Các dạng toán và phương pháp giải hệ phương trình đại số

Các dạng toán và phương pháp giải hệ phương trình đại số. Hệ phương trình đối xứng kiểu 2 là loại hệ phương trình mà khi ta hoán đổi vị trí các biến thì phương trình này thành phương trình kia và ngược .Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bằng PP ...

GV: NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Gmail:Tailieumontoan.com@Gmail.com Website: Tailieumontoan.com Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên đê HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LƯU HÀNH NỘI BỘ NGUYỄN QUỐC BẢO CÁC DẠNG TỐN & PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9 ● Giúp ơn thi vào lớp 10 chun tốn LƯU HÀNH NỘI BỘ Lêi giíi thiƯu Các em học sinh thầy giáo, cô giáo thân mến ! Cuốn sách Các dạng tốn & phương pháp giải hệ phương trình tác giả biên soạn nhằm giúp em học sinh học tập tốt mơn Tốn THCS THPT sau Các tác giả cố gắng lựa chọn tập thuộc dạng điển hình, xếp thành hệ thống để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi tốn THCS, vào lớp 10 chun mơn toán nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán thường gặp, tập rèn luyện hướng dẫn giải giúp em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện kiến thức học Mỗi chủ đề có ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Phần tóm tắt kiến thức bản, kiên thức bổ sung cần thiết để làm sở giải tập thuộc dạng chuyên đề B Một số ví dụ: Phần đưa ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng kĩ phương pháp luận mà chương trình địi hỏi Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo nhận xét, lưu ý, bình luận phương pháp giải, sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán C Bài tập vận dụng: Phần này, tác giả đưa hệ thống tập phân loại theo dạng tốn, tăng dần độ khó cho học sinh giỏi Có tập trích từ đề thi học sinh giỏi Toán đề vào lớp 10 chuyên Toán Các em cố gắng tự giải Nếu gặp khó khăn xem hướng dẫn lời giải cuối sách Các tác giả hi vong sách tài liệu có ích giúp em học sinh nâng cao trình độ lực giải tốn, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn song sách khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc MỌI Ý KIẾN THẮC MẮC XIN VUI LÒNG GỬI VỀ ĐỊA CHỈ NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Tailieumontoan.com@gmail.com Facebook: www.facebook.com/baotoanthcs Xin chân thành cảm ơn! Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT c ax + by = c' a ' x + b ' y = Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng: ( I )  Trong a b a’ b’ không đồng thời * Hệ (I) có nghiệm a a' * Hệ (I) vô nghiệm = a b ≠ a' b' b c ≠ b' c' a a' b b' * Hệ (I) có vơ số nghiệm = = c c' B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN c ax + by = Dạng toán Giải phương trình  c' a ' x + b ' y = PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn thường sử dụng phương pháp phương pháp cộng đại số Cách 1: Phương pháp thế: Bước 1: Từ phương trình hệ, biểu thị ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn Bước 2: Thế biểu thức x vào phương trình cịn lại thu gọn, ta tìm giá trị y Bước 3: Thế giá trị y vào biểu thức x ta tìm giá trị x Cách 2: Phương cộng đại số: Bước 1: Nhân vế hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn đối Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình có phương trình ẩn Bước 3: Giải hệ phương trình vừa thu Chú ý: Nếu hệ phương trình có ẩn mà hệ số ±1 nên giải hệ theo phương pháp  *Lưu ý: Khi hệ có chứa biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hệ đơn giản Sau sử dụng phương pháp cộng để tìm nghiệm hệ phương trình.Các bước giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần) Bước 2: Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) Bước 3: Giải hệ theo ẩn phụ đặt Bước 4: Trở lại ẩn cho để tìm nghiệm hệ số (lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn phụ) Thí dụ Giải hệ phương trình: 1 1 x − y =  b)  3 + =  x y 11 3 x − y = x + y = a)  Hướng dẫn giải a) + Giải theo phương pháp thế: 11 3 − y = − y 11 3 x = − y 11 3 (1 − y ) − y = − y 11 3 x = ⇔ ⇔ ⇔  1 2y 2y x + y =  x =−  x =−  x = − y 11 3 − 11 = 8y −8 −1 −1 −1 3 − y = 8 y = y = y = y = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1− y 1− y 1− y 1− y − 2.(−1) x = x = x = x = x = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) + Giải theo phương pháp cộng đại số: − y 11 = = = 3 x= 4 x 12 = x x x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  1 3 + y = 2 y = −2 −1 x + y = x + y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) b) + Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC x a − b = 3a + 4b = y ; b (*) Hệ phương trình cho tương đương với  Đặt= a=  b=   = − = − = a b a b b 3 = b      Ta có:  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −b  4b 4b 3a += 3a += a = a = a = + b   b = Thay  vào (*) ta có a =  1   y =  y = (thỏa mãn) ⇔  1 = x =   x 7 9 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) =  ; 7  2 Thí dụ Giải hệ phương trình 2  x + y = b)  1 − 2y =  x  3x −  x −1 y + =  d)   2x + =  x − y + 3( x + 1) + 2( x + y ) = 4( x + 1) − ( x + y ) = a)  −1  x + =  y  c)  −7 2 x − =  y   x + y + y −1 =  e)   − = −1  x + y y − 4 x − y = f)  2 x + y = Hướng dẫn giải a) 4y 4y 4y 3( x + 1) + 2( x + y ) = 3 x + + x += 5 x += 5 x += ⇔ ⇔ ⇔  2y y 6 x −= y 10 4( x + 1) − ( x + y ) = 4 x + − x −= 3 x −= = = 11x 11 x ⇔ ⇔ 10 −1 6 x − y = y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y= ) b) (1; −1) Điều kiện x ≠ Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2 4 5  = + = + = 10 y y = x   x  x  x  x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (thỏa mãn)  1  −=  −=  −=  +y=  y = −1 2y 2y 2y  x  x  x  x 1 2   y )  ; −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;= c) Điều kiện y ≠ Đặt t = , hệ phương trình cho trở thành y  −1 −1  t −x −1  −1 x = =  x + t =2 t −x  x = −1 =  (thỏa mãn) ⇔ ⇒ ⇔ ⇔  −7 −7 y = 2 x − 3t = 2 x −  −1 − x  = 5 x = −5 t =     Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = d)  3x  x −1 −  (I )   2x +  x − ( −1; ) = y+2 ĐK x ≠ 1; y ≠ −2 = y+2  x  x − = a Khi hệ phương trình (I) trở thành: Đặt   =b  y + − 2b − 2b = = 3a = 3a = 7 a 14 a ⇔ ⇔ ⇔  +b + 2b 10 +b = 2a=  4a = 2a= b  x  x − = x = Khi ta có:  ⇔  =  y = −1  y + Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y= ) e)  x+ y +    −  x + y Đặt u = ( 2; −1) = y −1 Điều kiện: x ≠ − y; y ≠ = −1 y −1 1 v = Hệ phương trình thành : x+ y y −1 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4u + v u + 2v 10 = = 8= 9u = u ⇔ ⇔ ⇔  −1 u − 2v = −1 u + v = u − 2v = 2v = Thay vào hệ cho ta có :   x + y = x + y = −1 x =  ⇔ ⇔  y −1 = = y  =1   y −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = f) ( −1; ) Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 4 x − 3= 4 x − 3= 5= y y y ⇔ ⇔  y + y + y 4 x += 2 x = 2 x =  y = y = ⇔ ⇔ (Thỏa mãn) x =  2 x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1;0 ) Dạng tốn Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước Phương pháp: Bước 1: Thay giá trị m vào hệ phương trình Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Kết luận Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa điều kiện cho trước Phương pháp: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm ( x, y ) theo tham số m; Bước 2: Thế nghiệm x, y vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m; Bước 3: Kết luận Dạng 3: Tìm mối liên hệ x, y không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm ( x, y ) theo tham số m; Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số phương pháp làm tham số m; Bước 3: Kết luận ( a + 1) x − y = a + Thí dụ Cho hệ phương trình:   x + ( a − 1) y = (1) ( 2) ( a tham số) a) Giải hệ phương trình a = b) Giải biện luận hệ phương trình c) Tìm số ngun d) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm nguyên a để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x + y đạt GTNN Hướng dẫn giải a)   x = x− y = 3= 4 x Khi a = hệ phương trình có dạng:  ⇔ ⇔ x + y = y =2− x y =  5 3 4 4 Vậy với a = hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ;  b) Giải biện luận: Từ PT (1) ta có: y = ( a + 1) x − ( a − 1) ( 3) vào PT ( ) ta được: x + ( a + 1) ( a + 1) x − ( a − 1)  = ⇔ x + ( a − 1) x − ( a − 1) = ⇔ a2 x = a2 + ( 4) a2 + TH1: a ≠ , phương trình ( ) có nghiệm x = Thay vào ( 3) ta có: a2 ( a + 1) ( a + 1) − a ( a + 1) a3 + a + a + − a3 − a a + a2 + y = ( a + 1) − ( a + 1) = = = a a2 a2 a  a2 + a +  Suy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ;  a   a TH2: Nếu a = , phương trình ( ) vơ nghiệm Suy hệ phương trình cho vơ nghiệm KL:  a2 + a +  a ≠ hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ;  a   a a = hệ phương trình cho vơ nghiệm Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10  a2 + a +  Với a ≠ hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ;  a   a c)  a2 + ∈  x ∈   a Hệ phương trình có nghiệm ngun:  ⇔  y ∈   a +1 ∈   a ( a ∈ ) a2 + 1 =+ ∈  ⇔ ∈  ⇔ a =⇔ a= ±1 a a a Điều kiện cần: x = Điều kiện đủ: a =−1 ⇒ y =0 ∈  (nhận) a =1 ⇒ y =2 ∈  (nhận) Vậy a = ±1 hệ phương trình cho có nghiệm nguyên  a2 + a +  ;  a   a Với a ≠ hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  d) Ta có x + y = Đặt t = a2 + a + a2 + a + 2 + = =1 + + 2 a a a a a ta được: a    1   1 7 x + y =2t + t + =2  t + t +  =2  t +  +  =2  t +  + ≥ 2   4 8   16  Dấu " = " xảy t = − , a = −4 Vậy a = −4 hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x + y đạt GTNN a 2 x + by = Thí dụ Tìm a , b biết hệ phương trình:  có nghiệm x = ; y = bx + ay = Hướng dẫn giải Thay x = ; y = vào hệ ta có: a 2.1 + b.3 = ⇔  b.1 + a.3 = Sưu tầm tổng hợp a − 3b = ⇔  3a + b = 3a − 9b = ⇔  3a + b = 10b = −1 ⇔  3a + b = −1  b = 10  a = 17  10 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... a '' x + b '' y = PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn thường sử dụng phương pháp phương pháp cộng đại số Cách 1: Phương pháp thế: Bước 1: Từ phương trình hệ, biểu thị ẩn chẳng... Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1;0 ) Dạng tốn Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số. .. cần) cho hệ số ẩn đối Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình có phương trình ẩn Bước 3: Giải hệ phương trình vừa thu Chú ý: Nếu hệ phương trình