Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung I Lý thuyết 1 Định nghĩa Cho đường tròn (O) có Ax là tia tiếp tuyến tại điểm A và dây cung AB Khi đó, BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung 2 Định lí Số[.]
Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung I Lý thuyết Định nghĩa - Cho đường tròn (O) có Ax tia tiếp tuyến điểm A dây cung AB Khi đó, BAx góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Định lí - Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung bẳng nửa số đo cung bị chắn Hệ - Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Ta có: BAx góc tạo tia tiếp tuyến dây cung đường tròn (O) chắn cung AB ACB góc nội tiếp (O) chắn cung AB BAx = ACB Bổ đề - Nếu góc BAx với đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB có số đo nửa số đo cung bị chắn AB nằm góc Ax tia tiếp tuyến đường tròn II Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đẳng thức tam giác đồng dạng Phương pháp giải: - Sử dụng hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung - Sử dụng hệ góc nội tiếp - Chứng minh hai góc thứ ba - Chứng minh tam giác Ví dụ 1: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M Kẻ tiếp tuyến MN với đường tròn (N tiếp điểm) Vẽ NH vng góc với AB Chứng minh MNA = ANH Lời giải: Vì ANB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (AB đường kính) ANB góc vng (hệ quả) Xét tam giác ANH tam giác ABN có: A chung ANB = NHA = 90 Do ANH đồng dạng với ABN (g – g) ANH = ABN (hai góc tương ứng) (1) Lại có MN tiếp tuyến đường tròn (O) với N tiếp điểm MNA góc tạo tia tiếp tuyến dây cung MNA = AN (định lí) (2) Lại có ABN góc nội tiếp chắn cung AN ABN = AN (định lí) (3) Từ (2) (3) ABN = MNA (4) Từ (1) (4) MNA = ANH (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho đường thẳng d khơng cắt đường trịn (O), vẽ đường kính CD vng góc với d I Kẻ tiếp tuyến IA với đường tròn (O) Đường thẳng CA cắt (d) B Chứng minh IA = IB Lời giải: Ta có: CAD góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (do có CD đường kính) CAD góc vng CAD = 90 Xét tam giác CBI vng I ta có: BCI + CBI = 90 (hai góc nhọn phụ nhau) CBI = 90 − BCI (1) Ta có: DAB = DAI + IAB 90 = DAI + IAB IAB = 90 − DAI (2) Lại có: ACD góc nội tiếp chắn AD DAI góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn AD Do đó: DAI = ACD ( chắn AD ) Mà A, C, B thẳng hàng C, D, I thẳng hàng nên DAI = BCI (3) Từ (1) (2) (3) IAB = CBI Xét tam giác AIB có: IAB = CBI Do tam giác AIB cân I (dấu hiệu nhận biết) IA = IB (tính chất) Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, tia tiếp tuyến đường trịn Phương pháp giải: - Sử dụng hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung hệ hai góc nội tiếp - Chứng minh tia vng góc với bán kính để suy tiếp tuyến Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; R) dây AB (AB < 2R) Gọi P điểm cung nhỏ AB Gọi C điểm thuộc dây AB PC cắt đường tròn D Chứng minh PA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Lời giải: Ta có: ADP góc nội tiếp đường trịn (O) chắn cung AP BAP góc nội tiếp đường tròn (O) chắn cung BP Mà P điểm cung AB sđ AP = sđ BP Do đó: ADP = BAP (hệ quả) (*) Vẽ tia Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC với A tiếp điểm CAx góc tạo tia tiếp tuyến dây cung CAx chắn cung CA Lại có CDA góc nội tiếp đường trịn ngoại tiếp tam giác CDA CDA chắn cung CA Do CDA = CAx (hệ quả) (**) Mà CDA ADP Kết hợp với (*) (**) CAx = BAP Hay Ax trùng với AP AP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD với A tiếp điểm Ví dụ 2: Cho đường trịn (O; R), A điểm cố định đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) lấy M điểm thuộc tia Ax Vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (O) Gọi I trung điểm MA, K giao điểm BI với (O) a) Chứng minh tam giác IKA tam giác IAB đồng dạng Từ suy tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB b) Giả sử MK cắt (O) C Chứng minh BC song song với MA Lời giải: a) Ta có: ABK góc nội tiếp chắn cung AK (1) KAI góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AK (2) Từ (1) (2) ABK = KAI (hệ quả) Xét tam giác IKA tam giác IAB có: AIK chung ABK = KAI (chứng mnh trên) Do IKA ∽ IAB (g – g) Chứng minh tương tự ta IKM∽ IMB (c – g – c) b) Từ câu a ta có IKM ∽ IMB IMK = KBM (hai góc tương ứng) (3) Lại có: BCK góc nội tiếp chắn cung BK KBM góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BK Do BCK = KBM (4) Từ (3) (4) IMK = BCK Mà hai góc vị trí so le nên hai đường thẳng BC AM song song với III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB; AC với (O), B; C hai tiếp điểm Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm A N) a) Chứng minh: AB2 = AM.AN b) Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh AH.AO = AM.AN c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 2: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Tiếp tuyến A cắt BC I IB AB2 = a) Chứng minh: IC AC2 b) Tính IA; IC biết AB = 20cm; AC = 28cm; BC = 24cm Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A (O) cắt BC P a) Chứng minh tam giác PAC tam giác PBA đồng dạng b) Chứng minh PA = PB.PC c) Tia phân giác góc A cắt BC (O) D M Chứng minh MB2 = MA.MD Bài 4: Cho tam gác ABC nội tiếp đường tròn (O), At tiếp tuyến đường tròn (O) Đường thẳng song song với At cắt AB AC M N Chứng minh AB.AM = AC.AN Bài 5: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Qua A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) cắt (O’) E Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với (O’) cắt (O) D Chứng minh AB2 = BD.BE Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB / CD) có BD2 = AB.CD Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BC Bài 7: Cho hình vng ABCD có cạnh 2cm Tính bán kính đường tròn qua A B biết đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đường trịn 4cm Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AB < AC Đường tròn (I) qua B C, tiếp xúc với AB B cắt đường thẳng AC D Chứng minh OA BD vng góc với Bài 9: Cho hai đường tròn (O) (I) cắt C D, tiếp tuyến chung MN song song với cát tuyến EDF, M E thuộc (O), N F thuộc (I), D nằm E F Gọi K, H theo thứ tự giao điểm NC, MC với EF Gọi G giao điểm EM, FN Chứng minh: a) Tam giác GMN tam giác DMN b) GD đường trung trực KH Bài 10: Cho hình bình hành ABCD, A 90 Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC E Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB ... đường thẳng vng góc, tia tiếp tuyến đường trịn Phương pháp giải: - Sử dụng hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung hệ hai góc nội tiếp - Chứng minh tia vng góc với bán kính để suy tiếp tuyến Ví dụ 1:... BCI + CBI = 90 (hai góc nhọn phụ nhau) CBI = 90 − BCI (1) Ta có: DAB = DAI + IAB 90 = DAI + IAB IAB = 90 − DAI (2) Lại có: ACD góc nội tiếp chắn AD DAI góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn... hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung - Sử dụng hệ góc nội tiếp - Chứng minh hai góc thứ ba - Chứng minh tam giác Ví dụ 1: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M Kẻ tiếp