ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT PHƯƠNG PHÁP LƯNG GIÁC Có nhiều toán phạm vi đại số khó giải, biết thay đổi hình thức toán thu phương trình đơn giản Trong số trường hợp ta chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua dấu hiệu đặc biệt biến có mặt toán thông qua miền giá trị chúng I CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯC LƯNG GIÁC HÓA DẤU HIỆU NHẬN BIẾT a x x a x a sin t ; t hoaëc x a ; t ; \ 0 sin t 2 x a ; t 0; \ cos t 2 x a tan t ; 2 2 x a cos t ;0 t a x CÁCH CHỌN t ; hoaëc hoaëc x a cot gt ;0 t ; ax bx 1 c c c.sin t x a c.cos t y a t 0; 2 Ta xét ví dụ sau đây: VD : Trên đoạn 0;1 phương trình sau có nghiệm? x 1 x x x 1 Giải : Vì x 0;1 nên tồn góc 0; cho x sin 2 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Thu phươnhg trình : 8sin 1 2sin 8sin 8sin 1 8sin cos 2 cos 4 Nhận thấy cos không nghiệm phương trình nên nhân hai vế phương trình cho cos 0; ta : 2 8sin cos cos 2 cos 4 cos sin 8 cos sin 8 sin 2 k 2 8 m2 2 k 2 18 ; k, m Z m2 14 Vì 0; suy nghiệm : x sin 18 ; x sin 5 5 ; x sin ; x sin 14 18 14 Ví dụ : Cho hai phương trình : 3 2 x x (1) vaø x cos (2) Giả sử x nghiệm phương trình (1) Chứng minh rằng, x nghiệm phương trình (2) Giải : 2 Đặt x x 2t x 1 1 2x 1 x 3 với t > Khi phương trình (1) trở thành : 4t 1 4t 3t Xeùt t 1;1 , ñaët t cos , 0; ta 2t cos3 3cos 1 k 2 cos 3 2 5 7 Vì 0; neân ; ; 9 9 5 7 suy t1 cos ; t2 cos ; t3 cos 9 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Rõ ràng phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét 5 7 nghiệm t 1;1 Mặt khác t2 cos t3 cos nghiệm phương trình (1) : t1 cos x cos Vậy x nghiệm phương trình (1) x nghiệm phương trình (2) Ví dụ : Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm : (1) x 1 x m Giaûi : ĐK : x Phương trình (1) có nghiệm m>0 Nhận xét : Vì x 1 x 1 nên khiến ta nghó đến lượng giác hoá cách đặt : x sin t ; x cos t với t 0; 2 m (1) sin t cos t m cos t m cos t 4 Phương trình có nghiệm : m So sánh với điều kiện m>0 ta có : m Ví dụ : Định giá trị m để phương trình sau có ngiệm : 4m x 3m x m (1) Giải : Điều kiện : 3 x (1) m x 1 x 1 x 1 x 1 Nhận thấy : x3 1 x 2 x 1 x Nên tồn góc 0; cho : 2 x 2sin 2t 1 t2 với t tan ; t 0;1 x cos 2 1 t 1 t x 1 x 1 7t 12t m m 5t 16t x 1 x 1 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK 7t 12t ; t 0;1 5t 16t 52t 8t 60 f '(t ) 0, t 0;1 2 t 16 t Xét hàm số : f (t ) Suy hàm số nghịch biến đoạn 0;1 vaø f (0) ; f (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm đoạn 0;1 : m Ví dụ 5: Giải phương trình : x x a2 a2 với tham số a 0;1 2a 2a x x a2 a2 Giaûi : 1 a a x x a2 a2 1 a a x a2 Chia caû hai vế phương trình cho , 2a x 2a a ta : Vì a 0;1 nên tồn góc 0; 2 1 a 1 a x tan a Thu phương trình : tan tan 1 2 tan tan x x x x sin cos Hàm số y sin cos hàm nghịch biến ta coù x x f (2) sin cos Vaäy x=2 nghiệm phương trình VD6 : x Giải: Điều kiện: x x 1 2 x 1 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Đặt x ; (0; ); cos Thu PT có dạng LG sau : 1 2 sin cos 2 sin cos cos sin Đặt : t sin cos cos 4 ÑK : t 2; sin cos t 1 Thu PT : t 2t t Với t t 2t t 1 t t 2 0; x 2 VD : Cho PT x x (1 x)(8 x) m (1) a) Giaûi PT (1) m= b) Tìm m để PT (1) có nghiệm Giải : Với điều kiện: x 1;8 gợi cho ta nghó đến việc chuyển PT (1) sin t x ; t 0; 2 cos t x lượng giác cách đặt : Giải: a) m = ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost = sint+cost+3sint.cost = 1(2) Đặt tieáp: u sin t cos t sin t ; ÑK : u 4 u x 1 x 3u 2u u 5 l BÀI TẬP Bài : Cho phương trình : x3 3x Chứng minh phương trình có ba nghiệm x1 ; x2 ; x3 thỏa điều kiện: x12 x2 ; x22 x3 ; Bài : Giải phương trình : DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK x x a2 a2 với tham số a 0;1 2a 2a Baøi : Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm : 1 m x x2 Baøi : Giải biện luận phương trình theo tham soá a , ( a > ) 2x a2 4x a Bài : Phương trình sau có nghiệm : x3 3x x ; ; ; 2 HD: Ñk: x 1;1 ; Đặt : x cos t ; t Bài : Giải PT sau : x cos ; 0; a ) x3 (1 x )3 x 2(1 x ); Đặt b) x x ; Ñaët x cos ; 0; c) x d) x 1 ; ; 2 Đặt : x tan ; x x(1 x) x x Cách 1: Đặt x cos ; 0; ; 2 Cách :Đặt u x 0; v x 0; Bài : Tìm m để PT sau có nghiệm : (4m 3) x (3m 4) x m 0; Bài : Giải hệ phương trình sau : 2 x y yx a) 2 y z zy ; 2 z x xz 2 HD : Ruùt x; y; z đặt x tan ; x2 y b) ( x y )(1 xy ) HD : ĐẶT x sin ; y cos ; 0; 2 Bài : Cho đường tròn có phương trình: (C): x 1 y 2 2 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Tìm M (x0;y0) thuộc ( C ) cho (x0+y0) nhỏ 2 x 1 y 1 HD : (1) đặt x 1 sin ; : y cos DeThiMau.vn ... u 5 l BÀI TẬP Bài : Cho phương trình : x3 3x Chứng minh phương trình có ba nghiệm x1 ; x2 ; x3 thỏa điều kiện: x12 x2 ; x22 x3 ; Bài : Giải phương trình : DeThiMau.vn... tham số a 0;1 2a 2a Baøi : Tìm giá trị m để phương trình có nghieäm : 1 m x x2 Bài : Giải biện luận phương trình theo tham soá a , ( a > ) 2x a2 4x a Bài : Phương trình. .. số : f (t ) Suy hàm số nghịch biến đoạn 0;1 vaø f (0) ; f (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm đoạn 0;1 : m Ví dụ 5: Giải phương trình : x x a2