Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 7 Phương trình quy về phương trình bậc hai Bài 45 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2 Giải các phương trình a) (x+2)2 – 3x – 5 =(1 – x)(1 + x) b) (x – 1)3 + 2x = x3 – x2 – 2x + 1 c) x(x2 – 6 ) – (x – 2)2 =[.]
Bài 7: Phương trình quy phương trình bậc hai Bài 45 trang 59 SBT Toán Tập 2: Giải phương trình: a) (x+2)2 – 3x – =(1 – x)(1 + x) b) (x – 1)3 + 2x = x3 – x2 – 2x + c) x(x2 – ) – (x – 2)2 = (x + 1)3 d) (x + 5)2 + (x – 2)2 + (x + 7)(x – 7) = 12x – 23 Lời giải: a) Ta có: (x + 2)2 – 3x – = (1 – x)(1 + x) ⇔ x2 + 4x +4 –3x –5 =1 – x2 ⇔ 2x2 +x –2 =0 Δ = 12 –4.2.(–2) =1 +16 =17 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 1 17 17 ; 2.2 x2 1 17 17 2.2 17 17 ; Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S b) Ta có: (x –1)3 + 2x = x3 – x2 – 2x + ⇔ x3 – 3x2 + 3x – + 2x = x3 – x2 – 2x + ⇔ 2x2 – 7x + = Δ = (–7)2 – 4.2.2 = 49 – 16 = 33 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 33 33 ; 2.2 x2 33 33 2.2 33 33 Vậy tập nghiệm phương trình S = ; 4 c) Ta có: x(x2 – ) – (x – 2)2 = (x + 1)3 ⇔ x3 – 6x – x2 + 4x – = x3 + 3x2 + 3x + ⇔ 4x2 + 5x + = Δ = 52 – 4.4.5 = 25 – 80 = – 55 < Vậy phương trình vơ nghiệm d) Ta có: (x + 5)2 + (x – 2)2 + (x + 7)(x – 7) = 12x – 23 ⇔ x2 + 10x + 25 + x2 – 4x + + x2 – 49 = 12x – 23 ⇔ x2 + 10x + 25 + x2 – 4x + + x2 – 49 – 12x + 23 = ⇔ 3x2 – 6x + = ⇔ x2 – 2x + = Δ’ = (–1)2 – 1.1 = – = Phương trình cho có nghiệm kép: x1 = x2 = b' =1 a Vậy tập nghiệm phương trình S = {1} Bài 46 trang 59 SBT Toán Tập 2: Giải phương trình: a) 12 1 x 1 x 1 b) 16 30 3 x 1 x x 3x c) x 3 x x d) 2x x 8x x x x x x 7x 6x 30 x x 16 e) x3 x x 1 x 9x 17 f) x 1 x x2 x Lời giải: a) Điều kiện x 1 Ta có: 12 1 x 1 x 1 12 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 12(x + 1) – 8(x – 1) = (x + 1)(x – 1) (*) ⇔ 12x + 12 – 8x + = x2 – ⇔ x2 – 4x – 21 = Δ’ = (–2)2 –1.(–21) = + 21b = 25 > Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 25 25 7;x 3 1 Cả hai giá trị x thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu S = {–3; 7} b) Điều kiện x 3;x Ta có: 16 30 3 x 1 x 16 1 x 30 x 3 x 31 x x 31 x x 31 x x 31 x 16 1 x 30 x 3 x 31 x (*) 16 16x 30x 90 3x 3x 9x 3x 2x 65 ' 12 3. 65 195 196 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 1 196 13 1 196 ;x 5 6 Cả hai giá trị x thỏa mãn 13 Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu là: S = ; 5 3 c) Điều kiện x 3;x 2 x 3x Ta có: x 3 x x 1. x x 3x x 3 x x 3 x x 3x x x 4x (*) Có a = 1; b = –4; c = Ta có a + b + c = nên phương trình có nghiệm x1 (thỏa mãn); x2 c (loại) a Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu S = {1} d) Điều kiện: x 2;x 4 Ta có: 2x x 8x x x x x 2x x x x 2 8x x x x x x x 2x x x x 8x (*) 2x 8x x 2x 8x x 2x ' 12 1. 8 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 1 1 2;x 4 1 Cả hai giá trị x khơng thỏa mãn điều kiện tốn Vậy phương trình cho vô nghiệm e) Điều kiện: x Ta có: x 7x 6x 30 x x 16 x3 x x 1 x 7x 6x 30 x x 16 x 1 x x 1 x x x 7x 6x 30 x x 16 x 1 x2 x 1 x 1 x x 1 x 7x 6x 30 x x 16 x 1 x 7x 6x 30 x x x x 16x 16 9x 11x 14 11 4.9. 14 121 504 625 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 11 625 11 625 7 2;x 2.9 2.9 Cả hai giá trị x thỏa mãn: 7 Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu S = ;2 9 f) Điều kiện: x 1 x 9x 17 Ta có: x 1 x x2 x x 9x 17 x 1 x 1 x 1 x 1 17 x 1 x 9x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 9x 17 x 1 x 9x 17x 17 x 8x 16 Δ’ = (–4)2 – 1.16 = 16 – 16 = Phương trình có nghiệm kép :x1 = x2 = b =4 2a 2.1 Giá trị x thỏa mãn điều kiện tốn Vậy nghiệm phương trình x =4 Bài 47 trang 59 SBT Toán Tập 2: Giải phương trình sau cách đưa phương trình tích a) 3x3 + 6x2 – 4x = b) (x + 1)3 – x + = (x – 1)(x – 2) c) (x2 + x + 1)2 = (4x – 1)2 d) (x2 + 3x + 2)2 = 6.(x2 + 3x + 2) e) (2x2 + 3)2 – 10x3 – 15x = f) x3 – 5x2 – x + = Lời giải: a) Ta có: 3x3 + 6x2 – 4x = ⇔ x(3x2 + 6x – 4) = ⇔ x = 3x2 + 6x – = Giải phương trình 3x2 + 6x – = Δ’ = 32 – 3.(–4) = + 12 = 21 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b' ' 3 21 ; 2a x2 b' ' 3 21 2a 3 21 3 21 ; Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 0; 3 b) Ta có: (x + 1)3 – x + = (x – 1)(x – 2) ⇔ x3 + 3x2 + 3x + – x + = x2 – 2x – x + ⇔ x3 + 2x2 + 5x = ⇔ x(x2 + 2x + 5) = ⇔ x = x2 + 2x + = Giải phương trình x2 + 2x + = Δ’ = 12 – 1.5 = – = –4 < ⇒ phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {0} c) Ta có: (x2 + x + 1)2 = (4x – 1)2 ⇔ [(x2 + x + 1) + (4x – 1)] [(x2 + x + 1) – (4x – 1)] = ⇔ (x2 + 5x)(x2 – 3x + 2) = ⇔ x(x + 5) (x2 – 3x + 2) = ⇔ x = x + = x2 – 3x + = + Giải x + = ⇔ x = –5 + Giải phương trình x2 – 3x + = Δ = (–3)2 – 4.2.1 = – = > Phương trình có nghiệm phân biệt: x1 3 3 2;x 1 2.1 2.1 Vậy tập nghiệm phương trình ba đầu S = {0; –5; 2; 1} d) (x2 + 3x + 2)2 = 6.(x2 + 3x + 2) ⇔ (x2 + 3x + 2)2 – 6.(x2 + 3x + 2) = ⇔ (x2 + 3x + 2)[ (x2 + 3x + 2) – 6] = ⇔ (x2 + 3x + 2).(x2 + 3x – ) = x 3x x 3x + Giải phương trình: x2 +3x + =0 Phương trình có dạng a – b + c = nên x1 = –1 , x2 = c 2 = –2 a + Giải phương trình: x2 +3x –4 =0 Phương trình có dạng a + b + c = nên x1 = ,x2 = c 4 –4 a Vậy tập nghiệm phương trình S = {–2; –1; 1; 4} e) Ta có: (2x2 + 3)2 – 10x3 – 15x = ⇔ (2x2 + 3)2 – 5x(2x2 + 3) = ⇔ (2x2 + 3)(2x2 + – 5x) = ⇔ (2x2 + 3)(2x2 – 5x + 3) = Vì 2x2 ≥ nên 2x2 + > Suy : 2x2 – 5x + = Giải phương trình 2x2 – 5x + = Δ = (–5)2 – 4.2.3 = 25 – 24 = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 5 5 ;x 1 2.2 2.2 3 Vậy tập nghiệm phương trình S = ;1 2 f) Ta có: x3 – 5x2 – x + = ⇔ x2( x – 5) – ( x – 5) = ⇔ (x – 5)(x2 – 1) = ⇔ (x – 5)(x – 1)(x + 1) = x x x x x x 1 Vậy tập nghiệm phương trình S = {–1; 1; 5} Bài 48 trang 60 SBT Toán Tập 2: Giải phương trình trùng phương a) x4 –8x2 – =0 b) y4 – 1,16y2 + 0,16 =0 c) z4 –7z2 – 144 =0 d) 36t4 – 13t2 +1 =0 e) f) x x 0 3x x Lời giải: a) Đặt m = x2 Điều kiện m ≥ Ta có: x4 – 8x2 – = Phương trình trở thành m2 – 8m – = Phương trình m2 – 8m – = có hệ số a = 1, b = –8, c = –9 nên có dạng a – b + c = Suy ra: m1 = –1 (loại) , m2 = 9 (thỏa mãn) Ta có: x x 3 Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu S = {–3; 3} b) Đặt m = y2 Điều kiện m ≥ Ta có: y4 – 1,16y2 + 0,16 = Phương trình trở thành m2 – 1,16m + 0,16 = Phương trình m2 – 1,16m + 0,16 = có hệ số a = 1; b = –1,16; c = 0,16 nên có dạng a + b+c=0 Suy ra: m1 = 1(thỏa mãn) , m2 = c 0,16 = 0,16(thỏa mãn) a Ta có: y2 =1 ⇒ y = ± y2 = 0,16 ⇒ y = ± 0,4 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {–1; –0,4; 0,4; 1} c) Đặt m = z2 Điều kiện m ≥ Ta có: z4 – 7z2 – 144 = Phương trình trở thành m2 – 7m – 144 = (*) Ta có: Δ = (–7)2 – 4.1.(–144) = 49 + 576 = 625 > Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt m1 625 16 (thỏa mãn) 2.1 m2 625 9 (loại) 2.1 VỚi m = 16 z 16 z Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S 4;4 d) Đặt m = t2 Điều kiện m ≥ Ta có: 36t4 – 13t2 + = Phương trình trở thành 36m2 – 13m + = (*) Ta có: Δ = (–13)2 – 4.36.1 = 169 – 144 = 25 > Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: m1 13 25 18 (thỏa mãn) 2.36 72 m2 13 25 (thỏa mãn) 2.36 72 + Với m = 1 t2 t 4 + Với m = 1 t2 t 9 1 1 1 Vậy tập nghiệm phương trình cho S ; ; ; 2 3 e) Đặt m = x2 Điều kiện m ≥ Ta có: x x 0 Phương trình trở thành 1 m m 0 2m 3m có hệ số a = 2; b = –3; c = Ta có: a + b + c = (thỏa mãn) m1 (thỏa mãn); m + Với m = t t 1 + Với m = 1 t2 t 2 2 ; ;1 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 1; 2 f) Đặt m = x2 Điều kiện m ≥ Ta có: 3x x Phương trình trở thành 3m2 m Ta có: a 3;b ;c 2 có a – b + c = m 1 (loại); m Với m = c (thỏa mãn) a 2 x2 x 3 3 6 ; Vậy phương trình có tập nghiệm S = 3 Bài 49 trang 60 SBT Toán Tập 2: Chứng minh a c trái dấu phương trình trùng phương ax4+bx2+c =0 có hai nghiệm chúng hai số đối Lời giải: Đặt m = x2 Điều kiện m ≥ Ta có: ax4 + bx2 + c = Phương trình trở thành am2 + bm + c = Vì a c trái dấu nên c < Phương trình có nghiệm phân biệt m1 m2 a Theo hệ thức Vi–ét,ta có: m1m2 = Vì a c trái dấu nên c a c x = ± m2 Vậy phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = có hai nghiệm chúng hai số đối a c trái dấu Bài 50 trang 60 SBT Toán Tập 2: Giải phương trình sau cách đặt ẩn số phụ a) (4x – 5)2 – 6(4x – 5) + = b) (x2 + 3x – 1)2 + 2(x2 + 3x – 1) – = c) (2x2 + x – 2)2 + 10x2 + 5x – 16 = d) (x2 – 3x + 4)(x2 – 3x + 2) = e) 2x 5x 30 x x f) x x Lời giải: a) Đặt m = 4x – Ta có: (4x – 5)2– 6(4x – 5) + = Phương trình trở thành m2 – 6m + = (*) Δ’ = (–3)2 – 1.8 = – = > Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt m1 3 (thỏa mãn); m2 3 (thỏa mãn) x 4x 4x Do đó: 4x 4x x 7 Vậy tập nghiệm phương trình S = ; 4 4 b) Đặt m = x2 + 3x – Ta có: (x2 + 3x – 1)2 + 2(x2 + 3x – 1) – = Phương trình trở thành m2 + 2m – = (*) Δ’ = 12 – 1.(–8) = + = > Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt m1 1 2; m2 1 4 + Với m = x2 + 3x – = x 3x (1) 32 4.1. 3 12 21 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 3 21 21 ; 2.1 x2 3 21 21 2.1 + Với m = –4 ta có: x2 + 3x – = x 3x 32 4.1.3 12 3 Phương trình vơ nghiệm 3 21 21 ; Vậy tập nghiệm phương trình cho S = 2 c) (2x2 + x – 2)2 + 10x2 + 5x – 16 = ⇔ (2x2 + x – 2)2 + 5(2x2 + x – 2) – = Đặt m = 2x2 + x – Phương trình trở thành: m 5m (*) có a = 1; b = 5; c = –6 nên a + b + c = Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: m1 ; m2 c 6 6 a + Với m = 2x x 2x x (1) Phương trình có a = 2; b = 1; c = –3 nên a + b + c = 0, phương trình (1) có nghiệm x1 1; x c 3 a + Với m = –6 2x x 6 2x x (2) 12 4.2.4 31 Do phương trình (2) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu S = 31 d) (x2 – 3x + 4)(x2 – 3x + 2) = Ta có: (x2 –3x + 4)(x2 – 3x + 2) = ⇔ (x2 – 3x + + 2)(x2 – 3x + 2) – = ⇔ (x2 – 3x + 2)2 + 2(x2 – 3x + 2) – = Đặt m = x2 – 3x + phương trình trở thành: m 2m (*) ta có a = 1; b = 2; c = –3 nên a + b + c = 0, dó đo phương trình (*) có hai nghiệm m1 1;m c 3 = –3 a + Với m = x 3x x 3x (1) 3 4.1.1 > Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 3 3 ; 2.1 x2 3 3 2.1 + Với m = –3 x 3x 3 x 3x (2) 3 4.1.5 20 11 Phương trình (2) vô nghiệm Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = ; 2 2x 5x Điều kiện x 1 e) x 1 x Đặt x m Khi phương trình trở thành 2m 5m x 1 Phương trình 2m 5m có a = 2; b = –5; c = nên có dạng a + b + c = m1 1;m c a + Với m = + Với m = x x x (vô nghiệm) x 1 x 2x 3x x 3 (thỏa mãn) x 1 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 3 f) x x Điều kiện x x 1 x 1 Đặt m = x điều kiện m phương trình trở thành: m m (*) có a = 1; b = –1; c = –2 nên a – b + c = c m1 1 (loại); m (thỏa mãn) a + Với m = x x x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trìn ban đầu S = 5 Bài tập bổ sung Bài trang 60 SBT Toán Tập 2: Giaỉ phương trình: a) x 2x 3x 2x b) 2x 2x Lời giải: a) x 2x 3x 2x x 2x x 2x 2x x x 2x 1 2x x 1 x x 1 2x x 1 x x 1 2x x 1 Đặt x(x – 1) = t Khi phương trình trở thành: t 2t có a = 1; b = 2; c= – nên a + b + c = t1 1;t c 3 3 a + Với t = x x 1 x x (1) 1 4.1 1 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 1 1 ; 2.1 x2 1 1 2.1 + Với t = –3 x x 1 3 x x (2) 1 4.1.3 12 11 Phương trình (2) vơ nghiệm 1 ; Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu là: S b) 2x 2x điều kiện: – 2x x 2x 2x đặt 2x t t Ta có phương trình: t t t t (*) 12 4.1. 5 20 21 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: t1 1 21 21 (thỏa mãn) 2.1 t2 1 21 21 < (loại) 2.1 2x 2x 21 21 21 12 8x 22 21 8x 12 22 21 x 21 21 (thỏa mãn) 21 Vậy tập nghiệm phương trình S Bài trang 60 SBT Toán Tập 2: Cho phương trình: x + x m 6m 11 a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình có nghiệm với giá trị m Lời giải a) Khi m = ta có phương trình x x điều kiện x x 1 x 1 Ta có phương trình t 2t (*) ' 12 1. 2 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt t1 1 1 (thỏa mãn) t2 1 1 (loại) Với t = 1 x x 1 1 x 1 1 x 52 Vậy với m = phương trình có nghiệm x = b) x x m2 6m 11 điều kiện x x x m 6m 10 Đặt x 1 t t Ta có phương trình t 2t m 6m 10 Ta có: c = –m2 + 6m – 10 = –(m2 – 6m + + 1) = –[(m – 3)2 + 1] < Nên x < mà a = > nên a c trái dấu, phương trình có hai nghiệm phân biệt t1; t2 trái dấu với Giả sử t1 x t12 Vậy phương trình ln có nghiệm với m Bài trang 60 SBT Toán Tập 2: (Đề thi học sinh giỏi tốn Bulgari – Mùa xn năm 1997) Tìm giá trị m để phương trình [x2 – 2mx – 4(m2 + 1)][x2 – 4x – 2m(m2 + 1)] = có ba nghiệm phân biệt Lời giải: Phương trình: x 2mx m 1 x 4x 2m m 1 x 2mx m 1 (1) 2 x 4x 2m m 1 (2) Ta xét phương trình (1): x 2mx m2 1 1 ' m 4 m 1 m m 1 với m Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt: Ta xét phương trình (2): x 4x 2m m2 1 ' 2 12m m 1 2m m2 1 2m3 2m Phương trình (2) có nghiệm ' 2m3 2m Phương trình (2) có nghiệm ' 2m3 2m m3 m m3 m m m 2m m m 1 m m 1 m 1 m 1 m2 m 1 1 Vì m m m m m 4 2 2 m m 1 Vậy với m 1 phương trình (2) có nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt sảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm kép khác với nghiệm phương trình (1) Ta có: ' m 1 vahay nghiệm phương trình (2) nghiệm kép x = Thay x = vào phương trình (1) ta có: – 4m – 4(m2 + 1) 4m 4m 4m 4m 4m m 1 vơ lí m = –1 ... 16 16x 30x 90 3x 3x 9x 3x 2x 65 '' 12 3. 65 195 196 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 1 196 13 1 196 ;x 5 6 Cả hai giá trị x thỏa... 16x 16 9x 11x 14 11 4 .9. 14 121 504 625 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 11 625 11 625 ? ?7 2;x 2 .9 2 .9 Cả hai giá trị x thỏa mãn: ? ?7 Vậy tập... phương trình ban đầu S = ;2 ? ?9 f) Điều kiện: x 1 x 9x 17 Ta có: x 1 x x2 x x 9x 17 x 1 x 1 x 1 x 1 17 x 1 x 9x x 1 x 1 x