Bài 4 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Bài 24 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 2 Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường tròn (C ∈ (O), D ∈ (O’)) a) Chứng[.]
Bài Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Bài 24 trang 103 SBT Toán lớp tập 2: Hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường tròn (C ∈ (O), D ∈ (O’)) a) Chứng minh cát tuyến quay xung quanh điểm A CBD có số đo khơng đổi b) Từ C D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn Chứng minh hai tiếp tuyến hợp với góc có số đo khơng đổi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A Lời giải: a) Ta có: ACB sđ AnB (góc nội tiếp đường trịn (O)) ADB sđ AmB (góc nội tiếp đường trịn (O’)) Vì điểm A, B cố định nên sđ AnB , sđ AmB không thay đổi Vì ACB , ADB có số đo khơng đổi Ta có: CBD ACB ADB 180o CBD 180o ACB ADB khơng đổi ACB , ADB có số đo không đổi (chứng minh trên) Vậy số đo CBD không đổi cát tuyến CAD thay đổi b) Trong đường trịn (O) ta có: ABC MCA (hệ góc tia tiếp tuyến dây cung) (1) Trong đường trịn (O’) ta có: ABD MDA (hệ góc tia tiếp tuyến dây cung) (2) Từ (1) (2) ta suy ra: MCA MDA ABC ABD CBD Hay MCD MDC CBD (không đổi câu a) Xét tam giác MCD có: CMD 180o MCD MDC 180o CBD Do đó, CMD khơng đổi CBD không đổi Vậy CMD không đổi Suy điều phải chứng minh Bài 25 trang 104 SBT Toán lớp tập 2: Từ điểm M cố định bên ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB đường trịn a) Chứng minh ln có MT2 = MA.MB tích khơng phụ thuộc vị trí cát tuyến MAB b) Ở hình cho MT = 20cm, MB = 50cm, tính bán kính đường trịn Lời giải: a) Xét tam giác MTA tam giác MTB có: Góc M chung MTA TBA (hệ góc tia tiếp tuyến dây) Hay MTA TBM Do đó, tam giác MAT đồng dạng với tam giác MTB (góc – góc) MT MB MA MT MT2 MA.MB Vì MA.MB MT2 MT tiếp tuyến đường trịn (O) nên tích MA.MB khơng phụ thuộc vị trí cát tuyến MAB b) Gọi bán kính đường trịn (O) R MB = MA + AB = MA + 2R MA MB 2R MT2 MA.MB (chứng minh trên) MT MB 2R MB R MB2 MT 502 202 21 (cm) 2MB 2.50 Bài 26 trang 104 SBT Toán lớp tập 2: Ngồi đỉnh núi cao km nhìn thấy địa điểm T mặt đất với khoảng cách tối đa ? Biết bán kính Trái Đất gần 6400 km (h.3) Lời giải: Điểm nhìn tối đa tiếp tuyến kể từ mắt nhìn đến tiếp điểm bề mặt trái đất (như hình vẽ) Xét tam giác MTA tam giác MTB có: Góc M chung MTA TBM (hệ góc tia tiếp tuyến dây cung) Do đó, tam giác MTA tam giác MBT đồng dạng (góc – góc) MT MA.MB MA. MA 2R MA chiều cao đỉnh núi nên MA = 1km ; R = 6400km Thay số ta có: MT 1.1 2.6400 12801 MT 113,1 (km) Bài 27 trang 104 SBT Toán lớp tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Vẽ tia Bx cho tia BC nằm hai tia Bx; BA CBx BAC Chứng minh Bx tiếp tuyến (O) Lời giải: Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có ba khả xảy tam giác Lần lượt hình vẽ, có: Tam giác ABC tam giác nhọn Tam giác ABC tam giác vuông Tam giác ABC tam giác tù Xét tam giác ABC tam giác nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng BC chứa tia Bx ta kẻ tia By tiếp tuyến đường tròn (O) CBy BAC (hệ góc tia tiếp tuyến dây cung) Mà CBx BAC (gt) CBy CBx Lại có By Bx nằm nửa mặt phẳng bờ BC tạo với BC góc Do đó, By Bx trùng Vậy Bx tiếp tuyến đường tròn (O) Bài tập bổ sung Bài 4.1 trang 104 SBT Tốn lớp tập 2: Cho đường trịn tâm O bán kính R Lấy ba điểm A, B, C đường tròn (O) Điểm E thuộc đoạn thẳng AB (và không trùng với A, B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với đường thẳng OA cắt đoạn thẳng AC điểm F Chứng minh BCF BEF 180o Lời giải: Kẻ tiếp tuyến At đường tròn (O) Ta suy ra: At OA (tính chất tiếp tuyến) Mà EF vng góc với OA Do đó, At // EF EFA CAt (hai góc so le nhau) Lại có: CBA CAt (hệ góc tia tiếp tuyến dây cung) EFA CBA hay EFA CBE Mà EFA EFC 180o (hai góc kề bù) CBE EFC 180o (1) Xét tứ giác BCFE ta có: BCF BEF CBE CFE 360o (tổng góc tứ giác) (2) Từ (1) (2) ta suy ra: BCF BEF 180o Bài 4.2 trang 104 SBT Toán lớp tập 2: Cho tam giác ABC vuông A, AH AM tương ứng đường cao đường trung tuyến kẻ từ A tam giác Qua điểm A kẻ đường thẳng mn vng góc với AM Chứng minh: AB AC tương ứng tia phân giác góc tạo AH hai tia Am, An đường thẳng mn Lời giải: Vì tam giác ABC vng A, có AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC AM MB MC BC (tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) Nên đường trịn tâm M bán kính MA qua A, B, C Gọi D giao điểm AH với đường trịn (M; MA) Khi đó: BC vng góc với AD H nên H trung điểm AD (quan hệ đường kính dây đường trịn) Do đó, BC đường trung trực AD ⇒ AC = CD (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Do đó, tam giác ACD cân C ADC DAC (1) Ta lại có: ADC nAC (hệ góc tia tiếp tuyến dây cung) (2) Từ (1) (2) ta suy ra: DAC nAC hay HAC nAC Vậy AC tia phân giác HAn Ta có: ACB mAB (hệ góc tia tiếp tuyến dây cung) (3) BAH ACB (cùng phụ với góc HAC) (4) Từ (3), (4) ta suy ra: mAB BAH Vậy AB tia phân giác mAH ... góc tia tiếp tuyến dây cung) (2) Từ (1) (2) ta suy ra: DAC nAC hay HAC nAC Vậy AC tia phân giác HAn Ta có: ACB mAB (hệ góc tia tiếp tuyến dây cung) (3) BAH ACB (cùng phụ với góc HAC) (4) ... 2. 640 0 12801 MT 113,1 (km) Bài 27 trang 1 04 SBT Toán lớp tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Vẽ tia Bx cho tia BC nằm hai tia Bx; BA CBx BAC Chứng minh Bx tiếp tuyến (O)... b) Trong đường trịn (O) ta có: ABC MCA (hệ góc tia tiếp tuyến dây cung) (1) Trong đường trịn (O’) ta có: ABD MDA (hệ góc tia tiếp tuyến dây cung) (2) Từ (1) (2) ta suy ra: MCA MDA ABC