Bài 2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân Bài 10 trang 51 sách bài tập Toán 8 Tập 2 Đặt dấu “; ≥; ≤” vào ô vuông cho thích hợp a) (– 2) 3 (– 2) 5; b) 4 (– 2) (– 7) (– 2) ; c) (– 6)2 + 2 36 + 2 ; d) 5[.]
Bài 2: Liên hệ thứ tự phép nhân Bài 10 trang 51 sách tập Toán Tập 2: Đặt dấu “; ≥; ≤” vào ô vuông cho thích hợp: a) (– 2).3 b) 4.(– 2) (– 2).5; (– 7).(– 2) ; c) (– 6)2 + d) 5.(– 8) 36 + ; 135.(– 8) Lời giải: a) Vì < mà –2 < nên (–2) > (–2) (–2) > (–2).5 Ta dùng dấu ≥ b) Vì > – – < nên 4.(–2) < ( –7).(–2) 4.(–2) < (–7).(–2) Ta dùng dấu ≤ c) Vì (– 6)2 = 36 nên (–6)2 + = 36 + (–6)2 + ≥ 36 + Ta dùng dấu ≤ d) Vì < 135 – < nên 5.(–8) > 135.(–8) 5.(–8) > 135.(–8) Ta dùng dấu ≥ Bài 11 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Cho m < n, so sánh: a) 5m 5n ; b) –3m –3n Lời giải: a) Ta có: m < n > nên 5m < 5n b) Ta có: m < n – < nên –3m > –3n Bài 12 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Số b số âm, số hay số dương nếu: a) 5b > 3b; b) –12b > 8b; c) –6b ≥ 9b; d) 3b ≤ 15b Lời giải: a) Vì > mà 5b > 3b nên b số dương b) Vì –12 < mà –12b > 8b nên b số âm c) Vì –6 < mà –6b ≥ 9b nên b số không dương (tức b âm b = 0) d) Vì < mà 3b ≤ 5b nên b số không âm (tức b dương b = 0) Bài 13 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Cho a < b, đặt dấu “” vào vng cho thích hợp: a) a b b) a −3 b −3 Lời giải: a)Vì a < b 1 a b nên a b 2 2 Vậy điền vào chỗ trống dấu < b) Ta có a < b 1 a b nên a b −3 −3 −3 −3 −3 Vậy điền vào chỗ trống dấu > Bài 14 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Cho m > n, chứng tỏ: a) m + > n + 1; b) 3m + > 3n Lời giải: a) Ta có: m > n ⇒ m + > n + (1) Mà < ⇒ n + < n + hay n + > n + (2) Từ (1) (2) suy ra: m + > n + (điều phải chứng minh) b) Ta có: m > n > ⇒ 3m > 3n (3) Mà > ⇒ 3m + > 3m + = 3m (4) Từ (3) (4) suy ra: 3m + > 3n (điều phải chứng minh) Bài 15 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Cho m < n, chứng tỏ: a) 2m + < 2n + ; b) 4(m – 2) < 4(n – 2); c) – 6m > – 6n Lời giải: a) Ta có: m < n > 0⇒ 2m < 2n Suy ra: 2m + < 2n + (điều phải chứng minh) b) Ta có: m < n ⇒ m – < n – Mà > nên: 4(m – 2) < 4(n – 2) (điều phải chứng minh) c) Ta có: m < n – < ⇒ – 6m > – 6n Suy ra: – 6m > – 6n (điều phải chứng minh) Bài 16 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Cho m < n, chứng tỏ: a) 4m + < 4n + 5; b) – 5m > – 5n Lời giải: a) Ta có: m < n > 0⇒ 4m < 4n ⇒ 4m + < 4n + (1) Mà < ⇒ 4n + < 4n + (2) Từ (1) (2) suy ra: 4m + < 4n + (điều phải chứng minh) b) Ta có: m < n – < ⇒ –5m > –5n ⇒ – 5m > – 5n (3) Lại có: > ⇒ – 5m > – 5m (4) Từ (3) (4) suy ra: – 5m > – 5n (điều phải chứng minh) Bài 17 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Cho a > 0, b > 0, a < b, chứng tỏ: a) a2 < ab ab < b2 ; b) a2 < b2 a3 < b3 Lời giải: a) Với a > 0, b > ta có: a < b ⇒ a.a < a.b hay a2 < ab (1) a < b ⇒ a.b < b.b ⇒ ab < b2 (2) (điều phải chứng minh) b) Từ (1) (2) suy ra: a2 < b2 Ta có a > 0, b > nên a2 > 0; b2 > Vì a < b ⇒ a.a2 < b.a2 hay a3 < a2b (3) Vì a < b ⇒ a.b2 < b b2 hay ab2 < b3 (4) Vì a < b; ab > ⇒ a.ab < b.ab ⇒ a2b < ab2 (5) Từ (3), (4) (5) ⇒ a3 < b3 (điều phải chứng minh) Bài 18 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Cho a > 5, cho biết bất đẳng thức xảy ra: a) a + > 10 ; b) a + > 8; c) –5 > –a; d) 3a > 13 Lời giải: a) Ta có: a > ⇒ a + > + hay a + > 10 b) Ta có: a > ⇒ a + > + hay a + > Mà > nên a + > c) Ta có: a > ; – < ⇒ –a < –5 ⇒ –5 > –a d) Ta có: a > > ⇒ a.3 > 5.3 ⇒ 3a > 15 Mà 15 > 13 nên 3a > 13 Vậy tất bất đẳng thức xảy Bài 19 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Cho a số bất kì, đặt dấu “; ≥; ≤” vào vng cho thích hợp: a) a2 0; b) –a2 0; c) a2 + d) –a2 – 0; Lời giải: a) Với a ta có: a2 b) Với a a2 nên –a2 c) Với a ta có: a2 nên a2 + Mà > 0, suy ra: a2 + > d) Với a ta có: a2 nên a2 + Mà > 0, suy ra: a2 + > Nhân vế với –1 < ta được: – a2 – < Bài 20 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Cho a > b m < n, đặt dấu “” vào ô vuông cho thích hợp: a) a(m – n) b(m – n); b) m(a – b) n(a – b) Lời giải: a)Vì m < n nên m – n < Mà a > b suy ra: a(m – n) < b(m – n) b) Vì a > b nên a – b > Lại có: m < n suy ra: m(a – b) < n(a – b) Bài 21 trang 52 sách tập Toán Tập 2: Cho 2a > 8, chứng tỏ a > Điều ngược lại gì? Điều có khơng? Lời giải: + Vì 1 nên nhân hai vế 2a > với ta được: 2 1 2a a (điều phải chứng minh) 2 + Điều ngược lại là: từ a > 4, có 2a > Điều vì: a > > nên a > hay 2a > Bài 22 trang 52 sách tập Toán Tập 2: a) Cho bất đẳng thức m > Nhân 0 ? hai vế bất đẳng thức với số bất đẳng thức m b) Cho bất đẳng thức m < Nhân hai vế bất đẳng thức với số 0? bất đẳng thức m Lời giải: a) Ta có: m > Suy ra: m2 > nên m 0 m2 1 m2 m Vậy từ bất đẳng thức m > Nhân hai vế bất đẳng thức với bất đẳng thức m2 0 m b)Ta có: m < Suy ra: m2 > nên m 0 m2 1 0 m m Vậy từ bất đẳng thức m < Nhân hai vế bất đẳng thức với bất đẳng thức m2 0 m Bài 23 trang 53 sách tập Toán Tập 2: Cho a > 0, b > a > b, chứng tỏ 1 a b Lời giải: Ta có: a > 0, b > 0⇒ a.b > 0.b hay ab > Suy ra: ab Vì a > b Suy Hay 1 nên a b ab ab ab 1 b a 1 (điều phải chứng minh) a b Bài 24 trang 53 sách tập Toán Tập 2: Điền dấu “” vào ô vuông cho đúng: a) (0,6)2 0,6; b) (1,3)2 1,3 Lời giải: a) Ta có: 0,6 < 0,6 > nên : 0,6 0,6 < 0, hay (0,6)2 < 0,6 b) Vì 1,3 > 1,3 > nên 1,3 1,3 > 1.1,3 hay (1,3)2 > 1,3 Bài 25 trang 53 sách tập Toán Tập 2: So sánh m2 m nếu: a) m lớn ; b) m dương nhỏ Lời giải: a) Ta có: m > nên m > ⇒ m.m > 1.m hay m2 > m b) Ta có: m > m < ⇒ m.m < 1.m hay m2 < m Bài 26 trang 53 sách tập Toán Tập 2: Cho a < b c < d, chứng tỏ a + c < b + d Lời giải: Ta có: a < b ⇒ a + c < b + c (1) Và c < d ⇒ b + c < b + d (2) Từ (1) (2), theo tính chất bắc cầu suy ra: a + c < b + d (điều phải chứng minh) Bài 27 trang 53 sách tập Toán Tập 2: Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn a < b, c < d, chứng tỏ ac < bd Lời giải: Với a > 0, b > 0, c > 0, d > ta có: a < b ⇒ ac < bc (1) Và c < d ⇒ bc < bd (2) Từ (1) (2), dùng tính chất bắc cầu suy ra: ac < bd (điều phải chứng minh) Bài 28 trang 53 sách tập Toán Tập 2: Chứng tỏ với a b số thì: a) a2 + b2 – 2ab ≥ 0; a + b2 b) ab Lời giải: a)Với a, b ta có: (a – b)2 ≥ ⇒ a2 + b2 – 2ab ≥ ( điều phải chứng minh) b) Với a, b ta có: (a – b)2 ≥ ⇒ a2 + b2 – 2ab ≥ ⇒ a2 + b2 – 2ab + 2ab ≥ 2ab hay a2 + b2 ≥ 2ab Vì 1 a + b2 nên (a + b ) 2ab hay ab (điều phải chứng minh) 2 2 Bài 29 trang 53 sách tập Toán Tập 2: Cho a b số dương, chứng tỏ: a b + 2 b a Lời giải: Với số dương a, b ta có: (a – b)2 ≥ ⇒ a2 + b2 – 2ab ≥ ⇒ a2 + b2 – 2ab + 2ab ≥ 2ab hay a2 + b2 ≥ 2ab (*) Vì a > 0, b > ⇒ a.b > ⇒ Nhân hai vế (*) với (a + b ) ab ta có: ab 1 a + b2 a b 2ab + (điều phải chứng minh) ab ab ab b a Bài 30 trang 53 sách tập Toán Tập 2: a) Với số a bất kì, chứng tỏ: a(a + 2) < (a + 1)2 b) Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp bình phương số đứng lớn tích hai số cịn lại Lời giải: a) Ta có: < ⇒ a2 + 2a + < a2 + 2a + Hay a2 + 2a < (a + 1)2 ⇒ a(a + 2) < (a + 1)2 (điều phải chứng minh) b) Gọi a, a + 1, a + ba số nguyên liên tiếp, ta có: Theo kết câu a ta có: a(a + 2) < (a + 1)2 Vậy ba số nguyên liên tiếp bình phương số đứng lớn tích hai số cịn lại (điều phải chứng minh) Bài tập bổ sung Bài 2.1 trang 53 sách tập Toán Tập 2: Cho ba số a, b k mà a > b Nếu ak < bk số k là: (A) Số dương; (B) Số 0; (C) Số âm; (D) Số Khoanh tròn vào chữ trước khẳng định Lời giải: Chọn C Vì từ a > b, có ak < bk (đổi dấu) nên k < Bài 2.2 trang 53 sách tập Toán Tập 2: Cho hai số a b mà – 7a < –7b Khoanh tròn vào chữ trước khẳng định khẳng định sau: (A) a – < b – (B) a > b (C) a < b (D) a ≤ b Lời giải: Chọn B Vì – 7a < – 7b mà −1 −1 −1 nên −7a − 7b hay a > b 7 Bài 2.3 trang 54 sách tập Toán Tập 2: Cho a số bất kì, đặt dấu “, ≥, ≤” vào ô vuông cho a) |a| 0; b) –|a| c) |a| + 0; 0; d) –|a| – Lời giải: a) Theo tính chất giá trị tuyệt đối ta có: |a| b) Theo tính chất giá trị tuyệt đối ta có: |a| Mà – < nên –|a| c) Theo tính chất giá trị tuyệt đối ta có: |a| Suy ra: |a| + Mà > nên |a| + > d) Theo tính chất giá trị tuyệt đối ta có: |a| Suy ra: |a| + Mà > nên |a| + > Nhân vế với –1 < ta – (|a | + 2) < hay – |a| – < Bài 2.4 trang 54 sách tập Toán Tập 2: Đặt dấu “” vào ô vuông cho a) –3 –2; b) –2 1; c d –2 3; 2,5; (–3)2 (–2)2 22 (–2)2 12 32 (–2)2 (2,5)2 Lời giải: a) –3 < –2; (–3)2 > (–2)2 (–3)2 = 9; (–2)2 = > b) –2 < 1; (–2)2 > (1)2 (–2)2 = ; 12 = > c) < 3; 22 < 32 22 = 4; 32 = < d) –2 < 2,5; (–2)2 < (2,5)2 (–2)2 = 4; (2,5)2 = 6,25 < 6,25 Bài 2.5 trang 54 sách tập Toán Tập 2: a) Cho x > 0, chứng tỏ: x + x b) Từ kết câu a, x < có kết ? Lời giải: 1 a) Nếu có x + − suy x + x x nên ta chứng tỏ x + − x x +1 − 2x (x − 1) Ta có: x + − = = 0 x x x (x − 1) Vì (x − 1) ≥ với x x > (đề bài) 0 x 1 Vậy x + − nên x + với x > x x b) Nếu x < 0, ta đặt a = –x a > Từ kết câu a, ta có a + a Thay a = –x, ta có: − x − (2) x Nhân hai vế (1) với số –1, ta có: x + −2 x Vậy, với x < x + −2 x ... ? ?2; (–3 )2 > (? ?2) 2 (–3 )2 = 9; (? ?2) 2 = > b) ? ?2 < 1; (? ?2) 2 > (1 )2 (? ?2) 2 = ; 12 = > c) < 3; 22 < 32 22 = 4; 32 = < d) ? ?2 < 2, 5; (? ?2) 2 < (2, 5 )2 (? ?2) 2 = 4; (2, 5 )2 = 6 ,25 < 6 ,25 Bài 2. 5 trang 54 sách... + 2) < hay – |a| – < Bài 2. 4 trang 54 sách tập Toán Tập 2: Đặt dấu “” vào ô vuông cho a) –3 ? ?2; b) ? ?2 1; c d ? ?2 3; 2, 5; (–3 )2 (? ?2) 2 22 (? ?2) 2 12 32 (? ?2) 2 (2, 5 )2 Lời giải: a) –3 < ? ?2; (–3 )2. .. có: (a – b )2 ≥ ⇒ a2 + b2 – 2ab ≥ ( điều phải chứng minh) b) Với a, b ta có: (a – b )2 ≥ ⇒ a2 + b2 – 2ab ≥ ⇒ a2 + b2 – 2ab + 2ab ≥ 2ab hay a2 + b2 ≥ 2ab Vì 1 a + b2 nên (a + b ) 2ab hay ab