chính là đường thẳng AB.. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng Δ và Δ′ trong các trường hợp sau:. Hướng dẫn làm bài:[r]
(1)Giải SBT Toán 12 3: Phương trình đường thẳng Bài 3.31 trang 129 sách tập (SBT) – Hình học 12
Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng Δ trường hợp sau:
a) Δ qua điểm A(1; 2; 3) có vecto phương a→=(3;3;1);
b) Δ qua điểm B(1; 0; -1) vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – y + z + = c) Δ qua hai điểm C(1; -1; 1) D(2; 1; 4)
Hướng dẫn làm bài:
a) Phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm A(1; 2; 3) có vecto phương a→=(3;3;1) {x=1+3t;y=2+3t;z=3+t
Phương trình tắc Δ x−1/3=y−2/3=z−3/1
b) Δ (α) a⊥ ⇒ Δ→=aα→=(2;−1;1)
Phương trình tham số Δ {x=1+2t;y=−t;z=−1+t Phương trình tắc Δ x−1/2=y/−1=z+1/1
c) Δ qua hai điểm C D nên có vecto phương CD→=(1;2;3)
Vậy phương trình tham số Δ {x=1+t;y=−1+2t;z=1+3t
Phương trình tắc Δ x−1;1=y+1/2=z−1/3 Bài 3.32 trang 129 sách tập (SBT) – Hình học 12
(2)Gọi A B giao điểm d1 d2 với (α) Đường thẳng Δ cần tìm
chính đường thẳng AB Ta có: A(1−t;t;4t) d∈
A (α) t+4.(2t)=0 t=0∈ ⇔ ⇔ Suy ra: A(1; 0; 0)
Ta có: B(2−t′;4+2t′;4) d∈
B (α) 4+2t′+8=0 t′=−6∈ ⇔ ⇔
Suy B(8; -8; 4)
Δ qua A, B nên có vecto phương aΔ→=AB→=(7;−8;4)
Phương trình tắc Δ là: x−1/7=y/−8=z/4
Bài 3.33 trang 129 sách tập (SBT) – Hình học 12
Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d d’ cho phương trình sau:
(3)Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có: ad→=(1;2;3) ad′→=(3;2;2)
Suy n→=a
d→∧ad′→=(−2;7;−4)
Ta có M0(−1;1;−2) d,M∈ 0′(1;5;4) d′ M∈ ⇒ 0M0′→=(2;4;6)
Ta có n→.M
0M0′→=−4+28−24=0 Vậy đường thẳng d d’ đồng phẳng khác
phương, nên d d’ cắt
b) Ta có ad→=(1;1;−1) ad′=(2;2;−2).M0(0;1;2) d∈
Vì {ad′→=2ad→;M0 d′ (tọa độ M∉ khơng thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d
d’ song song
c) d có vecto phương ad→=(−1;3;−2)
d’ có vecto phương ad′→=(0;0;5)
Gọi n→=a
d→∧ad′→=(15;5;0)≠0→
Ta có M0(0;0;−1) d∈
M′0(0;9;0) d′ M∈ ⇒ 0M0′→=(0;9;1),n→.M0M0′→=45≠0
Vậy d d’ hai đường thẳng chéo
(4)Hướng dẫn làm bài:
Ta có ad→=(1;a;−1) ad′→=(2;4;−2)
d//d′ 1/2=a/4=−1/−2 a=2⇒ ⇒
Khi M′0(1;2;2) thuộc d’ M’0 không thuộc d Vậy d // d’ ⟺ a =
Bài 3.35 trang 129 sách tập (SBT) – Hình học 12
Xét vị trí tương đối đường thẳng d với mặt phẳng (α) trường hợp sau
Hướng dẫn làm bài:
a) Thay x, y, z phương trình tham số đường thẳng d vào phương trình tổng quát mặt phẳng (α) ta được: t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – =
⟺ 4t = ⟺ t =
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) M0(0; 1; 1)
b) Thay x, y, z phương trình tham số d vào phương trình tổng quát (α) ta được: (2 – t) +(2 + t) + = ⟺ 0t = -9
Phương trình vơ nghiệm, đường thẳng d song song với (α)
c) Thay x, y, z phương trình tham số d vào phương trình tổng quát (α) ta được: (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – = ⟺ 0t =
(5)Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng Δ:x−1/2=y/2=z/1 Hướng dẫn làm bài:
Đường thẳng Δ qua điểm M0(1; 0; 0) có vecto phương a→=(2;2;1)
Ta có M0A→=(0;0;1),n→=a→∧M0A→=(2;−2;0)
d(A,Δ)=|n→|/|a→|=√4+4+0/√4+4+1=2√2/3
Vậy khoảng cách từ điểm A đến Δ 2√2/3
Bài 3.37 trang 130 sách tập (SBT) – Hình học 12
Cho đường thẳng Δ: x+3/2=y+1/3=z+1/2 mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + = a) Chứng minh Δ song song với (α)
b) Tính khoảng cách Δ (α) Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có: aΔ→=(2;3;2) nα→=(2;−2;1)
aΔ→.nα→=4−6+2=0 (1)
Xét điểm M0(-3; -1; -1) thuộc Δ, ta thấy tọa độ M0 không thỏa mãn phương trình
của (α) Vậy M0∉(α) (2)
Từ (1) (2) ta suy Δ//(α)
b) d(Δ,(α))=d(M0,(α))=|2.(−3)−2.(−1)+(−1)+3|/√4+4+1=2/3
Vậy khoảng cách đường thẳng Δ mặt phẳng (α) 2/3
(6)Tính khoảng cách cặp đường thẳng Δ Δ′ trường hợp sau:
Hướng dẫn làm bài:
a) Gọi (α) mặt phẳng chứa Δ song song với Δ′ Hai vecto có giá song song nằm (α) là: a→=(1;−1;0) a→′=(−1;1;1) Suy n
α→=(−1;−1;0)
(α) qua điểm M1(1; -1; 1) thuộc Δ có vecto pháp tuyến: nα′→=(1;1;0)
Vậy phưong trình mặt phẳng (α) có dạng x – + y + 1= hay x + y = Ta có: M2((2; 2; 0) thuộc đường thẳng Δ′
d(Δ,Δ′)=d(M2,(α))=|2+2|/√1+1=2√2
b) Hai đường thẳng Δ Δ′ có phương trình là:
Phương trình mặt phẳng (α) chứa Δ song song với Δ′ 9x + 5y – 2z – 22 =
(7)Ta có d(Δ,Δ′)=d(M′,(α))=|5.(2)−22|/√81+25+4=12/√110 Vậy khoảng cách hai đường thẳng Δ Δ′ 12/√110
Bài 3.39 trang 130 sách tập (SBT) – Hình học 12 Cho hai đường thẳng Δ:x−1/2=y+3/1=z−4/−2
Δ′:x+2/−4=y−1/−2=z+1/4
a) Xét vị trí tương đối Δ Δ′; b) Tính khoảng cách Δ Δ′
Hướng dẫn làm bài:
a) Δ qua điểm M0(1; -3; 4) có vecto phương a→=(2;1;−2)
Δ′ qua điểm M0’(-2; 1; -1) có vecto phương a′→=(−4;−2;4)
Ta có {a′→=2a→;M 0∉Δ′
Vậy Δ′ song song với Δ b) Ta có M0M0′→=(−3;4;−5)
a→=(2;1;−2)
n→=M
0M0′→∧a→=(−3;−16;−11)
d(Δ,Δ′)=M′0H=|n→|/|a→|=√9+256+121/√4+1+4=√386/3
Bài 3.40 trang 130 sách tập (SBT) – Hình học 12 Cho điểm M(2; -1; 1) đường thẳng Δ:x−1/2=y+1/−1=z/2
(8)b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ Hướng dẫn làm bài:
a) Phương trình tham số
a) Phương trình tham số Δ:x=1+2t;y=−1−t;z=2t Xét điểm H(1+2t;−1−t;2t) Δ∈
Ta có MH→=(2t−1;−t;2t−1)
aΔ→=(2;−1;2)
H hình chiếu vng góc M Δ MH⇔ →.a Δ→=0
⇔2(2t−1)+t+2(2t−1)=0 t=4/9⇔
Ta suy tọa độ điểm H(17/9;−13/9;8/9)
b) H trung điểm MM’, suy xM’ + xM = 2xH
Suy xM′=2xH−xM=34/9−2=16/9
Tương tự, ta yM′=2yH−yM=−26/9+1=−17/9
zM′=2zH−zM=16/9−1=7/9
Vậy M′(16/9;−17/9;7/9)