Skkn toan 9 pp giai phuong trinh 1 an 2021 6803

UBND QUẬN THANH XUÂN TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM *************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS Tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Tâm Lĩnh vực/Mơn: Tốn Cấp học: Trung học sở Năm học: 2020- 2021 1/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS MỤC LỤC I.Đặt vấn đề II Nội dung A Những kiến thức cần thiết để giải phương trình B Một số phương trình ẩn thường gặp III Kết áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .25 IV Kết luận 26 2/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT STT Nội dung viết tắt Kí hiệu viết tắt Trung học sở THCS 3/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS I ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận Qua thực tế giảng dạy cho thấy phần lớn thầy cô giáo lấy việc giải nhiều tập để rèn luyện cho học sinh mà theo nên rút phương pháp giải cho loại tập, phân loại dạng tập Thực chương trình cải cách giáo dục nội dung kiến thức cấp học ngày cao đòi hỏi học sinh phải nắm kiến thức Học sinh phải có phương pháp học, phương pháp tự nghiên cứu hợp lý để thực có kết cao, việc hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh Hơn tính sư phạm có định nghĩa, định lý, học sinh phải công nhận giải tốn Hệ thống tập khơng địi hỏi học sinh phải linh hoạt việc áp dụng kiến thức mà phải biết đào sâu khai thác, phát triển toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kho tàng kiến thức khổng lồ chương trình cấp học THCS phương trình Giải phương trình toán liên quan đến nhiều toán khác tìm tập xác định, giải tốn có lời văn cách lập phương trình Đối với phương trình có dạng học sinh áp dụng giải dễ dàng Tuy nhiên với phương trình dạng bậc cao phép tính phức tạp học sinh chưa đủ sở để làm Vì lý thấy cần phải nghiên cứu chun đề phương trình chương trình tốn THCS để giải phương trình cách xác nhanh Ứng dụng thực tiễn - Về phía giáo viên: Hệ thống khái niệm phương trình, tính chất cách giải phương trình từ đến phức tạp Nghiên cứu khai thác để tìm ứng dụng đa dạng, phong phú chương trình Mặt khác phải lựa chọn phương pháp thích hợp đơn vị kiến thức phù hợp 4/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS với đối tượng học sinh, đồng thời nâng cao trình độ nghiệp vụ giáo viên - Đối với học sinh: Nắm cách có hệ thống khái niệm phương trình, tính chất đặc biệt phép biến đổi tương đương, hệ Từ nhằm phát khả tư lôgic cho học sinh Giúp học sinh phát triển trí tuệ thơng qua hệ thống tập Học sinh thấy thuận tiện giải toán số học phương trình II NỘI DUNG A- Những kiến thức cần thiết để giải phương trình : Các định nghĩa a) Định nghĩa phương trình bậc ẩn: Cho A(x) B(x) hai biểu thức chứa biến x, nói A(x) = B(x) phương trình ta hiểu phải tìm giá trị x để giá trị tương ứng hai biểu thức - Biến x gọi ẩn - Giá trị tìm gọi nghiệm - Mỗi biểu thức gọi vế phương trình - Việc tìm nghiệm gọi giải phương trình b) Tập xác định phương trình: Là giá trị biến làm cho biểu thức phương trình có nghĩa c) Đối với hai phương trình tương đương: Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm d) Định nghĩa hai phương trình hệ Nếu nghiệm phương trình thứ nghiệm phương trình thứ hai phương trình thứ hai gọi phương trình hệ phương trình thứ 5/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS e) Định nghĩa phép biến đổi tương đương phương trình: Biến đổi phương trình cho thành phương trình khác tương đương với nó, đơn giản gọi phép biến đổi tương đương Các định lý biến đổi tương đương phương trình a) Định lý : Nếu cộng đa thức chứa ẩn vào hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ :5 x =10 x - x = 10 - x Hệ : Nếu chuyển hạng tử từ vế sang vế phương trình đồng thời đổi dấu hạng tử phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ: x - = x + x - x = + Hệ : Nếu xoá hai hạng tử giống hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : x - x2 - = x + x2 x - = x b) Định lý : Nếu nhân số khác vào hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ: - x + = x - x - = - x + Chú ý : Nếu nhân hai vế phương trình với đa thức chứa ẩn không tập xác định phương trình hệ mà thơi B - Một số phương trình ẩn thường gặp Phương trình bậc ẩn Dạng tổng quát : a x + b = ( a, b số, a ≠ ) Nghiệm phương trình x = - b/a 6/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS Nhận xét : Giải phương trình : m x + n = Phương trình cho chưa phương trình bậc ẩn nên giải cần phải xét hết trường hợp m ≠ phương trình có nghiệm x = - n/ m m = phương trình có dạng x = - n - Nếu n = phương trình có vơ số nghiệm - Nếu n ≠ phương trình vơ nghiệm Phương trình bậc hai ẩn Dạng tổng quát : ax2 + b x + c = (a, b, c € R , a≠ 0) Cách giải : a) Dùng công thức nghiệm : = b2 - 4ac = b’2 - ac (b’ = b/2) < phương trình vơ nghiệm , < phương trình vơ nghiệm = phương trình có nghiệm kép , = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - b/2a x1 = x2 = - b’/a , > phương trình có nghiệm phân biệt x1,2 = > phương trình có nghiệm phân biệt b x1,2 = 2a b' ' a b) Dùng định lý Vi-et: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 tổng tích hai nghiệm là: S = x1 + x2 = -b/a c) Phân tích vế trái thành tích d) Giải phương pháp đồ thị 7/27 P= x1x2 = c/a Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS Ví dụ: Giải phương trình bậc hai x2 - 9x + 20 = + Giải công thức nghiệm: = 81 - 80 = > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = = 5; x2 = =4 + Sử dụng định lý Vi-et: = 1> x1 + x2 = - b =- =9 a x1 x2 = c 20 = = 20 a x1 = 5; x2 = x2 - 9x + 20 = + Phân tích thành tích: x2 - 4x - 5x + 20 = x(x - 4) - 5(x - 4) = (x - 4)(x - 5) = x1 = 5; x2 = Nhận xét: Khi học sinh sử dụng phương pháp phải chuyển biểu thức vế trái, để vế phải từ sử dụng tính chất: A=0 A.B.C = B = C=0 Sai lầm mà học sinh thường mắc giải phương pháp Ví dụ : Giải phương trình: x2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) = (sai) x - = x - = + Phương pháp đồ thị: 8/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS Giải phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) ax2 = - bx - c Nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm đường cong P : y = ax2 đường thẳng D: y = - bx - c - Nếu P D khơng cắt phương trình vơ nghiệm - Nếu P D tiếp xúc phương trình có nghiệm kép - Nếu P D cắt hai điểm phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ: Giải phương trình : x2 - 9x + 20 = x2 = 9x - 12 P: y = x2 ; D: y = 9x - 20 Trong phương trình bậc hai, ngồi việc trang bị cho học sinh cách giải phải cho học sinh tiếp cận với số dạng toán khác như: 2.1/ Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Để xét phương trình bậc có nghiệm ta có thể: - Chứng tỏ Ví dụ: Chứng minh phương trình sau có nghiệm với m mx2 - 2(m - 1)x- (8m + 3) = Nếu > , (1) = (m-1)2 + m(8m + 3) = m2 - 2m + + 8m2 + 3m = 9m2 + m + > m Nếu m = => (1) 2x - = => x = 3/2 Trong xét điều kiện có nghiệm phương trình ta cần ý Nếu ac nên phương trình ax2 + bx + c = 0 mà a ≠ ta có có nghiệm 9/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS Chỉ với điều kiện ac chưa đảm bảo phương trình ax + bx + c = có nghiệm, chẳng hạn xét phương trình m2x2 - 3x - = ta có ac = - 5m với m = phương trình trở thành 0x = vơ nghiệm Như xét trường hợp ac ta phải xét trường hợp a ≠ a = 0, với a ≠ phương trình có nghiệm Ngồi cách chứng minh phương trình bậc có nghiệm nêu trên, ta cịn chứng minh phương trình bậc có nghiệm cách sau đây: Ví du: Cho phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh tồn số thực mà a.f( ) = phương trình có nghiệm Giải: Ta có: f(x) = ax2 + bx + c a.f(x) = a2x2 + abx + ac = (ax + b/2)2 - (b2/4 - ac) = (ax + b/2)2 - /4 Do af( ) = (a + b/2)2 - /4 Nếu f( ) /4 + b/2)2 => (a Vậy phương trình cho có nghiệm MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Chứng minh với a, b, c ≠ tồn phương trình sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) Bài 2: Cho a + b 2, chứng minh hai phương trình sau có nghiệm 10/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) số thực nằm khoảng hai nghiệm đó: - Nếu af( ) > ≠ f(x) có nghiệm nằm ngồi khoảng hai nghiệm - Nếu af( ) < f(x) có hai nghiệm x1; x2 x1 < < x2 Ví dụ: Tìm m để phương trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ Giải: Đặt X = x - => x = X + (1) trở thành 3(X + 2)2 - 4(X + 2) + 2(m - 1) = 3X2 + 8X + 2(m + 1) = (2) Phương trình có nghiệm khi: >0 P>0 m < 5/3 m > -1 S xét , phương trình chưa phương trình bậc hai tức m = Rõ ràng với m = (1) trở thành phương trình bậc ẩn, khơng thể có hai nghiệm phân biệt b/ Cần phân biệt “nghiệm nhất” “nghiệm kép” Tìm giá trị để phương trình sau vơ nghiệm: mx2 + 2m2x + = Tìm a, b nguyên cho phương trình x + ax + b = có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn -2 < x1 < -1 ; < x2 < Phương trình bậc cao Định nghĩa: Ta gọi phương trình đại số bậc n trường số thực phương trình đưa dạng: anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = Trong n nguyên dương, x ẩn, a 1, a2, ,an số thực xác định an≠0 Cách giải: Phương trình đại số bậc n thường giải quy phương trình bậc bậc hai Các dạng phương trình bậc cao thường gặp phương trình trùnh phương, phương trình đối xứng, phương trình thuận nghịch Sau số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao a) Đưa phương trình tích Phương pháp: Để giải phương trình P(x) = 0, P(x) đa thức bậc n với 14/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS n N, n > ta phân tích P(x) thành tích thừa số bậc bậc hai, ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm Nếu a nghiệm đa thức P(x) P(x) chia hết cho x - a, từ hạ bậc phương trình Chú ý: - Nếu đa thức có tổng hệ số nghiệm - Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ -1 nghiệm Ví dụ: Giải phương trình : 2x3 - x2 + 3x + = Tổng hệ số số hạng bậc chẵn 5, tổng hệ số số hạng bậc lẻ phương trình có nghiệm x = -1, ta biến đổi 2x3 - x2 + 3x + = 2x2(x + 1) - 3x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 1) (2x2 – 3x + 6) = Giải: x + = => x = -1 2x2 - 3x + = vơ nghiệm Phương trình cho có nghiệm là: x = -1 - Sai lầm học sinh hay mắc phải không biến đổi cho vế + Ví dụ: Giải phương trình x4 - = (x - 1).(x + 1).( x2 + 1) = x-1=3 x + = (sai) x2 + = b) Phương pháp đặt ẩn phụ 15/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS Phương pháp thường sử dụng với phương trình dạng sau - Phương trình đối xứng bậc 4: Dạng tổng quát : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (a ≠ 0) Cách giải: Vì khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 đặt ẩn phụ là: X = x + 1/x đưa phương trình dạng: Ax2 + Bx + C = Phương trình đối xứng bậc lẻ có nghiệm nên ta dùng phương pháp đưa phương trình tích (x - 1) đa thức đối xứng bậc chẵn Phương trình đối xứng bậc chẵn trường hợp đặc biệt phương trình: ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = với c/a = (d/b) Ta thường gọi phương trình phương trình hồi quy, cách giải: Đặt ẩn phụ phương trình đối xứng bậc Ví dụ: Giải phương trình x 3x 16 x 3x ( 1) Do x = không nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta 2x x x 16 2( x 2 x2 ) 3( x x2 ) 16 x x x2 Đặt X = x x2 ( 2) X2 Thay vào PT ( 2) ta được: 2X 3X 20 Phương trình có nghiệm X = - 4; X = 5/2 + Với X = - ta có: x x 16/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS x2 4x x1,2 ta có: x + Với X x 2 x2-5x +2 =0 x3=1/2 , x4=2 Phương trình cho có nghiệm là: x1,2 = - x3 = 1/2 , x4 = + Phương trình dạng ( x a) ( x b) Đặt ẩn phụ y = x c a b Ví dụ: Giải phương trình: ( x 2) ( x 4) 16 Đặt x + = y Ta có: ( y 1) ( y 1) 16 Rút gọn ta y y y2 Với 1; y ( loại ) y = Ta x = - y =-1 Ta x= - + Phương trình dạng: (x + 4)(x + b)(x +c)(x + d) = mx Với ad = bc Đặt ẩn phụ y = x + ad y = (x + a)(x + d) + Phương trình dạng: ( x + a)(x + b)(x + c)( x + d) = mx Với ad = bc Đặt ẩn phụ y = x + ad y = (x + a) (x+d) 17/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS + Đặt ẩn phụ y = x + (a + d ) c Đưa hai luỹ thừa bậc Ví dụ : Giải phương trình : x = 4x - Giải : Cộng thêm 4x + vào vế ta x + 4x + = 4x + 4x + -3 (x + 2) = (2x + 1) => x + = 2x + (1) x + = -2x - (2) Phương trình (1) có nghiệm x1,2 =1 Phương trình (2) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm kép x = Nhận xét : Với dạng học sinh thường mắc sai lầm coi A = B A = B , thiếu trường hợp A = - B Phương trình phân thức hữu tỷ * Định nghĩa : Phương trình phân thức hữu tỷ phương trình có dạng : P ( x, y ) = (1) Q( x, y ) Trong P (x,y ) Q (x,y ) đa thức ; Q(x,y) ≠ Phương trình (1) tương đương với : P (x,y ) = Q (x,y ) ≠ Trong chương trình phổ thơng sở phương trình gọi phương trình chứa ẩn mẫu * Cách giải : - Tìm tập xác định 18/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS - Quy đồng khử mẫu đưa dạng phương trình nêu nhiên có số phương trình phân thức hữu tỷ giải biến đổi dẫn đến đặt ẩn phụ để đưa phương trình đơn giản Ví dụ : Giải phương trình x + x - 18 x x =3 Giải : TXĐ : x ≠ ; x ≠ -1 18 Đặt x + x = y ta có y - y = ( y ≠ ) y - 3y - 18 = y = - ; y = Với y = - 3; y = Với y = x + x - = => x = 2; x = -3 Nghiệm phương trình : x = ; x = - Nhận xét : Sai lầm học sinh dạng khơng tìm TXĐ biểu thức phương trình dẫn đến biến đổi khơng tương đương Vì khơng loại nghiệm khơng phù hợp Bài tập : Giải phương trình : x + x + 2(x + 1 + =0 x x 1 )=6 ) - (x + x x x x2 + =2 x x x4 2x + =2 2x x4 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 19/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối + Sử dụng định nghĩa : |A| = A A ≥ - A A < + Phương pháp thông thường xét khoảng giá trị thuộc miền xác định ẩn + Ngồi sử dụng phương pháp bình phương hai vế đưa giải phương trình bậc : | A(x) | = B(x) điều kiện B (x) ≥ [A(x)] = B[(x)] Ví dụ : Giải phương trình |(2x +3)| = x + điều kiện x > - Cách : x ≥ - 3/2 (1) có nghiệm x = - x = - 5/3 Cách : với điều kiện x ≥ bình phương vế (1) (1) (2x + 3) = (x + 2) 3x + 8x + = x = -1; x = - 5/3 (thoả mãn điều kiện) Nhận xét: Sai lầm học sinh thương mắc không xét hết khoảng, không so sánh với điều kiện ẩn + Phương pháp đặt ẩn phụ : Ví dụ : Giải phương trình : 3x + 2|x| - = Giải : Đặt y = |x| > Ta có 3y + 2y - = => y1 = -1(loại) ; y2 = 1/3 Vậy | x | = 1/3 x1 = 1/3 ; x2 = -1/3 20/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS + Phương pháp đưa giải bất phương trình Ví dụ : Giải phương trình : | - 2x | = 2x - Giải : Viết lại phương trình dạng |2x -1| = 2x -1 Ta biết |A| = A A ≥ Do ta có : 2x - ≥ 2x ≥ x ≥ 1/2 Bài tập : Giải phương trình sau : a) | 5x - | = | 5x + | b) | x + | + | x - 3| = c) | x + 2x + | + | x - | = 6 Phương trình chứa tham số Trong chương trình THCS phương trình gọi phương trình có hệ số hay chữ Ví dụ : Giải phương trình mx + (m - 2)x + 4m - = (1) Nếu m = (1) - 12x - = x = -7/2 Nếu m ≠ (1) phương trình bậc hai A' = ( m - 4).(5m - 9) Nếu ' = ( m-4 ).(5m - 9) Nếu ' < m = m= Nếu => m < => Phương trình vơ nghiệm ' = m = m= 21/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS Thì phương trình có nghiệm kép Nếu ' > m > m< Thì phương trình có nghiệm phân biệt x1,2 = 3(m 2) 2m Bài tập : Giải phương trình sau : a) (m - m)x + 2mx + = b) mx - 2x + = Phương trình vơ tỷ Phương trình vơ tỷ phương trình chứa ẩn nằm dấu Để giải phương trình loại ta cần ý số kiến thức sau: + Một số âm khơng có bậc chẵn Do điều kiện ẩn biểu thức chứa ẩn dấu bậc chẵn số không âm + Đặt điều kiện ẩn biểu thức chứa ẩn dấu bậc chẵn số không âm + Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn vế phương trình đảm bảo nhận phương trình tương phương trình đảm bảo nhận phương trình tương đương: + A2 = | A | A + B = A A2 B + A A2 B Với A > ; A > B > Các phương trình dùng để giải phương trình vơ tỷ 22/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS a) Phương pháp nâng lên luỹ thừa: Để làm bậc n ta nâng vế lên luỹ thừa bậc n Nếu n số chẵn phép biến đổi tương đương vế không âm Ví dụ : Giải phương trình x - x = (1) Điều kiện x ≥ - (2) Viết phương trình (1) dạng : x = x + (3) Hai vế (3) khơng âm , bình phương vế: x+1=x-2+1+2 x = x x =1 x - = x = Thoả mãn điều kiện (2) Nghiệm (1) x = b) Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: Ví dụ : Giải phương trình x 3 x + x x =1 Giải: Điều kiện x Biến đổi ( 1) x x ( x 2) x x x ( x 3) x 1 Với x >10 phương trình ( 2) trở thành: x x x 10 (loại ) 23/27 Các phương pháp giải phương trình ẩn chương trình tốn THCS Với x