Bài 3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Bài 16 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế a) 4x 5y 3 x 3y 5 b) 7x 2y 1 3x y 6 c) 1,3x 4,[.]
Bài 3: Giải hệ phương trình phương pháp Bài 16 trang SBT Toán Tập 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp thế: 4x 5y a) x 3y 7x 2y b) 3x y 1,3x 4,2y 12 c) 0,5x 2,5y 5,5 5x y d) 2 3x 5y 21 Lời giải: 4x 5y 4x 5y a) x 3y x 3y 4 3y 5 5y 12y 20 5y x 3y x 3y 17y 17 y 1 x 3y x 3. 1 x x y y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; -1) 7x 2y 7x 2y b) 3x y y 3x 7x 3x 6 7x 6x 12 y 3x y 3x 13x 13 x x y 3x y 3.1 y Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 3) 1,3x 4,2y 12 1,3x 4,2y 12 c) 0,5x 2,5y 5,5 x 5y 11 1,3x 4,2y 12 1,3 5y 11 4,2y 12 x 5y 11 x 5y 11 6,5y 14,3 4,2y 12 2,3y 2,3 x 5y 11 x 5y 11 x 5.1 11 x y y Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (6; 1) 5x y d) 2 3x 5y 21 y 5x 2 3x 5x 21 y 5x 2 3x 15x 15 21 1 y 5x 15 x 15 y 5x 15 x 15 x y 1 x y Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = 3; Bài 17 trang SBT Tốn Tập 2: Giải hệ phương trình: 1,7x 2y 3,8 a) 2,1x 5y 0,4 x y 3 b) x 2y Lời giải: 1,7x 3,8 y 1,7x 2y 3,8 a) 2,1x 5y 0,4 2,1x 5.1,7x 3,8 0,4 1,7x 3,8 1,7x 3,8 y y 4,2x 1,7x 3,8 0,8 4,2x 8,5x 19 0,8 198 198 x 1,7x 3,8 x 127 127 y 1,7x 3,8 12,7x 19,8 y y 73 127 198 73 ; Vạy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 127 127 x y 3 b) x 2y y x x 2y y x x 3 x y x x x y x x x y 3 x y Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = 0;3 Bài 18 trang SBT Tốn Tập 2: Tìm giá trị a b: 3ax b 1 y 93 a) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; -5) bx 4ay a x 5by 25 b) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -1) 2ax b y Lời giải: a) Thay x = 1; y = -5 vào hệ phương trình ta 3a.1 b 1. 5 93 3a 5b 93 b 20a 3 b.1 4a. 5 3 3a 5b 88 3a 5. 20b 3 88 b 20a b 20a a a 103a 103 b 20a b 20.1 b 17 3ax b 1 y 93 Vậy a = 1; b = 17 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; bx 4ay 5) b) Thay x = 3; y = -1 vào hệ phương trình ta được: a 2.3 5b 1 25 3a 5b 25 2.a.3 b 6a b 3a 5b 31 3a 5b 31 6a b b 6a 3a 5 6a 31 3a 30a 35 31 b 6a b 6a 33a 66 a a b 6a b 6.2 b 5 a x 5by 25 Vậy với a = 2, b = -5 hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3; 2ax b y 1) Bài 19 trang SBT Toán Tập 2: Tìm giá trị a b để hai đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 (d2): ax 3b 2 y cắt điểm M(2; -5) Lời giải: Hai đường thẳng d1 d2 cắt điểm M(2; -5) nên tọa độ M nghiệm hệ 3a 1 x 2by 56 phương trình ax 3b y 2 Thay x = 2; y = -5 vào hệ ta được: 3a 1.2 2b. 5 56 6a 10b 56 1 a 15b 10 a.2 3b . 5 2 6a 10b 58 a 15b a 15b 7 6. 15b 10b 58 a 15b a 15b 90b 42 10b 58 100b 100 a 15b a 15. 1 b 1 b 1 a b 1 Vậy a = 8; b = -1 hai đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 (d2): ax 3b 2 y cắt điểm M(2; -5) Bài 20 trang SBT Toán Tập 2: Tìm a b để: 3 a) Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(-5; 3), B ; 1 2 b) Đường thẳng ax – 8y = b qua điểm M(9; -6) qua giao điểm hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17, (d2): 4x – 10y = 14 Lời giải: 3 a) Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(-5; 3), B ; 1 nên tọa độ A B 2 nghiệm phương trình đường thẳng Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng ta được: = -5a + b (1) Thay tọa độ điiểm B vào đường thẳng ta được: 1 a b (2) 5a b Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: a b 1 5a b 5a b 3 a b 1 3a 2b 2 b 5a b 5a 3a 2b 2 3a 3 5a 2 b 5a b 5a 3a 10a 2 13a 8 8 8 a 13 a 13 b b 1 13 13 Vậy a 8 1 3 ;b đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(-5; 3); B ; 1 13 13 2 Đường thẳng cần tìm y 8 x 13 13 b) Tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17, (d2): 4x – 10y = 14 nghiệm 2x 5y 17 hệ phương trình: 4x 10y 14 2x 5y 17 2x 5y 17 2x 5y 17 Ta có: 5y 4x 10y 14 2x 5y x 5y 2x 5y 17 2 5y 17 5y x x 5y 5y 5y 17 10y 10 5y 5y x x 5y 5.1 x x x y y y Khi hai đường thẳng cắt N(6; 1) Đường thẳng ax - 8y = b qua điểm M(9; -6) N(6; 1) nên có tọa độ M N nghiệm phương trình đường thẳng: Điểm M: 9a + 48 = b Điểm N: 6a – = b 9a 48 b 9a 48 6a 3a 56 Khi ta có hệ phương trình 6a b 6a b 6a b 56 a 56 56 a a 56 6a b 6. b b 120 Vậy a = 56 ; b = -120 đường thẳng ax – 8y = b qua điểm M(9; -6); N(6; 1) giao điểm hai đường thẳng d1; d2 Bài 21 trang SBT Toán Tập 2: Tìm giá trị m: a) Để hai đường thẳng (d1): 5x – 2y = 3; (d2): x + y = m cắt điểm trục Oy Vẽ hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ b) Để hai đường thẳng (d1): mx + 3y = 10; (d2): x – 2y = cắt điểm trục Ox Vẽ hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ Lời giải: a) Giả sử hai đường thẳng (d1): 5x – 2y = 3; (d2): x + y = m cắt điểm A(x, y) Vì giao điểm A nằm trục Oy nên x = Suy ra: A(0; y).Khi điểm A(0; y) nghiệm 5x 2y hệ phương trình: x y m 3 3 y 5.0 2y y Ta có: 0 y m y m m 3 Vậy m = 3 d1 : 5x 2y d2 : x y m cắt điểm trục Oy Phương trình đường thẳng d : x y 3 Vẽ d1 : Cho x = y = 3 3 0; 2 Cho y = x = 3 ;0 Vẽ d : Cho x = y Cho y = x 3 3 0; 3 3 ;0 b) Giả sử hai đường thẳng (d1): mx + 3y = 10; (d2): x – 2y = cắt điểm B(x, y) Vì điểm B nằm trục Ox nên y = ⇒ B( x, 0) Khi điểm B(x; 0) nghiệm hệ phương trình: 10 mx 3y 10 mx 10 m m x x 2y x x x Vậy m = d1 : mx 3y 10; d : x 2y cắt điểm trục Ox Phương trình đường thẳng d1 : x 3y 10 5x 6y 20 Vẽ d1 Cho x = y = 10 10 0; 3 Cho y = x = 4;0 Vẽ d2 Cho x = y = -2 0; 2 Cho y = x = 4;0 Bài 22 trang 10 SBT Toán Tập 2: Tìm giao điểm hai đường thẳng: a) (d1): 5x – 2y = c (d2): x + by = 2, biết (d1) qua điểm A(5; -1) (d2) qua điểm B(-7; 3) b) (d1): ax + 2y = -3 (d2): 3x – by = 5, biết (d1) qua điểm M(3; 9) (d2) qua điểm N(-1; 2) Lời giải: a) Đường thẳng (d1): 5x – 2y = c qua điểm A(5; -1) nên tọa độ điểm A nghiệm phương trình đường thẳng Ta có: 5.5 – 2.(-1) = c ⇔ 25 + = c ⇔ c = 27 Phương trình đường thẳng (d1): 5x – 2y = 27 Đường thẳng (d2): x + by = qua điểm B(-7; 3) nên tọa độ điểm B nghiệm phương trình đường thẳng Ta có: -7 + 3b = ⇔ 3b = ⇔ b = Phương trình đường thẳng (d2): x + 3y = 5x 2y 27 Tọa độ giao điểm (d1) (d2) nghiệm hệ phương trình: x 3y 5x 2y 27 5 3y 2 2y 27 x 3y x 3y 15y 10 2y 27 17y 17 y 1 x 3y x 3y x 3y y 1 x z 3. 1 y 1 Vậy tọa độ giao điểm (d1) (d2) (5; -1) b) Đường thẳng (d1): ax + 2y = -3 qua điểm M(3; 9) nên tọa độ điểm M nghiệm phương trình đường thẳng Ta có: a.3 + 2.9 = -3 ⇔ 3a + 18 = -3 ⇔ 3a = -21 ⇔ a = -7 Phương trình đường thẳng (d1): -7x + 2y = -3 Đường thẳng (d2): 3x – by = qua điểm N(-1; 2) nên tọa độ điểm N nghiệm phương trình đường thẳng Ta có: 3.(-1) – b.2 = ⇔ -3 – 2b = ⇔ 2b = -8 ⇔ b = -4 Phương trình đường thẳng (d2): 3x + 4y = 7x 2y 3 Tọa độ giao điểm (d1) (d2) nghiệm hệ phương trình: 3x 4y 7x y 7x 2y 3 Ta có: 3x 4y x 11 17 11 11 3 x 17 y 17 y 13 11 17 x 17 11 13 Vậy tọa độ giao điểm d1 ; d ; 17 17 Bài 23 trang 10 SBT Toán Tập 2: Giải hệ phương trình: x 3 2y 5 2x y 1 a) 4x 1 3y 6x 1 2y 3 x y x 1 x y x 1 2xy b) y x y 1 x y y 2xy Lời giải: x 3 2y 5 2x y 1 a) 4x 1 3y 6x 1 2y 3 2xy 5x 6y 15 2xy 2x 7y 12xy 24x 3y 12xy 18x 2y 7x 13y 7x 13y 42x 42x 5y y 42x 7x 13 35x 546x 39 40 42x y 42x y 79 x 511x 79 511 42x y y 42x 79 x 79 x 511 511 79 51 42. 3 y 511 y 73 79 51 ; Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = 511 73 x y x 1 x y x 1 2xy b) y x y 1 x y y 2xy x x xy y x x xy y 2xy 2 y y xy x y 2y xy 2x 2xy x y x y 2x x y x 2y x 3y y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (0; 0) Bài 24 trang 10 SBT Toán Tập 2: Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ: 1 x y a) 1 x y 15 x y b) 35 x y x y x y c) 3 x y x y 2x 3y 3x y 2 d) 21 3x y 2x 3y x y x y 4,5 e) 4 x y x y Lời giải: 1 x y a) Đặt 1 x y 1 x a (điều kiện x 0;y 0) phương trình trở thành 1 b y a b a b b b 5 a b a b a b 5 3 2b b a 10 a b a b 10 10 1 x x Khi ta được: 10 (thỏa mãn điều kiện) 1 y y 10 10 Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = 2; 3 15 x y b) Đặt 35 x y 1 x a (điều kiện x 0;y 0) phương trình trở thành 1 b y 15a 15a b 15a 7b b 4a 9b 35 4a 9b 35 4a 9.15a 35 15a 15a b b 7 15a 135 81 4a 35 4a a 35 7 15a a b a 15.2 b 163 a 326 b 7 1 x x (thỏa mãn điều kiện) Khi ta được: y y 1 1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho x; y ; 3 x y x y c) Đặt 1 x y x y x y a ( điều kiện x y ) phương trình trở thành b x y 5 a b a b b b 3 a b a b a b 8 8 2b b Khi ta a b a x y x y x y 1 x y x y x y y y 2y x y x x y x y y y Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (5; 3) 2x 3y 3x y 2 d) Đặt 21 3x y 2x 3y 2x 3y a b 3x y (điều kiện 2x 3y 0;3x y 0) Khi phương trình trở thành: 5a 21 2 4a 5b 2 4a 4a 5b 2 5a 21 3b 5a 21 b b 5a 21 37a 105 6 37a 111 a 3 5a 21 5a 21 5a 21 b b b a 3 a 3 5. 3 21 b b 1 2x 3y 3 2x 3y Khi ta được: 2 3x y 3x y 1 1 1 2x 3x 2x 3y y 3x y 3x 2 1 2x 9x 11x y 3x y 3x 2 7 x x 66 66 (thỏa mãn điều kiện) y y 66 11 2 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y ; 66 11 x y x y 4,5 e) Đặt 4 x y x y 1 x y a b x y (điều kiện x y 0;x y 0) Khi hệ phương trình trở thành: 3a 4,5 7a 5b 4,5 7a 3a b b 3a 14a 20 15a 29a 29 a 3a 3a 3a b b b 2 a a 3.1 ta b b 2 x y x y 1 x y x y x y 1 x y x y x y x y y y x y x y x x (thỏa mãn điều kiện) 2y y y y Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (1; 2) Bài tập bổ sung ax by 17 Bài trang 10 SBT Tốn Tập 2: Tìm a b để hệ có nghiệm (x; 3bx ay 29 y) = (1; 4) Lời giải: Gọi cặp (x; y) = (1; -4) nghiệm hệ phương trình Thay x = 1; y = -4 vào hệ phương trình ta có: a 4b 17 a 4b 17 3b 4a 29 3b 4b 17 29 a 4b 17 a 4b 17 3b 16b 68 29 13b 39 a 4b 17 a b 3 b 3 Vậy a = b = -3 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; -4) Bài trang 10 SBT Toán Tập 2: Giải hệ phương trình: 2x y x y 2 x 2y 5 Lời giải: 2x y x y 2 x 2y 5 2x y 2x y Ta đưa giải hai hệ phương trình: x 2y x y 2x y y 2x y 2x Giải hệ x y x 2x 3x y 2x x x 3x y 2.1 y 3 y 2x 2x y Giải hệ x 2y x 2x 5 x 4x 10 5x 15 5x 15 y 2x y 2x y 2x x x y 2.3 y Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm x1; y1 1; 3 x ;y2 3;1 ... a 4b 17 3b 4a 29 3b 4b 17 29 a 4b 17 a 4b 17 3b 16b 68 29 13b 39 a 4b 17 a b ? ?3 b ? ?3 Vậy a = b = -3 hệ phương trình... -3 qua điểm M (3; 9) nên tọa độ điểm M nghiệm phương trình đường thẳng Ta có: a .3 + 2 .9 = -3 ⇔ 3a + 18 = -3 ⇔ 3a = -21 ⇔ a = -7 Phương trình đường thẳng (d1): -7x + 2y = -3 Đường thẳng (d2): 3x... y) = (3; -1) 2ax b y Lời giải: a) Thay x = 1; y = -5 vào hệ phương trình ta 3a.1 b 1. 5 93 3a 5b 93 b 20a ? ?3 b.1 4a. 5 ? ?3 3a 5b 88 3a