Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 8 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp Câu hỏi 1 trang 91 SGK Toán lớp 9 tập 2 a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2cm b) Vẽ một lục giác đều ABCDEF có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn (O)[.]
Bài Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp Câu hỏi trang 91 SGK Toán lớp tập 2: a) Vẽ đường trịn tâm O bán kính R = 2cm b) Vẽ lục giác ABCDEF có tất đỉnh nằm đường tròn (O) c) Vì tâm O cách cạnh lục giác ? Gọi khoảng cách r d) Vẽ đường tròn (O; r) Lời giải: a) b) Cách vẽ lục giác có tất đỉnh nằm đường tròn (O) Vẽ dây cung AB = BC = CD = DE = EF = FA = R = cm c) Vì dây cung AB = BC = CD = DE = EF = FA nên khoảng cách từ O đến dây d) Vẽ hình Bài tập Bài 61 trang 91 SGK Toán lớp tập 2: a) Vẽ đường trịn tâm O, bán kính 2cm b) Vẽ hình vng nội tiếp đường trịn (O) câu a) c) Tính bán kính r đường trịn nội tiếp hình vng câu b) vẽ đường trịn (O; r) Lời giải: a) Cách vẽ: - Chọn điểm O làm tâm, mở compa có độ dài 2cm, vẽ đường trịn tâm O bán kính 2cm b) Cách vẽ: - Vẽ đường kính AC BD vng góc với - Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta tứ giác ABCD hình vng nội tiếp đường trịn (O; 2cm) c) Kẻ OH vng góc với AD H Khi đó, OH = r bán kính đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Vì AB = BC = CD = DA (do ABCD hình vng) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA OH (định lý liên hệ dây cung khoảng cách từ tâm đến dây) Ta có: Tam giác OAD vng O (do AC vng góc với BD O) Mà: OA = OD (cùng bán kính đường trịn (O; OA)) Do đó, tam giác OAD vng cân O Có: OH đường cao (do OH vng góc với AD H) vừa đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OH AH HD AD OH AH r Xét tam giác OHD vuông H (do OH vng góc với AD H) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: OA OH AH 22 r r 2r r2 r (cm) Vẽ đường tròn (O; cm) Đường trịn nội tiếp hình vng ABCD, tiếp xúc cạnh hình vng trung điểm cạnh Bài 62 trang 91 SGK Toán lớp tập 2: a) Vẽ tam giác ABC cạnh a = 3cm b) Vẽ đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC Tính R c) Vẽ đường trịn (O; r) nội tiếp tam giác ABC Tính r d) Vẽ tiếp tam giác IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R) Lời giải: a) - Dựng đoạn thẳng AB = 3cm - Dựng cung tròn (A, 3) cung tròn (B, 3) Hai cung tròn cắt điểm C Nối A với C, B với C ta tam giác ABC cạnh 3cm b) Gọi A’, B’, C’ trung điểm BC, AC, AB Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC giao điểm ba đường trung trực (đồng thời ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác AA’, BB’, CC’ tam giác ABC) Dựng đường trung trực đoạn thẳng BC CA Hai đường trung trực cắt O Vẽ đường trịn tâm O, bán kính R = OA = OB = OC ta đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính AA’: Xét tam giác AA’C vng A’ (do AA’ đường cao) Có: AC = 3cm A’ trung điểm BC A 'C BC (cm) 2 Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AC2 AA'2 A'C2 27 AA ' AC A 'C 2 AA' 2 27 3 (cm) Theo cách dựng, ta có O trọng tâm tam giác ABC (giao điểm ba đường trung tuyến) 2 3 OA AA' (cm) 3 Do đó, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: R OA (cm) c) Do tam giác ABC tam giác trung điểm A’; B’; C’ cạnh BC; CA; AB đồng thời chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB Đường tròn nội tiếp tam giác (O; r) tiếp xúc ba cạnh tam giác ABC trung điểm A’, B’, C’ cạnh r OA ' OB' OC' Theo cách dựng, ta có O trọng tâm tam giác ABC (giao điểm ba đường trung tuyến) 1 3 (cm) OA' AA' 3 2 r cm d) Vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O; R) A, B, C Ba tiếp tuyến cắt I, J, K Ta có: Tam giác IJK tam giác ngoại tiếp (O; R) Bài 63 trang 92 SGK Toán lớp tập 2: Vẽ hình lục giác đều, hình vng, hình tam giác nội tiếp đường tròn (O; R) tính cạnh hình theo R Lời giải: a) Hình a Cách vẽ: Vẽ đường trịn (O; R) Trên đường tròn ta đặt liên tiếp cung A1A2 ,A2A3 , A6A1 mà dây căng cung có độ dài R Nối A1 với A , A với A3 , … A với A1 ta hình lục giác A1A2A3A4A5A6 nội tiếp đường trịn Tính cạnh: Do A1A2A3A4A5A6 lục giác nên ta có: A1OA2 A2OA3 A3OA A 4OA5 A5OA6 A6OA1 Mà: A1OA2 A2OA3 A3OA4 A4OA5 A5OA6 A6OA1 360o A1OA2 A2OA3 A3OA4 A4OA5 A5OA6 A6OA1 60o Xét tam giác OA1A2 có: OA1 OA2 (= R) A1OA 60o (chứng minh trên) Do , tam giác OA1A2 tam giác A1A2 OA1 OA2 R Do đó, lục giác A1A2A3A4A5A6 nội tiếp đường trịn (O; R) có cạnh R b) Hình b Cách vẽ: - Vẽ đường kính A1A3 đường trịn (O; R) - Vẽ đường kính A2A4 A1A3 Tứ giác A1A2A3A4 có hai đường chéo nhau, vng góc với cắt trung điểm đường nên hình vng Nối A1 với A , A với A3 , A3 với A , A với A1 ta hình vng A1A2A3A4 nội tiếp đường trịn (O; R) Tính cạnh: Xét hình vng A1A2A3A4 có: Hai đường chéo A2A4 A1A3 O nên tam giác OA1A2 vuông O Xét tam giác OA1A2 vuông O Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: A1A22 OA12 OA22 A1A22 R R 2R A1A 2R Vậy hình vng A1A2A3A4 nội tiếp đường trịn (O; R) có cạnh 2R c) Hình c Cách vẽ: Vẽ đường trịn (O; R) Trên đường tròn ta đặt liên tiếp cung A1A2 ,A2A3 , A6A1 mà dây căng cung có độ dài R Nối A1 với A3 , A3 với A5 , A5 với A1 ta hình tam giác A1A3A5 nội tiếp (O; R) Tính cạnh: Kẻ đường cao A1H tam giác A1A3A5 ta có: A1H đường trung tuyến 3 OA1 A1H A1H OA1 R 2 Mà H trung điểm A2A3 (do A1H đường trung tuyến) A 2H A 2A3 Mà A2A3 A1A2 A H A1A 2 Xét tam giác A1HA2 vuông H (do A1H đường cao) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: A1A2 A1H2 A2H2 1 A1A A1H A1A 2 2 A1A 2 A1A 2 A1H 3 A1A 2 R 2 A1A 2 R 4 A1A22 3R A1A 3R Vậy hình tam giác A1A3A5 nội tiếp (O; R) có cạnh Bài 64 trang 92 SGK Toán lớp tập 2: 3R Trên đường trịn bán kính R đặt theo chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD cho sđ AB 60o , sđ BC 90o sđ CD 120o a) Tứ giác ABCD hình gì? b) Chứng minh hai đường chéo tứ giác ABCD vuông góc với c) Tính độ dài cạnh tứ giác ABCD theo R Lời giải: a) Xét đường trịn (O) có: BAD góc nội tiếp chắn cung BCD nên ta có: BAD = 1 (sđ BCD ) = (sđ AC + sđ CD ) = 90o 120o = 105o (1) 2 ADC góc nội tiếp chắn cung ABC nên ta có: ADC = 1 (sđ ABC ) = (sđ AB + sđ BC ) = 60o 90o = 75o (2) 2 Từ (1) (2) ta có: BAD ADC 180o Mà: BAD ADC hai góc phía tạo cát tuyến AD hai đường thẳng AB, CD Do đó, AB // CD Do đó, tứ giác ABCD hình thang Mà hình thang ABCD nội tiếp đường trịn Do đó, ABCD hình thang cân b) Giả sử hai đường chéo AC BD cắt I Góc CID góc có đỉnh nằm đường tròn chắn hai cung AB CD nên ta có: 1 CID (sđ AB + sđ CD ) = (60o 120o ) 90o 2 AC BD I c) Có: sđ AB 60o Mà góc AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB AOB 60o Do tam giác AOB nên AB = OB = OA = R Có: sđ BC 90o Mà góc BOC góc tâm chắn cung nhỏ BC BOC 90o Xét tam giác BOC có: BOC 90o Do đó, tam giác BOC vng O Xét tam giác BOC vng O Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: BC2 OB2 OC2 BC OB2 OC2 R R R Do đó, ABCD hình thang cân AD BC R Kẻ OH vng góc với CD H Tứ giác ABCD hình thang cân (chứng minh phần b) BCD ADC 75o Xét tam giác BOC vng O Có: OB = OC (= R) Do đó, tam giác BOC vng cân O BCO CBO 45o OCD BCD BCO 75o 45o 30o Xét tam giác OCH vuông H (do OH vuông góc với CD H) Có: HC OC.cosOCH R.cos30o R Mà H trung điểm CD (định lý đường kính vng góc với dây cung qua trung điểm dây ấy) CD 2CH R ... + sđ CD ) = 90 o 120o = 105o (1) 2 ADC góc nội tiếp chắn cung ABC nên ta có: ADC = 1 (sđ ABC ) = (sđ AB + sđ BC ) = 60o 90 o = 75o (2) 2 Từ (1) (2) ta có: BAD ADC 180 o Mà: BAD ADC... ) 90 o 2 AC BD I c) Có: sđ AB 60o Mà góc AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB AOB 60o Do tam giác AOB nên AB = OB = OA = R Có: sđ BC 90 o Mà góc BOC góc tâm chắn cung nhỏ BC BOC 90 o Xét... tiếp (O; R) có cạnh Bài 64 trang 92 SGK Toán lớp tập 2: 3R Trên đường trịn bán kính R đặt theo chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD cho sđ AB 60o , sđ BC 90 o sđ CD 120o a) Tứ giác ABCD