Bài 3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Bài 24 trang 160 SBT Toán lớp 9 tập 1 Cho hình bên, trong đó MN = PQ Chứng minh rằng a) AE = AF b) AN = AQ Lời giải Nối OA Ta có MN = PQ (theo đề b[.]
Bài 3: Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Bài 24 trang 160 SBT Toán lớp tập 1: Cho hình bên, MN = PQ Chứng minh rằng: a) AE = AF b) AN = AQ Lời giải: Nối OA Ta có: MN = PQ (theo đề bài) OE = OF (hai dây cách tâm) Xét OAE OAF , ta có: OEA = OFA = 90o OA chung OE = OF Do đó, OAF (cạnh huyền – cạnh góc vuông) OAE AE = AF (hai cạnh tương ứng) b) Ta có: OE ⊥ MN (theo đề bài) Mà OE phần đường kính, MN dây cung Do đó, E trung điểm MN EM = EN = MN (1) Ta có: OF ⊥ PQ (theo đề bài) Mà OF phần đường kính, PQ dây cung Do đó, F trung điểm PQ FP = FQ = PQ (2) Mặt khác ta có MN = PQ (3) Từ (1), (2) (3) ta có: EN = FQ (4) Ta có AN + NE = AE hay AN = AE – NE; AQ + QF = AF hay AQ = AF – QF Mà AE = AF Suy ra: AE – NE = AF – QF Do AN = AQ Bài 25 trang 160 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hình bên, có hai dây CD, EF vng góc với I, IC = 2cm, ID = 14cm Tính khoảng cách từ O đến dây Lời giải: Kẻ OH ⊥ CD,OK ⊥ EF H K Xét tứ giác OKHI có: OKI = OHI = 90o (do OH ⊥ CD,OK ⊥ EF ) HIK = 90o (do CD vng góc với EF I) Do đó, OKHI hình chữ nhật Ta có: CD = EF (theo đề bài) OH = OK (hai dây cách tâm) Do đó, tứ giác OKIH hình vng Ta có: CD = CI + ID = + 14 = 16 (cm) Do OH phần đường kính, OH vng góc với dây cung CD H nên H trung điểm CD HC = HD = CD = (cm) Có: IH = HC - CI = - = (cm) OH = OK = (cm) (do OKIH hình vng) Bài 26 trang 160 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O), dây AB dây CD, AB < CD Giao điểm K đường thẳng AB, CD nằm đường tròn Đường tròn (O; OK) cắt KA KC M N Chứng minh KM < KN Lời giải: Kẻ OI ⊥ AB,OE ⊥ CD I E Xét đường trịn (O; OA) ta có: AB < CD Mà OE OI khoảng cách từ tâm đến CD AB OI > OE (dây lớn gần tâm hơn) Xét đường trịn (O; OK) ta có: OI > OE Mà OE OI khoảng cách từ tâm đến NK MK MK < NK (dây lớn gần tâm hơn) Bài 27 trang 160 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O) điểm I nằm bên đường tròn Chứng minh dây AB vng góc với IO I ngắn dây khác qua I Lời giải: Gọi CD dây qua I CD khơng vng góc với OI Kẻ OK ⊥ CD K Xét tam giác OIK vng K Có: OK < OI (cạnh góc vng < cạnh huyền) Mà OI, OK khoảng cách từ tâm O đến AB CD Do đó: AB < CD (dây lớn gần tâm hơn) Vậy dây AB vng góc với IO I ngắn dây khác qua I Bài 28 trang 160 SBT Toán lớp tập 1: Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có A B C Gọi OH, OI, OK theo thứ tự khoảng cách từ O đến BC, AC, AB So sánh độ dài OH, OI, OK Lời giải: Xét tam giác ABC có: ABC BC > AC > AB (cạnh đối diện góc lớn lớn hơn) Ta có AB, BC, AC dây cung đường tròn (O) Mà BC > AC > AB nên suy ra: OH < OI < OK (dây lớn gần tâm hơn) Bài 29 trang 161 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O), hai dây AB, CD cắt điểm I nằm bên đường tròn Chứng minh rằng: a OI tia phân giác hai góc tạo hai dây AB, CD b Điểm I chia AB, CD thành đoạn thẳng đôi Lời giải: a) Kẻ OH ⊥ AB,OK ⊥ CD H K Ta có: AB = CD (gt) OH = OK (hai dây cách tâm) Xét OKI OKI OHI OHI , ta có: 900 OH AB,OK CD OI chung OH = OK (cmt) OKI HIO OHI (cạnh huyền – cạnh góc vng) KIO (hai góc tương ứng) Do OI tia phân giác BID (tính chất đường phân giác) b) Vì OKI OHI (cmt) IH = IK (hai cạnh tương ứng) (1) Lại có: OH phần đường kính, OH vng góc với dây cung AB H Do đó, H trung điểm AB HA = HB = AB OK phần đường kính, OK vng góc với dây cung CD K Do đó, K trung điểm CD KC = KD = CD Mà AB = CD nên ta có: HA = HB = KC = KD (2) Ta có IA = HA – IH, IC = KC – IK (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: IA = IC (4) Mà AB = CD AB = IA + IB = IC + ID = CD (5) Từ (4) (5) ta có IB = ID Bài 30 trang 161 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm Hai dây AB, CD song song với có độ dài theo thứ tự 40cm, 48cm Tính khoảng cách hai dây Lời giải: Kẻ OK ⊥ CD K Mà OK phần đường kính CD dây cung Do đó, K trung điểm CD CK = DK = CD 48 = = 24 (cm) 2 Kẻ OH ⊥ AB H Mà OH phần đường kính AB dây cung Do đó, H trung điểm AB HA = HB = AB 40 = = 20 (cm) 2 Vì AB // CD nên H, O, K thẳng hàng Xét tam giác OBH vng H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: OB2 = BH2 + OH OH2 = OB2 − BH2 = 252 − 202 = 225 OH = 225 = 15 (cm) Xét tam giác ODK vng K Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: OD2 = DK + OK OK = OD2 − DK = 252 − 242 = 49 OK = 49 = (cm) Trường hợp O nằm hai dây AB CD: HK = OH + OK = 15 + = 22 (cm) Trường hợp O nằm hai dây AB CD: HK = OH – OK = 15 – = (cm) Bài 31 trang 161 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường tròn (O), bán kính OA, OB Trên cung nhỏ AB lấy điểm M N cho AM = BN Gọi C giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh rằng: a) OC tia phân giác góc AOB b) OC vng góc với AB Lời giải: a) Kẻ OH ⊥ AM , OK ⊥ AN H K Ta có AM = BN (theo đề bài) OH = OK (hai dây cách tâm) Xét tam giác OCH tam giác OCK có: OHC = OKC = 90o OC chung OH = OK (cmt) Do đó, tam giác OCH tam giác OCK (cạnh huyền – cạnh góc vng) O1 = O2 (hai góc tương ứng) (1) Xét tam giác OAH tam giác OBK có: OHA = OKB = 90o OA = OB (= R) OH = OK (cmt) Do đó, tam giác OAH tam giác OBK (cạnh huyền – cạnh góc vng) O3 = O4 (hai góc tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy O1 + O3 = O2 + O4 AOC = BOC Do OC tia phân giác góc AOB b) Tam giác OAB cân O có OC tia phân giác nên OC đồng thời đường cao (tính chất tam giác cân) OC ⊥ AB Bài 32 trang 161 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường trịn tâm O bán kính 5dm, điểm M cách O 3dm a Tính độ dài dây ngắn qua M b Tính độ dài dây dài qua M Lời giải: a) Kẻ AB ⊥ OM M Dây qua M ngắn dây AB vng góc với OM (chứng minh 27) Xét tam giác OAM vuông M Áp dụng định lí Pitago ta có: OA2 = AM2 + OM2 AM2 = OA − OM = 52 − 32 = 16 AM = 16 = (dm) Ta có: AB ⊥ OM M Mà OM phần đường kính, AB dây cung Do đó, M trung điểm AB MA = MB = AB AB = 2AM = 2.4 = (dm) b) Dây qua M lớn đường kính đường trịn (O) Vậy dây có độ dài 2R = 2.5 = 10 (dm) Bài 33 trang 161 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O), hai dây AB, CD cắt điểm M nằm bên đường tròn Gọi H K theo thứ tự trung điểm AB CD Cho biết AB > CD, chứng minh MH > MK Lời giải: Do H trung điểm dây cung AB Mà OH phần đường kính OH ⊥ AB H Ta có: KC = KD Do K trung điểm dây cung CD Mà OK phần đường kính OK ⊥ CD K Mà AB > CD (theo đề bài) Nên OK > OH (dây lớn gần tâm hơn) Xét tam giác OHM vng H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: OM2 = OH + HM HM2 = OM − OH (1) Xét tam giác OKM vng K Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: OM2 = OK + KM KM2 = OM − OK (2) Mà OH < OK (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: HM2 KM HM KM Bài 34 trang 161 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường tròn (O) hai điểm A, B nằm bên đường trịn khơng thuộc đường kính Dựng hai dây song song cho điểm A nằm dây, điểm B nằm dây lại Lời giải: Cách dựng: - Dựng trung điểm I AB - Qua A dựng dây CD song song với OI - Qua B dựng dây EF song song với OI - Ta CD EF hai dây cần dựng Chứng minh: Ta có : CD // OI, EF // OI CD // EF Kẻ OH ⊥ CD , OH cắt EF K OK ⊥ EF K Xét tứ giác AHKB có AH // BK nên AHKB hình thang Lại có: IA = IB (I trung điểm AB) OH = OK Do CD = EF (liên hệ dây cung khoảng cách từ tâm đến dây) Bài tập bổ sung: Bài 3.1 trang 161 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O) đường kính 6cm, dây AB 2cm Khoảng cách từ O đến AB (A) 35 cm (B) cm (C) cm (D) 2 cm Hãy chọn phương án Lời giải: Kẻ OM vng góc với AB M OM khoảng cách từ tâm O đến dây cung AB Mà OM phần đường kính, AB dây cung Do đó, M trung điểm AB MA = MB = AB = = (cm) 2 Đường tròn (O) có đường kính 6cm nên bán kính OA = Xét tam giác OAM vuông M Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: = (cm) OA2 = OM + MA OM = OA − MA = 32 − 12 = OM = = 2 (cm) Vậy ta chọn đáp án (D) Bài 3.2 trang 161 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O), điểm I nằm bên đường tròn (I khác O) Dựng dây AB qua I có độ dài ngắn Lời giải: Dây AB phải dựng vng góc với OI I Chứng minh: Gọi CD dây qua I CD khơng vng góc với OI Kẻ OK ⊥ CD K Xét tam giác OIK vng K Có: OK < OI (cạnh góc vuông < cạnh huyền) Mà OI, OK khoảng cách từ tâm O đến AB CD Do đó: AB < CD (dây lớn gần tâm hơn) Vậy dây AB vng góc với IO I ngắn dây khác qua I Bài 3.3 trang 161 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O; 25cm), điểm C cách O 7cm Có dây qua C có độ dài số nguyên xentimet ? Lời giải: Dây lớn qua C đường kính EF = 50cm Dây nhỏ qua C dây AB vng góc với OC C Xét tam giác OAC vuông C Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: OA = OC2 + AC2 AC2 = OA2 − OC2 = 252 − 72 = 576 AC = 576 = 24 (cm) Mà OC phần đường kính AB dây cung, OC vng góc với AB C Do đó, C trung điểm AB AB = 2AC = 2.24 = 48 (cm) Có hai dây qua C có độ dài 49cm KI GH đối xứng qua EF Vậy có tất dây qua C có độ dài số nguyên xentimet ... tam giác OAH tam giác OBK có: OHA = OKB = 90 o OA = OB (= R) OH = OK (cmt) Do đó, tam giác OAH tam giác OBK (cạnh huyền – cạnh góc vng) O3 = O4 (hai góc tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy O1 + O3... OK ⊥ AN H K Ta có AM = BN (theo đề bài) OH = OK (hai dây cách tâm) Xét tam giác OCH tam giác OCK có: OHC = OKC = 90 o OC chung OH = OK (cmt) Do đó, tam giác OCH tam giác OCK (cạnh huyền – cạnh... b) Tam giác OAB cân O có OC tia phân giác nên OC đồng thời đường cao (tính chất tam giác cân) OC ⊥ AB Bài 32 trang 161 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường trịn tâm O bán kính 5dm, điểm M cách O 3dm