaø f (0)  ; f (1)  Vậy phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm đoạn  0;1 : m  Ví dụ 5: Giải phương trình : x x   a2    a2       với tham số a   0;1  2a   2a  x x   a2    a2   Giaûi :     1 a a     x x   a2    a2      1 a a     x   a2  Chia caû hai vế phương trình cho   ,  2a  x    2a    a  ta :   Vì a   0;1 nên tồn góc    0;       2  1 a   1 a  x tan   a Thu phương trình :       tan    tan 1    2  tan      tan     x x   x x     sin     cos     Hàm số y   sin     cos   hàm nghịch biến ta coù x x f (2)   sin     cos    Vaäy x=2 nghiệm phương trình  VD6 : x   Giải: Điều kiện: x x 1 2 x 1 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Đặt x   ;   (0; ); cos  Thu PT có dạng LG sau : 1   2  sin   cos   2 sin  cos  cos  sin    Đặt : t  sin   cos   cos     4  ÑK :  t  2;  sin  cos   t 1 Thu PT : t  2t  t   Với t     t  2t  t     1  t  t  2      0;   x   2  VD : Cho PT  x   x  (1  x)(8  x)  m (1) a) Giaûi PT (1) m= b) Tìm m để PT (1) có nghiệm  Giải : Với điều kiện: x   1;8 gợi cho ta nghó đến việc chuyển PT (1)  sin t   x   ; t  0;   2  cos t   x lượng giác cách đặt :  Giải: a) m = ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost =  sint+cost+3sint.cost = 1(2)   Đặt tieáp: u  sin t  cos t  sin  t   ; ÑK :  u   4 u   x  1  x   3u  2u     u  5  l   BÀI TẬP Bài : Cho phương trình : x3  3x   Chứng minh phương trình có ba nghiệm x1 ; x2 ; x3 thỏa điều kiện: x12   x2 ; x22   x3 ; Bài : Giải phương trình : DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK x x   a2    a2       với tham số a   0;1  2a   2a  Baøi : Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm : 1  m x  x2 Baøi : Giải biện luận phương trình theo tham soá a , ( a > ) 2x  a2  4x  a Bài : Phương trình sau có nghiệm : x3  3x   x ;     ; ;  2  HD: Ñk: x   1;1 ; Đặt : x  cos t ; t   Bài : Giải PT sau : x  cos  ;    0;   a ) x3  (1  x )3  x 2(1  x ); Đặt b) x     x ; Ñaët x  cos  ;    0;   c) x   d)  x 1     ; ;  2 Đặt : x  tan  ;     x x(1  x)  x   x   Cách 1: Đặt x  cos  ;   0;  ;  2 Cách :Đặt u  x  0; v   x  0; Bài : Tìm m để PT sau có nghiệm : (4m  3) x   (3m  4)  x  m   0; Bài : Giải hệ phương trình sau : 2 x  y  yx  a) 2 y  z  zy ; 2 z  x  xz        2  HD : Ruùt x; y; z đặt x  tan  ;   x2  y   b)  ( x  y )(1  xy )   HD : ĐẶT x  sin  ; y  cos  ;    0; 2  Bài : Cho đường tròn có phương trình: (C):  x  1   y   2 2 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Tìm M (x0;y0) thuộc ( C ) cho (x0+y0) nhỏ 2  x 1   y      1     HD : (1)   đặt  x 1   sin  ; :   y   cos   DeThiMau.vn ...  u  5  l   BÀI TẬP Bài : Cho phương trình : x3  3x   Chứng minh phương trình có ba nghiệm x1 ; x2 ; x3 thỏa điều kiện: x12   x2 ; x22   x3 ; Bài : Giải phương trình : DeThiMau.vn... tham số a   0;1  2a   2a  Baøi : Tìm giá trị m để phương trình có nghieäm : 1  m x  x2 Bài : Giải biện luận phương trình theo tham soá a , ( a > ) 2x  a2  4x  a Bài : Phương trình. .. số : f (t )  Suy hàm số nghịch biến đoạn  0;1 vaø f (0)  ; f (1)  Vậy phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm đoạn  0;1 : m  Ví dụ 5: Giải phương trình : x x   a2  