Bài 2 Liên hệ giữa cung và dây Bài 10 trang 101 SBT Toán lớp 9 tập 2 Cho tam giác ABC có AB > AC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O lần lượt hạ cá[.]
Bài Liên hệ cung dây Bài 10 trang 101 SBT Toán lớp tập 2: Cho tam giác ABC có AB > AC Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ đường vng góc OH, OK xuống BC BD (H ∈ BC, K ∈ BD) a) Chứng minh OH < OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC Lời giải: a) Xét tam giác ABC có: BC > AB – AC (bất đẳng thức tam giác) Mà AC = AD (gt) BC > AB – AD BC > BD Xét đường trịn (O) ta có: BC > BD Mà từ O hạ đường vng góc OH, OK xuống BC BD (gt) Do đó, OH, OK khoảng cách từ tâm đến BC, BD OH < OK (dây lớn gần tâm hơn) b) Ta có: BC > BD BC BD (dây lớn căng cung lớn hơn) Bài 11 trang 101 SBT Toán lớp tập 2: Trên dây cung AB đường tròn O, lấy hai điểm C D chia dây thành ba đoạn thẳng AC = CD = DB Các bán kính qua C D cắt cung nhỏ AB E F Chứng minh : a) AE FB ; b) AE EF Lời giải: a) Xét tam giác OAB có: OA = OB (cùng bán kính đường trịn (O)) Do đó, tam giác OAB cân O OAB OBA Xét tam giác OAC tam giác OBD có: OA = OB (cùng bán kính đường trịn (O)) OAB OBA (cmt) AC = BD (gt) Do đó, tam giác OAC tam giác OBD (cạnh – góc – cạnh) O1 O2 (1) Mặt khác, ta có: Góc O1 góc tâm chắn cung nhỏ AE sđ AE O1 (2) Góc O góc tâm chắn cung nhỏ BF sđ BF O2 (3) Từ (1), (2), (3) ta suy ra: sđ AE sđ BF nên AE BF b) Tam giác OAC tam giác OBD (chứng minh phần a) ⇒ OC = OD Do đó, tam giác OCD cân O OCD ODC 90o Mà ODC CDF 180o (hai góc kề bù) CDF 90o Xét tam giác CDF có: CDF 90o ⇒ CF > CD Mà CD = AC Nên CF > AC Xét tam giác OAC tam giác OCF có: OA = OF (cùng bán kính đường trịn (O)) OC cạnh chung AC < CF (chứng minh trên) O1 O3 (hai tam giác có cạnh đơi một, cạnh thứ ba khơng đối diện cạnh lớn góc lớn hơn) Mà: Góc O1 góc tâm chắn cung nhỏ AE sđ AE O1 Góc O3 góc tâm chắn cung nhỏ EF sđ EF O3 Do đó: sđ AE sđ EF AE EF Bài 12 trang 101 SBT Toán lớp tập 2: Cho đường tròn tâm O Trên nửa đường trịn đường kính AB lấy hai điểm C, D Từ C kẻ CH vng góc với AB, cắt đường tròn điểm thứ hai E Từ A kẻ AK vng góc với DC, cắt đường trịn điểm thứ hai F Chứng minh rằng: a) Hai cung nhỏ CF BD b) Hai cung nhỏ BF DE c) DE = BF Lời giải: a) Tam giác AFB nội tiếp đường tròn (O) có AB đường kính nên tam giác AFB vuông F AFB 90o BF AK F Mà AK vng góc với CD (gt) BF∥ CD BD CF (hai cung chắn hai dây song song nhau) b) Đường kính AB vng góc với CE H nên H trung điểm CE Do đó, C đối xứng với E qua trục AB BC BE BC BE (hai dây cung căng hai cung nhau) Mà BD CF (cmt) BC CF BE BD BF DE c) Có: BF DE (cmt) Do đó, BF = DE (hai cung căng hai dây nhau) Bài 13 trang 101 SBT Toán lớp tập 2: Cho đường trịn (O) Gọi I điểm cung AB (khơng phải cung nửa đường trịn) H trung điểm dây AB Chứng minh đường thẳng IH qua tâm O đường trịn Lời giải: Theo đề ta có: IA IB IA = IB (hai cung căng hai dây nhau) Do đó, I nằm đường trung trực AB (1) Mặt khác, OA = OB (cùng bán kính đường trịn (O)) Do đó, O nằm đường trung trực AB (2) Từ (1) (2) ta suy OI đường trung trực AB Mà H trung điểm AB, H thuộc OI Do đó, ba điểm I, H, O thẳng hàng Vậy đường thẳng IH qua tâm O đường trịn Bài 14 trang 101 SBT Tốn lớp tập 2: Cho đường tròn (O; R) Hãy vẽ hai cung (không phải cung lớn) biết cung có số đo gấp ba lần số đo cung có dây căng cung dài gấp đơi dây căng cung Lời giải: Vì khơng phải cung lớn nên hai cung cung nhỏ cung nửa đường trịn Ta có cung nửa đường trịn có số đo 180° dây cung 2R, cung nửa đường tròn gấp ba lần cung trịn 60° (có góc tâm 60°) Tam giác tạo dây căng cung hai bán kính qua hai đầu mút cung 60° tam giác nên dây căng cung bán kính R Vậy nửa đường tròn cung 60° thỏa mãn toán Bài tập bổ sung Bài 2.1 trang 101 SBT Tốn lớp tập 2: Cho đường trịn O bán kính R Vẽ góc tâm AOB 80o , vẽ góc tâm BOC 120o kề với AOB So sánh xếp độ dài AB, BC, CA theo thứ tự tăng dần Lời giải: Ta có: AOB 80o , BOC 120o AOC 360o 80o 120o 160o Góc AOB góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB sđ AB AOB 80o Góc BOC góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC sđ BC BOC 120o Góc AOC góc nội tiếp chắn cung nhỏ AC sđ AC AOC 160o AB BC AC AB BC AC Bài 2.2 trang 101 SBT Toán lớp tập 2: Cho hình thoi ABCD Vẽ đường trịn tâm A, bán kính AD Vẽ đường trịn tâm C, bán kính CB Lấy điểm E đường trịn tâm A (không trùng với B D), điểm F đường tròn tâm C cho BF song song với DE So sánh hai cung nhỏ DE BF Lời giải: Ta có (A; AD) (C; CB) có bán kính AD = CB cạnh hình thoi ABCD nên hai đường trịn Ta có: AD = AB = CD = CB Do đó, (A; AD) (C; CB) cắt B D Mặt khác: DE // BF (gt) EDB FBD (so le trong) EDA ADB FBC CBD (1) Do ABCD hình thoi nên ta có: ADC ABC DB phân giác ADC ABC ADB CBD (2) Từ (1) (2) EDA FBC (3) Xét tam giác ADE có: AD = AE (cùng bán kính đường trịn (A)) Do đó, tam giác ADE cân A EAD 180o 2EDA (4) Xét tam giác CBF có: CB = CF (cùng bán kính đường trịn (C)) Do đó, tam giác CBF cân C BCF 180o FBC (5) Từ (3), (4) (5) ta suy ra: EAD BCF Mà ta có: sđ DE EAD (góc tâm chắn cung) sđ BF BCF (góc tâm chắn cung) Và (A; AD) (C; CB) DE BF ... R) Hãy vẽ hai cung (không phải cung lớn) biết cung có số đo gấp ba lần số đo cung có dây căng cung dài gấp đơi dây căng cung Lời giải: Vì khơng phải cung lớn nên hai cung cung nhỏ cung nửa đường... đường tròn Ta có cung nửa đường trịn có số đo 180° dây cung 2R, cung nửa đường tròn gấp ba lần cung trịn 60° (có góc tâm 60°) Tam giác tạo dây căng cung hai bán kính qua hai đầu mút cung 60° tam... OBD (cạnh – góc – cạnh) O1 O2 (1) Mặt khác, ta có: Góc O1 góc tâm chắn cung nhỏ AE sđ AE O1 (2) Góc O góc tâm chắn cung nhỏ BF sđ BF O2 (3) Từ (1), (2) , (3) ta suy ra: sđ AE sđ BF