Bài 7 Tứ giác nội tiếp Bài 39 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 2 Trên đường tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó Trên dây AB lấy hai điểm E và H Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn[.]
Bài Tứ giác nội tiếp Bài 39 trang 106 SBT Toán lớp tập 2: Trên đường tâm O có cung AB S điểm cung Trên dây AB lấy hai điểm E H Các đường thẳng SH SE cắt đường tròn theo thứ tự C D Chứng minh EHCD tứ giác nội tiếp Lời giải: S điểm cung nhỏ AB (gt) SA SB (1) Ta lại có: DEB sđ DCB sđ AS (góc có đỉnh bên đường tròn) (2) 1 DCS sđ DAS sđ DA sđSA (góc nội tiếp chắn cung) (3) 2 Từ (2) (3) ta suy ra: DEB DCS sđ DCB sđ AS sđ DA sđSA (4) Từ (1) (4) ta suy ra: DEB DCS 360o sđDCB sđBS sđDA sđSA 180o 2 Hay DEH DCH 180o Vậy tứ giác EHCD tứ giác nội tiếp Bài 40 trang 106 SBT Toán lớp tập 2: Cho tam giác ABC Các đường phân giác góc B góc C cắt S, đường phân giác góc B góc C cắt E Chứng minh BSCE tứ giác nội tiếp Lời giải: Ta có: BS vng góc với BE B (do hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) SBE 90o CS vng góc với CE C (do hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) SCE 90o Xét tứ giác BSCE có: SBE SCE 90o 90o 180o Do đó, BSCE tứ giác nội tiếp Bài 41 trang 106 SBT Toán lớp tập 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC góc A 20o Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm D cho DA = DB DAB 40o Gọi E giao điểm AB CD a) Chứng minh ACBD tứ giác nội tiếp b) Tính AED Lời giải: a) Tam giác ABC cân A (gt) ACB ABC 180o A 180o 20o ACB 80o 2 Tam giác DAB cân A (do DA = DB – gt) DBA DAB 40o ADB 180 DAB DBA 180o 40o 40o 100o Xét tứ giác ACBD có: ACB ADB 80o 100o 180o Do đó, tứ giác ACBD nội tiếp b) Vì tứ giác ACBD nội tiếp (chứng minh câu a) nên xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACBD có: BAC sđ BC (tính chất góc nội tiếp) sđ BC 2BAC 2.20o 40o DBA sđ AD (tính chất góc nội tiếp) sđ AD 2DBA 2.40o 80o Góc AED góc có đỉnh đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACBD 40o 80o AED sđBC sđAD 60o 2 Bài 42 trang 107 SBT Toán lớp tập 2: Cho ba đường tròn qua điểm P Gọi giao điểm khác P hai ba đường tròn A, B, C Từ điểm D (khác điểm P) đường tròn (PBC) kẻ tia DB, DC cắt đường tròn (PAB), (PAC) M, N Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng Lời giải: Gọi ba đường tròn tâm O1, O2, O3 (O1) cắt (O2) A; (O1) cắt (O3) B (O2) cắt (O3) C Do đó, D điểm nằm đường tròn (O3) BD cắt (O1) M, DC cắt (O2) N Nối PA, PB, PC, MA, NA Ta có, tứ giác APBM nội tiếp đường trịn (O1) Nên MAP MBP 180o (tính chất tứ giác nội tiếp) Mà MBP PBD 180o (hai góc kề bù) MAP PBD (1) Ta có, tứ giác APCN nội tiếp đường trịn (O2) Nên NAP NCP 180o (tính chất tứ giác nội tiếp) Mà NCP PCD 180o (hai góc kề bù) NAP PCD (2) Ta có, tứ giác BPCD nội tiếp đường tròn (O3) Nên PBD PCD 180o (tính chất tứ giác nội tiếp) (3) Từ (1), (2) (3) ta suy ra: MAP NAP 180o Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng Bài 43 trang 107 SBT Toán lớp tập 2: Cho đoạn thẳng AC BD cắt E Biết AE.EC = BE.ED Chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn Lời giải: Từ AE.EC = BE.ED (gt) AE BE ED EC Xét tam giác AEB tam giác DEC có: AEB DEC (hai góc đối đỉnh) AE BE ED EC Do đó, tam giác AEB tam giác DEC đồng dạng (cạnh – góc – cạnh) BAE CDE BAC CDB Do đó, A D nhìn đoạn BC cố định góc nên A, B, C, D nằm đường tròn Bài tập bổ sung Bài 7.1 trang 107 SBT Tốn lớp tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đường cao AI, BK, CL tam giác Gọi H giao điểm đường cao vừa vẽ a) Chỉ tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy số điểm A, B, C, H, I, K, L b) Chứng minh LBH,LIH,KIH KCH góc c) Chứng minh KB tia phân giác LKI Lời giải: Vì tam giác ABC tam giác nhọn nên ba đường cao cắt điểm H nằm tam giác ABC a) Tứ giác AKHL có: AKH ALH 90o 90o 180o Do đó, tứ giác AKHL tứ giác nội tiếp Tứ giác BIHL có: BIH BLH 90o 90o 180o Do đó, tứ giác BIHL tứ giác nội tiếp Tứ giác CIHK có: CIH CKH 90o 90o 180o Do đó, tứ giác CIHK tứ giác nội tiếp Tứ giác ABIK có: AKB AIB 90o K I nhìn đoạn AB góc vng nên tứ giác ABIK nội tiếp Tứ giác BCKL có: BKC BLC 90o K L nhìn đoạn BC góc vng nên tứ giác BCKL nội tiếp Tứ giác ACIL có: AIC ALC 90o I L nhìn đoạn AC góc vng nên tứ giác ACIL nội tiếp b) Tứ giác BIHL nội tiếp LBH LIH (hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ LH ) (1) Tứ giác CIHK nội tiếp HIK HCK (hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ HK ) (2) Tứ giác BCKL nội tiếp LBK LCK (hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ LK ) LBH HCK (3) Từ (1), (2) (3) ta suy ra: LBH LIH KIH KCH c) Tứ giác CIHK nội tiếp ICH IKH hay LCB IKH (hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ IH ) (*) Tứ giác LKCB nội tiếp LCB LKB (hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ LB ) (**) Từ (*) (**) ta suy ra: LKH HKI Do đó, KB tia phân giác góc LKI Bài 7.2 trang 107 SBT Tốn lớp tập 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R hai dây AB, CD Gọi M điểm cung nhỏ AB Gọi E F tương ứng giao điểm MC, MD với dây AB Gọi I J tương ứng giao điểm DE, CF với đường tròn (O) Chứng minh IJ song song với AB Lời giải: Xét đường trịn (O) Có M điểm cung nhỏ AB MA MB Lại có: AEC sđ AC sđ MB (góc có đỉnh đường trịn) CDM sđ MAC (tính chất góc nội tiếp) CDF 1 sđ MA sđ AC sđ AC sđ MB 2 AEC CDF Ta có: AEC CEF 180o (hai góc kề bù) CDF CEF 180o Nên tứ giác CDFE nội tiếp CDE CFE (hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ CE ) CDI CFE Xét đường trịn (O) có: CDI CJI (hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ CAI) CJI CFE Do đó, IJ // AB (vì có cặp góc vị trí trị đồng vị nhau) ... AKH ALH 90 o 90 o 180o Do đó, tứ giác AKHL tứ giác nội tiếp Tứ giác BIHL có: BIH BLH 90 o 90 o 180o Do đó, tứ giác BIHL tứ giác nội tiếp Tứ giác CIHK có: CIH CKH 90 o 90 o 180o... 90 o CS vng góc với CE C (do hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) SCE 90 o Xét tứ giác BSCE có: SBE SCE 90 o 90 o 180o Do đó, BSCE tứ giác nội tiếp Bài 41 trang 106 SBT. .. CDB Do đó, A D nhìn đoạn BC cố định góc nên A, B, C, D nằm đường tròn Bài tập bổ sung Bài 7. 1 trang 1 07 SBT Toán lớp tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đường cao AI, BK, CL tam giác Gọi