Bài 4 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Bài 20 trang 53 SBT Toán 9 Tập 2 Xác định các hệ số a, b, c ; tính biệt thức Δ rồi tìm nghiệm của các phương trình a) 2x2 – 5x + 1 = 0 b) 4x2 + 4x + 1 =[.]
Bài 4: Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Bài 20 trang 53 SBT Toán Tập 2: Xác định hệ số a, b, c ; tính biệt thức Δ tìm nghiệm phương trình: a) 2x2 – 5x + = b) 4x2 + 4x + = c) 5x2 – x + = d) –3x2 + 2x + = Lời giải: a) 2x2 – 5x + = Phương trình 2x2 – 5x + = có a = 2, b = –5, c = Ta có: Δ = b2 – 4ac = (–5)2 – 4.2.1 = 25 – = 17 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 5 17 17 2a 4 x2 b 5 17 17 2a 4 17 17 ; Vậy tập nghiệm phương trình S = b) 4x2 + 4x + = Phương trình 4x2 + 4x + = có a = 4, b = 4, c = Ta có: Δ = b2 – 4ac = 42 – 4.4.1 = 16 – 16 = Phương trình có nghiệm kép: x1 x b 4 4 1 2a 2.4 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2 c) 5x2 – x + = Phương trình 5x2 – x + = có a = 5, b = –1, c = Ta có: Δ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4.5.2 = – 40 = –39 < Vậy phương trình vơ nghiệm d) –3x2 + 2x + = Phương trình –3x2 + 2x + = có a = –3, b = 2, c = Ta có: Δ = b2 – 4ac = 22 – 4.(–3).8 = + 96 = 100 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b 2 10 2a 2. 3 6 3 x2 b 2 10 12 2 2a 2. 3 6 4 Vậy tập nghiệm phương trình S = ;2 3 Bài 21 trang 53 SBT Toán Tập 2: Xác định hệ số a, b, c giải phương trình: a) 2x 2x b) 2x 2 x c) 2 x 2x 3 d) 3x 7,9x 3,36 Lời giải: a) Phương trình 2x 2x có a = 2; b = –2 ; c = Ta có: b 4ac 2 4.2.1 Phương trình có nghiệm kép: x1 x b 2 2 2a 2.2 Vậy tập nghiệm phương trình S = b) Phương trình 2x 2 x có a = 2; b = – 2 ; c = Ta có: b 4ac 2 4.2 = – 4 1 = + 2.2 2 1 2 1 2 2 0 1 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b 2 2 x1 2a 2.2 1 2 1 2 ; 2.2 b 2 2 x2 2a 2.2 2 2 2 2.2 1 Vậy tập nghiệm phương trình S = ; 2 c) Phương trình 2 x 2x 3 x 6x Phương trình x 6x có a = 1; b = –6; c = –2 Ta có: b2 4ac 6 4.1. 2 36 44 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 6 11 11 11 2a 2.1 x2 b 6 11 11 11 2a 2.1 Vậy tập nghiệm phương trình S 11;3 11 d) Phương trình 3x2 + 7,9x + 3,36 = có a = 3, b = 7,9, c = 3,36 Ta có: Δ = b2 – 4ac = 7,92 – 4.3.3,36 = 62,41 – 40,32 = 22,09 > Phương trình có hai nghiêm phân biệt: x1 b 7.9 4,7 8 ; 2a 2.3 15 x2 b 7.9 4,7 21 2a 2.3 10 8 21 Vậy tập nghiệm phương trình S = ; 15 10 Bài 22 trang 53 SBT Toán Tập 2: Giải phương trình đồ thị: Cho phương trình 2x2 + x – = a) Vẽ đồ thị hai hàm số y = 2x2, y = –x + mặt phẳng tọa độ b) Tìm hoành độ giao điểm hai đồ thị Hãy giải thích hồnh độ nghiệm phương trình cho c) Giải phương trình cho cơng thức nghiệm, so sánh với kết tìm câu b Lời giải: a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 Bảng giá trị x –2 –1 y = 2x2 2 Vẽ đồ thị hàm số y = –x + Cho x = y = ⇒ (0; 3) Cho y = x = ⇒ (3; 0) b) Ta có: I(–1,5; 4,5), J(1; 2) x = –1,5 nghiệm phương trình 2x2 + x – = vì: 2(–1,5)2 + (–1,5) – = 4,5 – 4,5 = x = nghiệm phương trình 2x2 + x – = vì: 2.12 + – = – = c) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 12 – 4.2.(–3) = + 24 = 25 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b 1 25 1; 2a 2.2 x2 b 1 25 3 2a 2.2 Kết câu c trùng với kết câu b Bài 23 trang 53 SBT Toán Tập 2: Cho phương trình x 2x a) Vẽ đồ thị hai hàm số y = x ; y = 2x – mặt phẳng tọa độ Dùng đồ thị tìm giá trị gần nghiệm phương trình (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) b) Giải phương trình cho công thức nghiệm, so sánh với kết tìm câu a Lời giải: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x Bảng giá trị: y= x –2 –1 2 x 2 2 Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – Cho x = y = –1 ⇒ (0; –1) Cho y = x = 1 ⇒ ( ; 0) 2 Dựa vào đồ thị, ta có: x1 0,60;x 3,40 b) Ta có: x 2x x 4x b2 4ac 4 4.1.2 16 82 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 2 3,41 2a x2 b 2 0,59 2a Kết câu a trùng với kết câu b Bài 24 trang 54 SBT Toán Tập 2: Đối với phương trình sau, tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép: a) mx2– 2(m – 1)x + = b) 3x2 + (m + 1)x + = Lời giải: a) Phương trình mx2 – 2(m – 1)x + = có nghiệm kép m ≠ Δ = Ta có: Δ = [–2(m – 1)]2 – 4.m.2 = 4(m2 – 2m + 1) – 8m = 4(m2 – 4m + 1) Δ = ⇔ 4(m2 – 4m + 1) = ⇔ m2 – 4m + = Giải phương trình m2 – 4m + = Ta có: m = (–4)2 – 4.1.1 = 16 – = 12 > m1 b m 4 2 3; 2a 2.1 m2 b m 4 2 2a 2.1 Vậy m = m = – phương trình có nghiệm kép b) Phương trình 3x2 + (m + 1)x + = có nghiệm kép Δ = Ta có : Δ = (m + 1)2 – 4.3.4 = m2 + 2m + – 48 = m2 + 2m – 47 Δ = ⇔ m2 + 2m – 47 = Giải phương trình m2 + 2m – 47 = Ta có: m = 22 – 4.1.(–47) = + 188 = 192 > m 192 m1 b m 2 1 2a 2.1 m2 b m 2 4 2a 2.1 Vậy với m 1;m 1 phương trình cho có nghiệm kép Bài 25 trang 54 SBT Toán Tập 2: Đối với phương trình sau, tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, tính nghiệm phương trình theo m: a) mx2 + (2m – 1)x + m + = b) 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 – = Lời giải: a) mx2 + (2m – 1)x + m + = (1) *Nếu m = 0, ta có (1) ⇔ –x + = ⇔ x = *Nếu m ≠ (1) có nghiệm Δ ≥ Ta có : Δ = (2m – 1)2 – 4m(m + 2) = 4m2 – 4m + – 4m2 – 8m = –12m + Δ ≥ ⇔ –12m + ≥ ⇔ m ≤ Vậy m ≤ 12 phương trình cho có nghiệm 12 Giải phương trình (1) theo m: x1 b 2m 1 2m 2m 2m ; 2a 2.m 2m x2 b 2m 1 2m 2m 2m 2a 2.m 2m b) 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 – = (2) Phương trình (2) có nghiệm Δ ≥ Ta có: Δ = [–(4m + 3)]2 – 4.2(2m2 – 1) = 16m2 + 24m + – 16m2 + = 24m + 17 Δ ≥ ⇔ 24m + 17 ≥ ⇔ m ≥ Vậy m ≥ – 17 24 17 phương trình cho có nghiệm 24 Giải phương trình (2) theo m x1 b 4m 24m 17 ; 2a x2 b 4m 24m 17 2a Bài 26 trang 54 SBT Toán Tập 2: Vì phương trình ax2 + bx + c = có hệ số a c trái dấu có nghiệm? Áp dụng: Khơng tính Δ, giải thích phương trình sau có nghiệm: a) 3x2– x – = b) 2004x2 + 2x – 1185 = c) x2 + ( – )x + – =0 d) 2010x2 + 5x – m2 = Lời giải: Khi a c trái dấu ac < 0, suy –ac > 0, suy –4ac > Ta có: Δ = b2 – 4ac, b2 Nếu –4ac > Δ ln lớn Khi Δ > nghĩa phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng : a) Phương trình 3x2 – x – = có: a = 3, c = –8 nên ac < Vậy phương trình có nghiệm phân biệt b) Phương trình 2004x2 + 2x – 1185 = có: a = 2004, c = –1185 nên ac < Vậy phương trình có nghiệm phân biệt c) Phương trình x2 + ( – )x + – Ta có: a 2;c nên ac < (vì =0 3) Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Phương trình 2010x2 + 5x – m2 = (1) *Với m = (1) ⇔ 2010x2 + 5x = 0: phương trình có nghiệm *Với m ≠ ta có: m2 > 0, suy ra: –m2 < Vì a = 2010 > 0, c = –m2 < nên ac < Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt Bài tập bổ sung Bài trang 54 SBT Tốn Tập 2: Giải phương trình sau hai cách (chuyển số hạng tự sang vế phải; công thức nghiệm) so sánh kết tìm được: a) 4x2 – = b) 5x2 + 20 = c) 2x2 – + =0 d) 3x2 – 12 + 145 = Lời giải: a) Cách 1: 4x2 – = 4x x2 x 3 Vậy tập nghiệm phương trình S ; 2 Cách 2: 4x2 – = 02 4.4. 9 144 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 12 12 ; 2.4 x2 12 12 3 2.4 3 Vậy tập nghiệm phương trình S ; 2 Vậy kết hai cách giống b) Cách 1: 5x2 + 20 = ⇔ 5x2 = – 20 Vế trái 5x2 ≥ 0; vế phải –20 < Không có giá trị x để 5x2 = – 20 Phương trình vơ nghiệm Cách 2: 5x2 + 20 = 02 4.5.20 400 Do phương trình vơ nghiệm Két cách cách giống c) Cách 1: 2x2 – + 2x 3 =0 x2 2 2 3 1 x 2 x 2 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Cách 2: 2x2 – + =0 02 4.2 2 16 4 42 4 x1 x2 1 1 02 2.2 02 1 2.2 1 1 1 ; 1 Vậy kết cách cách giống d) Cách 1: 3x2 – 12 + 145 = 3x 12 145 x2 12 145 Vì 12 = 144 mà 144 145 Do phương trình vơ nghiệm Cách 2: 3x2 – 12 + 145 = 12 145 0 02 4.3 12 145 12 Vì 145 12 12 145 12 145 12 Do phương trình vơ nghiệm Kết câu a câu b giống Bài trang 54 SBT Toán Tập 2: Giải phương trình sau hai cách (phương trình tích; cơng thức nghiệm) so sánh kết tìm được: a) 5x2 – 3x = b) x2 + 6x = c) 2x2 + 7x = d) 2x2 – 2x =0 Lời giải: a) Cách 1: 5x2 – 3x = x 5x 3 x 5x x 5x x x 3 Vậy phương trình cho có nghiệm S 0; 5 Cách 2: 5x2 – 3x = 3 4.5.0 3 x1 33 2.5 10 x2 33 0 2.5 10 3 Vậy phương trình cho có nghiệm S 0; 5 Kết tìm hai cách giống b) Cách 1: 5x 6x 3x 5x 3x 5x x 5x 2 x 2 2 x 5 2 ;0 Vậy tập nghiệm phương trình S = Cách 2: 5x 6x 62 4.3 5.0 36 x1 6 0 2.3 x2 6 12 2 2.3 2 ;0 Vậy tập nghiệm phương trình S = Kết tìm hai cách giống c) Cách 1: 2x 7x x 2x x 2x x 2x 7 x 7 x 7 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = ;0 2 Cách 2: 2x 7x 4.2.0 49 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 7 49 0 2.2 x2 7 49 14 7 2.2 2 7 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = ;0 2 d) Cách 1: 2x2 – 2x =0 x 2x x 2x x 2x x x Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 0; Cách 2: 2x2 – 2x =0 2 4.2.0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 2 2 ; 2.2 x2 2 0 2.2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 0; Kết hai cách làm giống Bài trang 54 SBT Toán Tập 2: Giải phương trình a) x 14 5x b) 3x 5x x 7x c) x 3131 2x x 3 d) 3x 1 1 x 2x 3 Lời giải: a) x 14 5x x 5x 14 52 4.1. 14 25 56 81 81 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b 5 2; 2a 2.1 x2 b 5 7 2a 2.1 Vậy tập nghiệm phương trình S = 7;2 b) 3x 5x x 7x 3x 5x x 7x 2x 2x x2 x 1 4.1.1 3 Phương trình vơ nghiệm c) x 3131 2x x 4x 2x 3131 x 6x 3127 62 4.1. 3127 36 12508 12544 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 6 112 106 53 ; 2.1 x2 6 112 118 59 2.1 Vậy tập nghiệm phương trình S 59;53 x 3 d) 3x 1 1 x 2x 3 2 x 3 10 3x 1 5x 2x 3 10 10 10 10 2 x 6x 10 9x 6x 1 5x 2x 3 2x 12x 18 10 18x 12x 10x 15x 26x 39x 26 2x 3x 3 4.2. 2 16 25 > x1 b 25 2; 2a 2.2 x2 b 25 1 2a 2.2 1 Vậy phương trình cho có nghiệm S ;2 2 Bài trang 55 SBT Toán Tập 2: Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = x (a ≠ 0) vô nghiệm phương trình a(ax2 + bx + c)2 + b(ax2 + bx + c) + c = x vô nghiệm Lời giải: Đặt f(x) = ax bx c Phương trình ax bx c = x ( a ) vô nghiệm b 1 4ac b 1 4ac 4ac b 1 f x x ax b 1 x c b 1 c a x2 x a a 2 b 1 b 1 c b 1 a x x 2a 4a 4a a 2 b 4ac b 1 a x 2a 4a b 4ac b 1 Vì x > f x x dấu với a 2a 4a 2 Nếu a > f x x f x x với x a f x bf x c f x x với x Vậy khơng có giá trị x để a f x bf x c x a f x bf x c f x x với x Vậy khơng có giá trị x để a f x bf x c x Vậy phương trình a ax bx c b ax bx c c x vô nghiệm ... x2 12 145 Vì 12 = 144 mà 144 145 Do phương trình vơ nghiệm Cách 2: 3x2 – 12 + 145 = 12 145 0 02 4. 3 12 145 12 Vì 145 12 12 145 12 145 12 ... – 1)]2 – 4. m.2 = 4( m2 – 2m + 1) – 8m = 4( m2 – 4m + 1) Δ = ⇔ 4( m2 – 4m + 1) = ⇔ m2 – 4m + = Giải phương trình m2 – 4m + = Ta có: m = (? ?4) 2 – 4. 1.1 = 16 – = 12 > m1 b m ? ?4 2... trình 3x2 + 7,9x + 3,36 = có a = 3, b = 7 ,9, c = 3,36 Ta có: Δ = b2 – 4ac = 7 ,92 – 4. 3.3,36 = 62 ,41 – 40 ,32 = 22, 09 > Phương trình có hai nghiêm phân biệt: x1 b 7 .9 4, 7 8 ;