Bài 8 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp Bài 44 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 2 Vẽ hình vuông ABCD tâm O rồi vẽ tam giác đều có một đỉnh là A và nhận O làm tâm Nêu cách vẽ Lời giải Vẽ hình vuông[.]
Bài Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp Bài 44 trang 107 SBT Toán lớp tập 2: Vẽ hình vng ABCD tâm O vẽ tam giác có đỉnh A nhận O làm tâm Nêu cách vẽ Lời giải: - Vẽ hình vng - Vẽ đường tròn (O; R) - Vẽ hai đường kính AB CD vng góc với - Nối AB, BC, CD, DA ta tứ giác ABCD hình vng nội tiếp đường trịn (O; R) -Từ A đặt liên tiếp cung có dây tương ứng R: AA1;A1A2 ;A2C;CA3;A3A4 - Nối AA2 , A2A3 , A3A ta tam giác AA2A3 tam giác nhận O làm tâm Chứng minh: Vì cung AA1;A1A2 ;A2C;CA3;A3A4 nên ta có AA2 A2A3 A3A Suy AA2 = A2A3 = A3A nên tam giác AA2A3 tam giác Theo cách vẽ ta có O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AA2A3 Bài 45 trang 107 SBT Toán lớp tập 2: Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2cm vẽ hình tám cạnh nội tiếp đường tròn (O; 2cm) Nêu cách vẽ Lời giải: Cách vẽ: - Vẽ đường tròn (O; 2cm) - Vẽ hai đường kính AC BD vng góc với - Nối AB, BC, CD, DA ta có hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (0; 2cm) - Kẻ đường kính EF AD , đường kính GH AB Nối AE, ED, DG, GC, CF, FB, BH, HA ta có đa giác AEDGCFBH đa giác cạnh nội tiếp đường tròn (O; 2cm) Bài 46 trang 107 SBT Toán lớp tập 2: Cho đa giác n cạnh có độ dài cạnh a Hãy tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp bán kính r đường trịn nội tiếp đa giác Hướng dẫn: Tính COB tính sinCOB tanCOB , từ tính R r Lời giải: Giả sử đa giác n cạnh có độ dài cạnh a Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp, r bán kính đường trịn nội tiếp OB R;OC r Có: AOB 360o n 360o 180o COB :2 n n Tam giác OAB cân O (do OA = OB = R) nên OC vừa đường cao vừa đường trung tuyến Do đó, C trung điểm AB nên CB = a Xét tam giác OCB có: OCB 90o a CB a sinCOB OB R 2R 2R R a 180o sin n a 180o 2.sin n Xét tam giác OCB vuông C, ta có: a CB a tanCOB OC r 2r 2r r a 180o tan n a 180o 2.tan n Bài 47 trang 108 SBT Toán lớp tập 2: a) Vẽ lục giác ABCDEG nội tiếp đường tròn bán kính 2cm vẽ hình 12 cạnh AIBJCKDLEMGN nội tiếp đường trịn Nêu cách vẽ b) Tính độ dài cạnh AI c) Tính bán kính r đường trịn nội tiếp hình AIBJCKDLEMGN Hướng dẫn: Áp dụng công thức 46 Lời giải: a) Cách vẽ: - Vẽ đường tròn (O; 2cm) - Từ điểm A đường tròn (O; 2cm) đặt liên tiếp cung có dây căng cung 2cm AB BC CD DE EG - Nối AB, BC, CD, DE, EG, GA ta có lục giác ABCDEG nội tiếp đường trịn (O; 2cm) - Kẻ đường kính vng góc với AB DE cắt đường trịn I L Ta có: AI IB , LD LE Tương tự, - Kẻ đường kính vng góc với BC EG cắt đường tròn J M Ta có: JB JC, MG ME - Kẻ đường kính vng góc với CD AG cắt đường trịn K N Ta có: KC KD, NA NG - Nối AI, IB, BJ, JC, CK, KD, DL, LE, EM, MG, GN, NA Ta có đa giác 12 cạnh AIBJCKDLEMGN b) AI cạnh đa giác 12 cạnh Kẻ OH vng góc với AI H Có: IOH 360o 15o 24 Ta có: H trung điểm AI (đường kính vng góc với dây cung trung điểm) IH AI Xét tam giác IOH vuông H có: OI HI AI sin IOH 2sin IOH AI OI.2sinIOH 2.2sin15o 1,04 (cm) c) Có: OH = r (bán kính đường trịn nội tiếp đa giác 12 cạnh) Trong tam giác vuông OHI có: OH OI.cosIOH 2.cos15o 1,93 (cm) Bài 48 trang 108 SBT Toán lớp tập 2: a) Tính cạnh ngũ giác nội tiếp đường trịn bán kính 3cm b) Tính cạnh ngũ giác ngoại tiếp đường trịn bán kính 3cm Lời giải: a) Kẻ OH vng góc với AB H Có: HA = HB = AB (đường kính vng góc với dây cung trung điểm) OA = R = 3cm 360o 72o Vì ABCDE ngũ giác nên: BOA BOA 72o HOA 36o Xét tam giác OHA vng H có: AH OA.sin HOA AB 2AH 2OA.sinHOA 2.3.sin36o 3,53 (cm) b) Từ giả thiết ta có OH = r = 3cm (là bán kính đường trịn nội tiếp ngũ giác đều) Xét tam giác vng OHA vng H có: AH OH.tanHOA AB 2AH 2OH.tanHOA 2.3.tan36o 4,359 (cm) Bài 49 trang 108 SBT Toán lớp tập 2: Tính cạnh hình tám cạnh theo bán kính R đường trịn ngoại tiếp Hướng dẫn 180o Cách Áp dụng công thức a 2Rsin n Cách Tính trực tiếp Vẽ dây AB cạnh hình vng nội tiếp đường trịn (O), gọi C điểm cung nhỏ AB Khi CA cạnh hình tám cạnh nội tiếp Hãy tính CA tam giác vuông CAC’ (h.5) Lời giải: Cách 1: Áp dụng công thức: 180o a 2Rsin 2Rsin 22o30' 0,765R n Cách 2: AC cạnh đa giác tám cạnh Nên sđ AC 360o 45o Do đó, ta có: AC'C sđ AC 22o30' (tính chất góc nội tiếp) Xét tam giác CAC’ vng A Có: sin AC'C AC AC CC'.sinAC'C 2R.sin22o30' 0,765R CC' Bài 50 trang 108 SBT Toán lớp tập 2: Trong đường tròn (O; R) cho dây AB cạnh hình vng nội tiếp dây BC cạnh tam giác nội tiếp (điểm C điểm A phía BO) Tính cạnh tam giác ABC đường cao AH theo R Lời giải: Dây AB cạnh hình vng nội tiếp đường tròn (O; R) nên AB R Cung AB nhỏ có số đo: sđ AB 360o : 90o Dây BC cạnh hình tam giác nội tiếp đường tròn (O; R) nên BC R cung nhỏ BC có sđ BC 360o :3 120o sđ AC = sđ BC - sđ AB = 120o 90o 30o ABC sđ AC = 15o (tính chất góc nội tiếp) Xét tam giác AHB có AHB 90o Do đó, tam giác AHB vng H Có: AH AB.sinABH R 2.sin15o 0,366R Xét tam giác AHC có AHC 90o Do đó, tam giác AHC vng H Có: ACH ACB sđ AB 45o (tính chất góc nội tiếp) AC AH AH 0,366R 0,518R o sin 45o sin ACH sin 45 Bài 51 trang 108 SBT Toán lớp tập 2: Cho ngũ giác ABCDE Gọi I giao điểm AD BE Chứng minh: DI2 = AI.AD Hướng dẫn Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ABCDE xét hai tam giác đồng dạng AIE AED Lời giải: Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ABCDE 360o sđ AB = sđ BC = sđ CD = sđ DE = sđ AE = = 72o (1) Ta có: E1 sđ AB (tính chất góc nội tiếp) (2) D1 sđ AE (tính chất góc nội tiếp) (3) Từ (1), (2), (3) ta suy E1 D1 Xét tam giác AIE tam giác AED có: E1 D1 Góc A chung Do đó, tam giác AIE tam giác AED đồng dạng (góc – góc) AI AE AE AD AE2 AI.AD (*) Lại có: E2 sđ BCD (tính chất góc nội tiếp) E2 (sđ BC + sđ CD ) (4) I1 ( sđ DE + sđ AB ) (tính chất góc có đỉnh bên đường trịn) (5) Từ (1), (4), (5) ta suy ra: E2 I1 Do đó, tam giác DEI cân D DE DI Mà DE = AE (gt) DI AE (**) Từ (*) (**) ta suy ra: DI2 AI.AD Bài tập bổ sung: Bài 8.1 trang 109 SBT Toán lớp tập 2: Mỗi câu sau hay sai? a) Mỗi tam giác có đường trịn ngoại tiếp đường trịn nội tiếp b) Mỗi tứ giác ln có đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp c) Giao điểm ba đường trung tuyến tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Giao điểm ba đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác e) Giao điểm ba đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác f) Giao điểm ba đường cao tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác g) Tứ giác có tổng độ dài cặp cạnh đối nhau ngoại tiếp đường trịn h) Tứ giác có tổng số đo cặp góc (trong) đối nhau nội tiếp đường trịn i) Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh tam giác đường tròn nội tiếp tam giác Lời giải: Câu a: Đúng Câu b: Sai tứ giác khơng phải tứ giác nội tiếp ta khơng có đường trịn ngoại tiếp tứ giác Câu c: Sai giao ba đường trung trực tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Câu d: Đúng Câu e: Đúng Câu f: Sai giao ba đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác Câu g: Đúng Câu h: Đúng Câu i: Sai cịn đường trịn bàng tiếp tam giác Bài 8.2 trang 109 SBT Toán lớp tập 2: Cho đường trịn tâm O bán kính R điểm M ngồi đường trịn Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) Qua điểm M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) (tức đường thẳng qua điểm M cắt đường tròn hai điểm C, D) Gọi I trung điểm dây CD Khi MAOIB có ngũ giác nội tiếp hay khơng ? Lời giải: Để MAOIB ngũ giác cát tuyến MCD khơng qua O Xét đường trịn (O) có: IC = ID (gt) Do đó, OI vng góc với CD I (đường kính qua điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây đó) MIO 90o Mặt khác, MA vng góc với OA A (tính chất tiếp tuyến) MAO 90o Lại có: MB vng góc với OB B (tính chất tiếp tuyến) MBO 90o A, I, B nhìn MO góc 90o nên A, I, B nằm đường trịn đường kính MO Do đó, ngũ giác MAOIB nội tiếp ... OB R 2R 2R R a 180 o sin n a 180 o 2.sin n Xét tam giác OCB vng C, ta có: a CB a tanCOB OC r 2r 2r r a 180 o tan n a 180 o 2.tan n Bài 47 trang 1 08 SBT Toán lớp tập 2: a) Vẽ... OH = r (bán kính đường tròn nội tiếp đa giác 12 cạnh) Trong tam giác vng OHI có: OH OI.cosIOH 2.cos15o 1 ,93 (cm) Bài 48 trang 1 08 SBT Toán lớp tập 2: a) Tính cạnh ngũ giác nội tiếp đường... 2AH 2OH.tanHOA 2.3.tan36o 4,3 59 (cm) Bài 49 trang 1 08 SBT Tốn lớp tập 2: Tính cạnh hình tám cạnh theo bán kính R đường trịn ngoại tiếp Hướng dẫn 180 o Cách Áp dụng công thức a 2Rsin n