Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Bài 25 trang 11 SBT Toán 9 Tập 2 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số a) 2x 11y 7 10x 11y 31 b) 4x 7y 16 4x 3[.]
Bài 4: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Bài 25 trang 11 SBT Toán Tập 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số: 2x 11y 7 a) 10x 11y 31 4x 7y 16 b) 4x 3y 24 0,35x 4y 2,6 c) 0,75x 6y 2x 3y d) 3 2x 3y 10x 9y e) 15x 21y 0,5 3,3x 4,2y f) 9x 14y Lời giải: 2x 11y 10x 11y 7 31 2x 11y 7 a) 10x 11y 31 2x 11y 7 12x 24 x 2x 11y 7 2.2 11y 7 x x x 4 11y 7 11y 11 y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) 4x 7y 16 4x 7y 16 b) 4x 3y 24 4x 7y 4x 3y 16 24 4x 7y 16 4x 7y 16 10y 40 y 4.x 7.4 16 4x 28 16 y y 4x 12 x 3 y y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (-3; 4) 0,35x 4y 2,6 3. 0,35x 4y 3. 2,6 c) 0,75x 6y 2. 0,75x 6y 2.9 1,05x 12y 7,8 2,55x 10,2 1,5x 12y 18 1,5x 12y 18 x x 1,5.4 12y 18 6 12y 18 x x 12y 12 y 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (4; -1) 3 2x 3y 5.3 2x 3y d) 3 2x 3y 3 2x 3y 3 2x 3y 15 2x 3y 3 2x 3y 2x 3y 2x 3y 15 2x 3y 2x 3y 3y 10,5 y 2x x 2x y y y 3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x;y 2; 10x 9y e) 15x 21y 0,5 30x 27y 24 30x 27y 24 30x 42y 30x 42y 30x 27y 24 30x 27y 24 30x 27y 24 69y 23 y 23: 69 1 30x 27. 24 30x 24 1 y y 30x 15 x 1 y y 1 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ; 2 30 30 3,3x 4,2y 3,3x 4,2y 11 f) 11 9x 14y 9x 14y 126 30 9x 14y y 9x 11 11 126 30 9x 14y 9x y 11 11 9x 14y 9x 14y 9x 14y 28 14 11 y 11 y 9x 14 9x 1 y y 9x 3 x y y 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ; 2 Bài 26 trang 11 SBT Toán Tập 2: Giải hệ phương trình: 8x 7y a) 12x 13y 8 3 5x 4y 15 b) 2 5x 7y 18 Lời giải: 3.8x 7y 5.3 8x 7y a) 12x 13y 8 2 12x 13y 8.2 24x 21y 15 24x 21y 15 24x 26y 16 24x 21y 24x 26y 15 16 24x 21y 15 24x 21y 15 31 47y 31 y 47 31 651 24.x 21 15 24x 15 47 47 31 y y 31 47 47 54 24x x 47 188 31 y y 31 47 47 31 ; Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 188 47 2 5x 4y 15 3 5x 4y 15 b) 3 2 5x 7y 18.3 2 5x 7y 18 6 5x 8y 30 6 5x 24 7y 54 6 5x 8y 30 5x 8y 6 5x 24 7y 30 54 6 5x 8y 30 24 y 84 6 5x 8y 30 6 5x 8y 30 84 7 y y 24 30 6 5x y 6 5x 30 y 6 5x 30 x 7 y y 7 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 5; Bài 27 trang 11 SBT Toán Tập 2: Giải hệ phương trình: 5 x 2y 3x a) 2x 3 x 5y 12 4x y 1 2x 32 b) 3 7x 2 5 2y 1 3x 2x y 12 c) x y 3s 2t 5s 3t s d) 2s 3t 4s 3t t Lời giải: 5 x 2y 3x a) 2x 3 x 5y 12 5x 10y 3x 2x 3x 15y 12 5x 10y 3x 1 2x 3x 15y 12 2x 10y 1 2x 10y 1 x 15y 16 2. x 15y 16.2 2x 10y 1 2x 30y 32 2x 10y 1 2x 10y 2x 30y 32 1 33 2x 10 1 2x 10y 1 40 40y 33 y 33 40 29 29 x 2x y 33 y 33 40 40 29 33 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ; 40 4x y 1 2x 32 b) 3 7x 2 5 2y 1 3x 4x 5y 4x 12x 21x 10y 3x 12x 5y 14 24x 10y 28 24x 10y 11 24x 10y 11 24x 10y 24x 10y 28 11 24x 10y 11 0x 0y 39 (vơ lí) 24x 10y 11 Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm 2x y 12 c) x y 3 2x 1 y 3 x 5 y 24 6x 4y 3x 15 2y 14 24 6x 4y 10 3x 2y 25 3x 2y 5 3x 2y 25 3x 2y 3x 2y 5 25 3x 2y 5 0x 0y 20 (vơ lí) 3x 2y 5 Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm 3s 2t 5s 3t s d) 2s 3t 4s 3t t 3 3s 2t 5s 3t 15 s 1 2 2s 3t 3 4s 3t t 1 9s 6t 25s 15t 15s 15 4s 6t 12s 9t 6t 19s 21t 15 16s 21t 19s 21t 16s 21t 15 16s 21t 3s s 16s 21t 16.3 21t s s s 21t 48 21t 42 t Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (s; t) = (3; 2) Bài 28 trang 11 SBT Toán Tập 2: Tìm hai số a b cho 5a – 4b = -5 đường thẳng: ax + by = -1 qua điểm A(-7; 4) Lời giải: Đường thẳng ax + by = -1 qua điểm A(-7; 4) nên tọa độ A nghiệm phương trình đường thẳng Ta có: a.(-7) + b.4 = -1 7a 4b 1 Khi ta có phương trình: 5a 4b 5 7a 4b 1 2a 6 a Ta có: 5a 4b 5 5a 4b 5 5a 4b 5 a a a 5.3 4b 5 4b 20 b Vậy a = 3; b = Bài 29 trang 11 SBT Tốn Tập 2: Tìm giá trị a b để đường thẳng ax – by = qua hai điểm A(4; 3), B(-6; -7) Lời giải: Đường thẳng ax – by = qua hai điểm A(4; 3), B(-6; -7) nên tọa độ A B nghiệm phương trình đường thẳng Với điểm A: 4a – 3b = Với điểm B: -6a + 7b = 4a 3b Hai số a b nghiệm hệ phương trình: 6a 7b 4a 3b 12a 9b 12 Ta có: 6a 7b 12a 14b 5b 20 b 12a 14b 12a 14b 12a 14.4 a b b Vậy a = 4; b = Bài 30 trang 11 SBT Toán Tập 2: Giải hệ phương trình theo hai cách (Cách thứ ax by c nhất: đưa hệ phương trình dạng: ; Cách thứ hai: Đặt ẩn phụ, chẳng hạn a 'x b'y c' 3x – = s; 3y + = t); 2 3x 3y a) 4 3x 3y 2 3 x y x y 12 b) 5 x y x y 11 Lời giải: Cách 1: 2 3x 3y Ta có: 4 3x 3y 2 6x 15y 10 12x 21y 14 2 6x 15y 18 12x 30y 36 12x 21y 8 12x 21y 8 2x 5y 12x 30y 36 44 51y 44 y 51 220 86 2x 2x 51 52 y 44 y 44 51 51 43 x 51 y 44 51 43 44 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ; 51 51 Cách 2: Đặt m = 3x – 2; n = 3y + Ta có hệ phương trình: 2m 5n 4m 10n 4m 7n 2 4m 7n 2 10 17n 10 n 17 4m 7n 2 4m 7n 2 10 10 10 n n n 17 17 17 4m 7. 10 2 4m 2 70 m 17 17 17 3x 17 Ta có: 3y 10 3x 17 3y 2 10 17 43 3x 17 3y 44 17 43 x 51 y 44 51 43 44 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ; 51 51 3 x y x y 12 b) 5 x y x y 11 Cách 1: 3 x y x y 12 Ta có: 5 x y x y 11 3x 3y 5x 5y 12 5x 5y 2x 2y 11 8x 2y 12 24x 6y 36 3x 7y 11 24x 56y 88 4x y 4x y 62y 124 y 2 4x 2 4x x y y y 2 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (1; -2) Cách 2: Đặt m = x + y; n = x – y Ta có hệ phương trình: 3m 5n 12 15m 25n 60 5m 2n 11 15m 6n 33 31n 93 n 15m 6n 33 15m 6n 33 n 15m 6.3 33 n n 15m 15 m 1 x y 1 Ta có hệ phương trình: x y 2x x x y x y x x 1 y y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; -2) Bài 31 trang 12 SBT Tốn Tập 2: Tìm giá trị m để nghiệm hệ phương trình x y 2 x y nghiệm hệ phương trình 3mx – 5y = 2m + x y 2y x Lời giải: x y 2 x y Ta có: x y 2y x 20 x 1 15 y 12 2 x y 3 x 3 y 3 12 2y x 20x 20 15y 30 24x 24y 3x 4y 12 24 12x 4x 9y 10 15x 28y 3 60x 135y 150 4x 9y 10 60x 112y 12 23y 138 4x 9y 10 4x 9.6 10 y y 4x 10 54 4x 44 x 11 y y y Vì (x; y) = (11; 6) nghiệm phương trình 3mx – 5y = 2m + nên ta có: 3m.11 – 5.6 = 2m + 33m 30 2m 31m 31 m x y 2 x y Vậy với m = nghiệm nghiệm phương trình x y 2y x 3mx – 5y = 2m + Bài 32 trang 12 SBT Tốn Tập 2: Tìm giá trị m để đường thẳng (d): y = (2m – 5)x – 5m qua giao điểm hai đường thẳng (d1): 2x + 3y = (d2): 3x + 2y = 13 Lời giải: Gọi I giao điểm (d1) (d2) Khi tọa độ I nghiệm hệ phương 2x 3y trình: 3x 2y 13 2x 3y 6x 9y 21 5y 5 Ta có: 3x 2y 13 6x 4y 26 6x 4y 26 6x 4y 26 6x 4. 1 26 y y 1 6x 30 x y y 1 Tọa độ điểm I I(5; -1) Đường thẳng (d): y = (2m – 5)x – 5m qua I(5; -1) nên tọa độ I nghiệm phương trình đường thẳng: Ta có: -1 = (2m – 5).5 – 5m ⇔ -1 = 10m – 25 – 5m ⇔ 5m = 24 ⇔ m = Vậy với m = 24 24 đường thẳng (d) qua giao điểm hai đường thẳng (d1) (d2) Bài 33 trang 12 SBT Tốn Tập 2: Tìm giá trị m để ba đường thẳng sau đồng quy: (d1): 5x + 11y = 8, (d2): 10x – 7y = 74, (d3): 4mx + (2m – 1)y = m + Lời giải: Tọa độ giao điểm (d1) (d2) nghiệm hệ phương trình: 5x 11y 10x 22y 16 10x 7y 74 10x 7y 74 10x 22y 16 10x 22y 16 29y 58 y 2 10x 22. 2 16 10x 60 x y y y 2 Tọa độ giao điểm (d1) (d2) (x; y) = (6; -2) Để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy (d3) phải qua giao điểm (d1) (d2), nghĩa (x; y) = (6; -2) nghiệm phương trình đường thẳng (d3) Khi ta có: 4m.6 + (2m – 1).(-2) = m + ⇔ 24m – 4m + = m + ⇔ 19m = ⇔ m = Vậy với m = đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy Bài 34 trang 12 SBT Toán Tập 2: Nghiệm chung ba phương trình cho gọi nghiệm hệ gồm ba phương trình Giải hệ phương trình tìm nghiệm chung tất phương trình hệ Hãy giải hệ phương trình sau: 3x 5y 34 a) 4x 5y 13 5x 2y 6x 5y 49 b) 3x 2y 22 7x 5y 10 Lời giải: 3x 5y 34 (1) a) 4x 5y 13 (2) 5x 2y (3) Giải hệ phương trình gồm hai phương trình (1) (2) ta có: 3x 5y 34 7x 21 4x 5y 13 4x 5y 13 x x 4x 5y 13 4.3 5.y 13 x x 5y 25 y Thay x = 3, y = vào vế trái phương trình (3) ta được: VT = 5.3 – 2.5 = 15 – 10 = = VP Vậy (x; y) = (3; 5) nghiệm phương trình (3) Hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (3; 5) 6x 5y 49 (1) b) 3x 2y 22 (2) 7x 5y 10 (3) Giải hệ phương trình gồm hai phương trình (1) (3), ta có: 6x 5y 49 13x 39 7x 5y 10 7x 5y 10 x 3 x 3 7x 5y 10 7. 3 5y 10 x 3 x 3 31 5y 31 y Thay x = -3; y = 31 vào vế trái hệ phương trình (2) , ta được: VT = -3.(-3) + 31 107 = 22 = VP 5 Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm Bài tập bổ sung Bài trang 12 SBT Toán Tập 2: Giải hệ phương trình: 3 x y a) 5 x y 14 x y x y b) 13 x y x y Lời giải: 3 x y a) 5 x y Đặt 1 a; b Điều kiện: x 0; y x y Ta có hệ phương trình: 3 3a 5b 6a 10b 3 15a 6b 5a 2b 30a 50b 15 62b 31 30a 12b 16 6a 10b 3 1 b 1 b 6a 10. 3 6a 2 1 a x x b 1 1 y 2 y 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (3; -2) 14 x y x y b) 13 x y x y x y a Đặt Điều kiện x y 0;x y b x y Ta có hệ phương trình: 14 14 2a 4b 2a 4b 3a 2b 13 6a 4b 26 5 8a 8 a 1 13 13 3a 2b 2b 5 1 a 1 x y 1 b x y x y 1 x y x y 2x x y x y x x 2 y y 2 Hai giá trị x = 2; y = -2 thỏa mãn điều kiện tốn Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; -2) Bài trang 12 SBT Toán Tập 2: Hãy xác định hàm số bậc thỏa mãn điều kiện sau: a) Đồ thị hàm số qua hai điểm M(-3; 1) N(1; 2) b) Đồ thị hàm số qua hai điểm M 2;1 N 3;3 c) Đồ thị qua điểm M(-2; 9) cắt đường thẳng (d): 3x – 5y = điểm có hồnh độ Lời giải: Hàm số bậc có dạng y = ax + b (a ≠ 0) a) Đồ thị hàm số y = ax + b qua M(-3; 1) N(1; 2) nên tọa độ M N nghiệm phương trình hàm số Điểm M: = -3a + b Điểm N: = a + b Hai số a b nghiệm hệ phương trình: 3a b 4a a b a b a a b b Hàm số bậc cần tìm y x 4 Đồ thị hàm số y = ax + b qua M phương trình: Điểm M: = a + b Điểm N: - = 3a + b Hai hệ số a, b nghiệm hệ phương trình: 3 a 3 2 a b 3a b a b 3 a 3 a b a a b 2a b 2 Hàm số cần tìm y 2x 2;1 N 3;3 nên tọa độ M, N nghiệm a b 1 ... 5s 3t s d) 2s 3t 4s 3t t 3 3s 2t 5s 3t 15 s 1 2 2s 3t 3 4s 3t t 1 9s 6t 2 5s 15t 1 5s 15 4s 6t 1 2s. .. 3,3x 4, 2y 11 f) 11 9x 14y 9x 14y 126 30 9x 14y y 9x 11 11 126 30 9x 14y 9x y 11 11 9x 14y 9x 14y 9x 14y ... 1 2s 9t 6t 1 9s 21t 15 1 6s 21t 1 9s 21t 1 6s 21t 15 1 6s 21t 3s ? ?s 1 6s 21t 16.3 21t ? ?s ? ?s ? ?s 21t 48 21t ? ?42 t