Bài 5 Công thức nghiệm thu gọn Bài 27 trang 55 SBT Toán 9 Tập 2 Xác định a, b’,c trong mỗi phương trình rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn a) 5x2 – 6x –1 = 0 b) –3x2 + 14x – 8 = 0 c)[.]
Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn Bài 27 trang 55 SBT Toán Tập 2: Xác định a, b’,c phương trình giải phương trình cơng thức nghiệm thu gọn: a) 5x2 – 6x –1 = b) –3x2 + 14x – = c) –7x2 + 4x = d) 9x2 + 6x + = Lời giải: a) Phương trình 5x2 – 6x –1 = có hệ số a = 5, b’ = –3, c = –1 Ta có: Δ’ = b’2 – ac = (–3)2 –5.(–1) = + = 14 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b' ' 14 ; a x2 b' ' 14 a 14 14 ; Vậy tập nghiệm phương trình là: S b) Phương trình –3x2 + 14x – = có hệ số a = –3, b’= 7, c = –8 Ta có: Δ' = b’2 – ac = 72 – (–3).(–8) = 49 – 24 = 25 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b' ' 7 25 ; a 3 x2 b' ' 7 25 4 a 3 2 Vậy tập nghiệm phương trình là: S ;4 3 c) Phương trình –7x2 + 4x = ⇔ 7x2 – 4x + = có hệ số a=7, b’=–2 , c=3 Ta có: Δ’ = b’2 – ac = (–2)2 – 7.3 = – 21 = –17 < Vậy phương trình vơ nghiệm d) Phương trình 9x2 + 6x + = có hệ số a = 9, b’ = 3, c = Ta có: Δ’ = b’2 – ac = 32 – 9.1 = – = Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b' 3 1 a 1 Vậy tập nghiệm phương trình S = 3 Bài 28 trang 55 SBT Toán Tập 2: Với giá trị x giá trị hai biểu thức sau nhau? a) x2 + + 2 2(1 + )x b) x2 + 2x – x + c) –2 x – d) x2 – x – e) x2 + 2x +3 2x2 + 2x + 3 x2 + x – 3 –x2 – x +2 +1 Lời giải: a) Ta có: x2 +2 + 2 = 2(1 + )x ⇔ x2 – 2(1 + )x +2 +2 = Δ' = b’2 – ac = [–(1 + )]2– 1(2 + 2 ) =1+2 +2–2–2 =1>0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b' ' 2 2; a x2 b' ' a Vậy với x = x = b) Ta có: giá trị hai biểu thức x2 + 2x – = x + ⇔ x2 + 2x – x – – = ⇔ x2 + (2 – )x – =0 ⇔ x2 + 2(1 – )x – = Δ' = b’2 – ac = (1– )2 – (–4) =1 – + + = + + = (1 + )2> Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 x2 b' ' a 1 b' ' a 1 1 c) Ta có: –2 x – = 1; 2 2 3 Vậy với x = x = ⇔ 1 2 giá trị hai biểu thức x2 + 2x + x2 + 2x + + 2 x + 1=0 ⇔ x2 + 2(1 + )x + =0 Δ' = b’2 – ac= (1+ )2 – = + 2 + – = – 2 + = ( – 1)2 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 x2 b' ' a 1 b' ' a 1 1 2 1 2 2 2 2 2 Vậy với x = x 2 giá trị hai biểu thức d) Ta có: x2 – x – = 2x2 + 2x + ⇔ x2 – x – – 2x2 – 2x – =0 ⇔ –x2 – 2x – x – =0 ⇔ x2 + 2x + x + =0 ⇔ x2 + 2(1 + )x + =0 Δ' = b’2 – ac= (1+ )2 – = + + –2 = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b' ' 1 ; a x2 b' ' 3 a Vậy với x = x = –3 – e) Ta có: ⇔ giá trị hai biểu thức x2 + x – 3 = –x2 – x + + x + x – 3 + x2 + x – – = ⇔ ( + 1)x2 + (2 + )x – 3 – – = ⇔ ( +1)x2 + 2( + Δ' = b’2 – ac = ( + )x – 3 – – = )2 – ( + 1)( –3 – – 1) = + 15 + + + 15 + +3 +2 5+1 =18 + 15 + + = + 12 + + 2.2 + + 2.2 = + (2 )2 + ( )2 + 2.1.2 + 2.1 = (1 + + + 2.2 5 )2 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b' ' a 1 5 1 3 1; x2 b' ' a 5 Vậy với x = x = 1 1 1 3 1 1 3 giá trị hai biểu thức 1 Bài 29 trang 55 SBT Toán Tập 2: Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình dưới) Khi nhảy, độ cao h từ người đến mặt nước (tính mét) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính mét) cơng thức : h = –(x – 1)2 + Hỏi khoảng cách x bao nhiêu: a) Khi vận động viên độ cao 3m? b) Khi vận động viên chạm mặt nước? Lời giải: a) Khi vận động viên độ cao 3m nghĩa h = 3m Ta có: = –(x – 1)2 + ⇔ (x – 1)2 – + = ⇔ (x – 1)2 – = ⇔ x2 – 2x + – = ⇔ x2 – 2x = ⇔ x(x – 2) = ⇔ x = x – = ⇔ x = x = Vậy x = 0m x = 2m b) Khi vận động viên chạm mặt nước nghĩa h = 0m Ta có: = – (x – 1)2 + ⇔ –x2 + 2x – + =0 ⇔ x2 – 2x – =0 Δ' = b’2 – ac = (–1)2 –1.(–3) =1 +3 = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b ' 1 3; a x2 b ' 1 1 a Vì khoảng cách khơng thể nhận giá trị âm nên x = Bài 30 trang 56 SBT Tốn Tập 2: Tính gần nghiệm phương trình (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai): a) 16x2 – 8x + = b) 6x2 – 10x – = c) 5x2 + 24x + = d) 16x2 – 10x + = Lời giải: a) 16x2 – 8x +1=0 Ta có: Δ' = (–4)2 – 16.1 = 16 – 16 =0 Phương trình có nghiệm kép: x1 x b' 0,25 a 16 Vậy tập nghiệm phương trình S = {0,25} b) 6x2 – 10x – = Ta có: ' 5 6. 1 25 31 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b' ' 5 31 31 1,76 ; a 6 x2 b' ' 5 31 31 0,09 a 6 Vậy tập nghiệm phương trình S = {1,76;–0,09} c) 5x2 + 24x + = Ta có: Δ' = 122 – 5.9 = 144 – 45 = 99 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b ' 12 99 0,41 a x2 b ' 12 99 4,39 a Vậy tập nghiệm phương trình S = {–0,41; –4,39} d) 16x 10x Ta có: ' 5 16.1 25 16 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b ' 5 0,5 ; a 16 x2 b ' 5 0,13 a 16 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = {0,5; 0,13} Bài 31 trang 56 SBT Toán Tập 2: Với giá trị x giá trị hai hàm số nhau? a) y x y = 2x – 3 b) y x y = x – Lời giải: a) Ta có: Để giá trị hai hàm số x 2x 3 x 2x x 6x ' b'2 ac 32 9.1 Phương trình có nghiệm kép x1 x b' 3 a Vậy để giá trị hai hàm số x = b) Ta có: 1 x x 8 1 x x 80 x 2x 16 = ' 12 1. 16 16 17 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b' ' 1 17 1 17 ; a x2 b' ' 1 17 1 17 a Vậy giá trị hai hàm số x 1 17 x 1 17 Bài 32 trang 56 SBT Toán Tập 2: Với giá trị m thì: a) Phương trình 2x2 – m2x + 18m = có nghiệm x = –3 b) Phương trình mx2 – x – 5m2 = có nghiệm x = –2 Lời giải: a) Thay x = –3 vào phương trình 2x2 – m2x + 18m = ta được: 2(–3)2 – m2(–3) + 18m = ⇔ 3m2 + 18m + 18 = ⇔ m2 + 6m +6 = (có hệ số a = 1, b = nên b’ = 3; c = 6) Δ' = 32 –1.6 = – = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: m1 b ' 3 3 ; a m2 b ' 3 3 a Vậy m = 3 m = 3 phương trình cho có nghiệm x = –3 b) Thay x = –2 vào phương trình mx x 5m ta được: m(–2)2 – (–2) – 5m2 = ⇔ – 5m2 + 4m + = ⇔ 5m2 – 4m – = (Có a = 5; b = –4 nên b’ = – 2; c = – 2) Δ' = (–2)2 – 5.(–2) = + 10 = 14 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: m1 b ' 14 ; a m1 b ' 14 a Vậy với m = 14 14 m = phương trình cho có nghiệm x = –2 5 Bài 33 trang 56 SBT Toán Tập 2: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm phân biệt a) x2 – 2(m + 3)x + m2 + = b) (m + 1)x2 + 4mx + 4m – = Lời giải: a) x2 – 2(m + 3)x + m2 + 3=0 (1) Ta có: Δ' = [–(m + 3)]2 –1.(m2 + 3) = m2 + 6m + – m2 – = 6m + Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khi: Δ' > ⇔ 6m + > ⇔ 6m > –6 ⇔ m > –1 Vậy m > –1 phương trình cho có nghiệm phân biệt b) (m + 1)x2 + 4mx + 4m – = (2) Ta có: Δ' = (2m)2 – (m +1)(4m –1) = 4m2 – 4m2 + m – 4m + = – 3m Phương trình (2) có nghiệm phân biệt khi: a m ' 1 3m m 1 m 1 m 3m Vậy m < m phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Bài 34 trang 56 SBT Toán Tập 2: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm kép a) 5x2 + 2mx – 2m + 15 = b) mx2 – 4(m – 1)x – = Lời giải: a) 5x2 + 2mx – 2m + 15 = (1) Ta có: Δ' = m2 – 5.(–2m + 15) = m2 + 10m – 75 Phương trình (1) có nghiệm kép khi: Δ' = ⇔ m2 + 10m – 75 = m ' = 52 – 1.(–75) = 25 + 75 = 100 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: m1 b' m ' 5 10 5; a m2 b' m ' 5 10 15 a Vậy m = m = –15 phương trình cho có nghiệm kép b) mx2 – 4(m – 1)x – = (2) Phương trình (2) có nghiệm kép khi: m≠ Δ' = Ta có: Δ' = [–2(m – 1)]2 – m.(–8) = 4(m2 – 2m + 1) + 8m = 4m2 – 8m + + 8m = 4m2 + Ta có: m 4m 4m Vì 4m2 + luôn lớn nên Δ' khơng thể Vậy khơng có giá trị m để phương trình có nghiệm kép Bài tập bổ sung Bài trang 56 SBT Toán Tập 2: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có ∆’ = Điều sau đúng? A) x1 x b 2a B) x1 x b' a C) x1 x b a D) x1 x b' 2a Lời giải: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có ∆’ = Do đó, phương trình có nghiệm kép x1 x b' Chọn B a Bài trang 56 SBT Toán Tập 2: Tìm mối liên hệ a, b, c để phương trình (b2 + c2)x2 – 2acx + a2 – b2 = có nghiệm Lời giải: Trường hợp 1: Nếu b = 0; c = a2 = a phương trình vơ số nghiệm Trường hợp 2: Nếu b c ta có: ac b2 c2 a b = a 2c a b b a 2c b 2c a b b c b b2 a b2 c2 ' b2 a b2 c2 Vì b a b c b c a Vậy với a b c phương trình cho có nghiệm Bài trang 56 SBT Tốn Tập 2: Chứng tỏ phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = ln có nghiệm Lời giải: x a x b x b x c x c x a x bx ax ab x cx bx bc x ax cx ac 3x a b c x ab bc ac ' a b c 3 b bc ca = a b c 2ab 2bc 2ca 3ab 3bc 3ac = a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca a 2ab b b 2bc c c 2ac a = 1 2 a b b c c a 2 Ta có: a b 0; b c 0; c a 2 a b b c c a 2 2 2 ' a b b c a c Vậy phương trình ln vơ nghiệm ... ? ?5 31 31 0, 09 a 6 Vậy tập nghiệm phương trình S = {1,76;–0, 09} c) 5x2 + 24x + = Ta có: Δ'' = 122 – 5 .9 = 144 – 45 = 99 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b '' 12 99 ... 75 Phương trình (1) có nghiệm kép khi: Δ'' = ⇔ m2 + 10m – 75 = m '' = 52 – 1.(– 75) = 25 + 75 = 100 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: m1 b'' m '' ? ?5 10 5; a m2 b'' m '' ? ?5. .. trang 56 SBT Toán Tập 2: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm kép a) 5x2 + 2mx – 2m + 15 = b) mx2 – 4(m – 1)x – = Lời giải: a) 5x2 + 2mx – 2m + 15 = (1) Ta có: Δ'' = m2 – 5. (–2m + 15) = m2