VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official Chủ đề Góc nội tiếp Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Dạng 3 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và[.]
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Chủ đề: Góc nội tiếp Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Dạng 3: Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Chứng minh hai góc A Phương pháp giải Định nghĩa Cho xy tiếp tuyến A với đường trịn (O) Góc BAx có đỉnh A nằm đường tròn, cạnh Ax tia tiếp tuyến cịn cạnh chứa dây cung AB Góc BAx gọi góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Dây AB căng hai cung Cung nằm bên góc cung bị chắn Trên hình vẽ, góc ∠BAx có cung bị chắn cung nhỏ AB , góc BAy có cung bị chắn cung lớn AB Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) A B Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn C Nối C với M cắt đường tròn (O) D.Nối A với D cắt MB E Chứng minh rằng: a) ΔABE ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM b) E trung điểm MB Hướng dẫn giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack a) Ta có BAE góc nội tiếp chắn cung DB DBE góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn DB BAE DBE Xét ΔABE ΔBDE có: Góc E chung BAE DBE (cmt) ΔABE ∼ ΔBDE (g.g) Vì AC // MB nên ACM CMB (hai góc so le trong) Mà ACM MAE (góc nội tiếp góc tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AD ) Suy ra: MAE CMB Xét ΔMEA ΔDEM có: Góc E chung MAE CMB (cmt) ΔMEA ∼ ΔDEM (g.g) b) Theo chứng minh a) ta có: ΔABE ∼ ΔBDE AE/BE = BE/DE EB2 = AE.DE Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack ΔMEA ∼ ΔDEM ME/DE = EA/EM ME2 = DE.EA Do EB2 = EM2 hay EB = EM Vậy E trung điểm MB Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với M Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với (O) A cắt (O’) B C (B nằm A C) Gọi D giao điểm CM (O) Chứng minh rằng: a) MA phân giác BMD b) MA2 = MB.MD Hướng dẫn giải a) Kẻ tiếp tuyến chung Mx hai đường trịn (O) (O’) Ta có: BAM AMx (góc tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AM (O)) BMx BCM (góc tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung MB (O’)) Mặt khác AMD MAB MCA ( AMD góc ngồi tam giác AMC) AMD AMx BMx BMA Vậy MA phân giác BMD b) Xét ΔMAD ΔMBA có: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack AMD BMA (cmt) ADM BAM ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AM) ΔMAD ∼ ΔMBA (g.g) MA/MB = MD/MA hay MA2 = MB.MD Ví dụ 3: Cho điểm C thuộc nửa đường trịn (O) đường kính AB Từ điểm D thuộc đọan AO kẻ đường thẳng vng góc với AO cắt AC BC lại E F Tiếp tuyến C với nửa đường tròn cắt EF M cắt AB N a) Chứng minh M trung điểm EF b) Tìm vị trí điểm C đường trịn (O) cho ΔACN cân C Hướng dẫn giải a) Ta có MCA sđ AC (góc tiếp tuyến dây cung chắn cung AC) (1) Ta lại có: MEC AED (hai góc đối đỉnh) Xét tam giác AED vng D, ta có: AED 90 EAD EAD sđBC ( góc EAD góc nội tiếp chắn cung BC ) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Mà sñ BC sñ AC sñ AB 180 (cung AB cung chắn nửa đường trịn có số đo 180 ) 1 sñBC sñ AC sñ AB 90 2 1 sñBC 90 sñ AC 2 1 MEC AED 90 EAD 90 sñ BC sñ AC (2) 2 Từ (1) (2) suy MCA MEC hay MCE MEC Vậy ΔMEC cân M, suy MC = ME Chứng minh tương tự ta có MC = MF Suy ME = MF hay M trung điểm EF b) ΔACN cân C CAN CNA Vì MN tiếp tuyến với (O) C nên OC ⊥ MN CNA 90 COB 90 2.CAN Mà CAN CNA CAN 90 2.CAN 3CAN 90 CAN 30 sñ BC 2.CAN 2.30 60 Vậy ΔACN cân C C điểm nằm đường trịn cho sđ BC 60 Ví dụ 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R Gọi M điểm thay đổi tiếp tuyến Bx (O) Nối AM cắt (O) N Gọi I trung điểm AN a) Chứng minh: ΔAIO ∼ ΔBMN ; ΔOBM ∼ ΔINB b) Tìm vị trí điểm M tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn Hướng dẫn giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack a) Vì I trung điểm AN OI ⊥ AN ( đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây đó) AIO 90 Ta lại có: ANB 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) AIO ANB 90 Do Bx tiếp tuyến với (O) B nên NBM IAO sđ BN (góc tạo tia tiếp tuyến với dây cung góc nội tiếp chắn cung BN) Xét AIO BMN , có: AIO ANB 90 NBM IAO ΔAIO ∼ ΔBMN (g.g) Gọi K trung điểm OM Vì OIM OBM 90 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack OIM vuông I IK OM OK MK Và OBM vuông B BK OM OK MK IK OK MK BK nên điểm B, O, I, M thuộc đường trịn đường kính MO, suy BOM BIN ( hai góc nội tiếp chắn BM ) Xét ΔOBM ΔINB có: BOM BIN (cmt) OIM OBM 90 Suy ΔOBM ∼ ΔINB (g.g) b) Kẻ IH ⊥ AO ta có: SΔAIO = 1/2 AO.IH Vì AO khơng đổi nên SΔAIO lớn IH lớn Xét AIO vuông I, gọi E trung điểm OA Khi đó: EI OA EO EA I thuộc đường tròn tâm E bán kinh OA Mà O, A cố định nên M chuyển động tia Bx I chạy nửa đường trịn đường kính AO Do IH lớn IH bán kính đường trịn tâm E, bán kính OA Suy H trùng E hay H trung điểm OA Xét ΔAIO vuông I: có IH vừa đường cao vừa đường trung tuyến Nên ΔAIO vuông cân I IAH AIH 45 (hai góc đáy) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Suy ΔABM vuông cân B nên BM = BA = 2R Vậy M thuộc Bx cho BM = 2R SΔAIO lớn Ví dụ 5: Cho đường tròn (O; R) dây AB, gọi I trung điểm dây AB Trên tia dối tia BA lấy điểm M Kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn, (C,D ≠ (O)) a) Chứng minh rằng: Năm điểm O, I, C, M, D nằm đường tròn b) Gọi N giao điểm tia OM với (O) Chứng minh N tâm đường tròn nội tiếp ΔCMD Hướng dẫn giải a) Vì MC, MD tiếp tuyến C, D với đường tròn (O) nên OCM ODM 90 (1) Mặt khác I trung điểm dây AB nên OI ⊥ AB hay OIM 90 (2) Từ (1), (2) suy điểm M, C, D, O, I thuộc đường trịn đường kính OM b) Vì MC, MD tiếp tuyến (O) nên MO phân giác CMD (3) OM phân giác COD CON DON CN ND Ta có: DCN góc nội tiếp chắn ND NCM góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn CN DCN NCM ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn hai cung nhau) Suy CN phân giác DCM (4) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Từ (3) (4) suy N giao điểm đường phân giác ΔCMD hay N tâm đường tròn nội tiếp ΔCMD C Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Góc hình biểu diễn góc tạo tiếp tuyến dây cung A Hình B Hình C Hình D Hình Hướng dẫn giải Đáp án A Cho đường trịn tâm (O) có Ax tia tiếp tuyến điểm A dây cung AB Khi góc BAx góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Câu 2: Góc tạo tiếp tuyến dây cung có số đo A 90° B Số đo góc tâm chắn cung C Nửa số đo góc nội tiếp chắn cung D Nửa số đo cung bị chắn Hướng dẫn giải Đáp án D Góc tạo tiếp tuyến dây cung có số đo nửa số đo cung bị chắn Câu 3: Kết luận sau A Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung có số đo lớn góc nội tiếp chắn cung B Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung có số đo nhỏ góc nội tiếp chắn cung C Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung D Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung có số đo hai lần số đo góc nội tiếp chắn cung Hướng dẫn giải Đáp án C Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Câu 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối AB lấy điểm M Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn Gọi H hình chiếu C AB CA tia phân giác góc đây? A MCB B MCH C MCO D CMB Hướng dẫn giải Đáp án B Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Xét nửa đường tròn tâm O có MCA CBA (*) (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AC) Lại có ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra: ACH CBA (**) (cùng phụ với góc CAB ) Từ (*) (**) ta có: MCA ACH Nên CA tia phân giác góc MCH Câu 5: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối AB lấy điểm M Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn Gọi H hình chiếu C AB Giả sử OA = a; MC = 2a Độ dài CH A 5a B 2a C 5a D 5a Hướng dẫn giải Đáp án C Ta có OA=OC= a Xét tam giác vng MCO vuông C (do MC tiếp tuyến đường tròn O) MO MC OC MO a Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Xét tam giác MCO, có: 1 SMCO CH MO MC.CO 2 MC.CO a.2a 5a CH MO a Vậy CH 5a Câu 6: Cho đường tròn tâm (O), điểm M nằm ngồi đường trịn Qua M dựng tiếp tuyến MA đến đường tròn (O), dựng cát tuyến MBC (B nằm B C) Đẳng thức sau A MA2 = MB.MC B MB2 = MA.MC C MC2 = MA.MB D 1 2 MA MB MC Hướng dẫn giải Đáp án A Xét MAB MCA , ta có: M : Chung Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack MAB MCA (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AB) MAB MCA (g – g) MA MB MA2 MB.MC MC MA Câu 7: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dựng tiếp tuyến Ax với đường trịn Lấy P điểm đường trịn, BP cắt Ax T Tìm khẳng định sai A T PAB B T POB C T OPA D PBA TAP Hướng dẫn giải Đáp án B Ta có PBA TAP (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung PA) Suy D Ta lại có: APB 90 APT 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) T PAT 90 (hai góc phụ nhau) Mà PAT PAB 90 (hai góc phụ nhau) T PAB Suy A Tam giác OPA có OP=OA nên tam giác OPA cân O nên OPA OAP Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack T OPA Nên C Vậy B sai Câu 8: Cho đường tròn (O) dây BC = R Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt A Tính góc ABC A 45 B 30 C 60 D 75 Hướng dẫn giải Đáp án A Ta có BC R 2R2 Và OC OB R R R OC OB BC Nên tam giác OBC vuông cân O OBC OCB 45 Mà ABC OBC 90 ABC 45 Câu 9: Cho đường trịn (O; R) có dây BC khơng phải đường kính Dựng hai tiếp tuyến B C chúng cắt A Biết ABC = 30° Tính BC theo R? A BC = khác 3R B BC = 2R C BC = R D Đáp án Hướng dẫn giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Đáp án C Ta lại có: ABC góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn BC BOC góc tâm chắn BC BOC ABC 2.30 60 Xét tam giác OBC, có OB=OC nên suy tam giác OBC cân O Mà BOC 60 OBC OB=BC=OC=R Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official