Bài 8 Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo) Bài 71 trang 168 SBT Toán lớp 9 tập 1 Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB Vẽ các đường tròn (I; IA) và (B; BA) a Hai đường tròn (I) và (B) nói t[.]
Bài 8: Vị trí tương đối hai đường trịn (tiếp theo) Bài 71 trang 168 SBT Toán lớp tập 1: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB Vẽ đường tròn (I; IA) (B; BA) a Hai đường trịn (I) (B) nói có vị trí tương đối với nhau? Vì ? b Kẻ đường thẳng qua A, cắt đường tròn (I) (B) theo thứ tự M N So sánh độ dài AM MN Lời giải: a) Vì A, I, B thẳng hàng nên: BI = AB – AI Do đường tròn (I; IA) tiếp xúc với đường tròn (B; BA) A b) Tam giác AMB nội tiếp đường trịn (I) có AB đường kính nên AMB = 90o AM ⊥ BM hay BM ⊥ AN M Xét (B; BA), có: BM ⊥ AN M (cmt) Mà BM phần đường kính AN dây cung Do đó, M trung điểm AN AM = MN Bài 72 trang 169 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hai đường trịn đồng tâm O Gọi AB dây đường tròn nhỏ Đường thẳng AB cắt đường tròn lớn C D (A nằm B C) So sánh độ dài AC BD Lời giải: Kẻ OI ⊥ AB I Ta có: OI ⊥ CD I Trong đường trịn (O; OA) ta có : OI ⊥ AB I Mà OI phần đường kính, AB dây cung Do đó, I trung điểm AB IA = IB (đường kính vng góc dây cung) (1) Trong đường trịn (O; OC) ta có : OI ⊥ CD Mà OI phần đường kính, CD dây cung Do đó, I trung điểm CD IC = ID (đường kính vng góc dây cung) IA + AC = IB + BD (2) Từ (1) (2) suy ra: AC = BD Bài 73 trang 169 SBT Toán lớp tập 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Gọi CD tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (C (O), D (O’)) a) Tính số đo góc CAD b) Tính độ dài CD biết OA = 4,5cm, O’A = 2cm Lời giải: a) Kẻ tiếp tuyến chung tạ IA cắt CD M Trong đường trịn (O) ta có: MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Trong đường trịn (O’) ta có : MA = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) MA = MC = MD = CD Tam giác ACD có đường trung tuyến AM ứng với cạnh CD nửa cạnh CD nên tam giác ACD vuông A CAD = 90o b) Ta có : MO tia phân giác góc CMA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) MO’ tia phân giác góc DMA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy : MO ⊥ MO’ (tính chất đường phân giác hai góc kề bù) Tam giác MOO’ vng M có MA ⊥ OO’ (tính chất tiếp tuyến) Do đó, MA đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có : MA = OA.O'A = 4,5.2 = MA = = (cm) Mà MA = CD CD = 2.MA = 2.3 = (cm) Bài 74 trang 169 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hai đường trịn đồng tâm O Một đường tròn (O’) cắt đường tròn tâm O A, B cắt đường tròn tâm O lại C, D Chứng minh AB // CD Lời giải: Vì đường trịn (O’) cắt đường tròn (O ; OA) A B nên OO’ trung trực AB OO’ ⊥ AB (1) Vì đường trịn (O’) cắt đường trịn (O ; OC) C D nên OO’ trung trực CD OO’ ⊥ CD (2) Từ (1) (2) suy : AB // CD Bài 75 trang 169 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O ; 3cm) đường trịn (O’; 1cm) tiếp xúc ngồi A Vẽ hai bán kính OB O’C song song với thuộc nửa mặt phẳng có bờ OO’ a) Tính số đo góc BAC b) Gọi I giao điểm BC OO’ Tính độ dài OI Lời giải: a) Ta có: OB // O’C (theo đề bài) AOB + AO'C = 180o (hai góc phía) Xét đường trịn (O) ta có: OA = OB (= 3cm) Do đó, tam giác AOB cân O BAO = OBA Mà: BAO + OBA + BOA = 180o (tổng ba góc tam giác) 180o − AOB 2BAO + AOB = 180 BAO = o Xét đường tròn (O’) ta có: O’A = O’C (= 1cm) Do đó, tam giác AO’C cân O’ CAO' = O'CA Mà: CAO' + O'CA + CO'A = 180o (tổng ba góc tam giác) 180o − AO'C 2CAO' + AO'C = 180 CAO' = o 180o − AOB 180o − AO'C 360o − (AOB + AO'C) Ta có: BAO + CAO' = + = 2 BAO + CAO' = 360o − 180o = 90o BAC = 90o b) Xét tam giác IBO, ta có: OB // O’C Áp dụng định lí Ta-lét ta có: IO' O'C IO' IO − IO' − OO' = = = = IO OB IO IO IO IO = OO'.3 4.3 = = (cm) 2 Bài 76 trang 169 SBT Toán lớp tập 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ đường kính AOB, AO’C Gọi DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (D (O), E (O’)) Gọi M giao điểm BD CE a Tính số đo góc DAE b Tứ giác ADME hình gì? Vì sao? c Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Lời giải: a) Kẻ tiếp tuyến chung A cắt DE I Trong đường tròn (O) ta có: IA = ID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Trong đường trịn (O’) ta có : IA = IE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy : IA = ID = IE = DE Do đó, tam giác ADE có đường trung tuyến AI ứng với cạnh DE nửa cạnh DE nên tam giác ADE vuông A DAE = 90o b Tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) có AB đường kính nên tam giác ABD vng D BDA = 90o ADM = 90o Tam giác AEC nội tiếp đường trịn (O’) có AC đường kính nên nên tam giác AEC vng E AEC = 90o AEM = 90o Mặt khác: EAD = 90o (chứng minh trên) Do đó, tứ giác ADME có ba góc vng nên hình chữ nhật c) Tứ giác ADME hình chữ nhật ID = IE (chứng minh trên) nên đường chéo AM hình chữ nhật phải qua trung điểm I DE Do đó, A, I, M thẳng hàng Ta có: IA ⊥ OO’ (vì IA tiếp tuyến (O)) AM ⊥ OO’ Vậy MA tiếp tuyến chung đường tròn (O) (O’) Bài 77 trang 169 SBT Toán lớp tập 1: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung MN hai đường tròn (M (O), N (O’)) Gọi P điểm đối xứng với M qua OO’, Q điểm đối xứng với N qua OO’ Chứng minh rằng: a) MNQP hình thang cân b) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) c) MN + PQ = MP + NQ Lời giải: a) Vì M P đối xứng qua trục OO’ nên OO’ đường trung trực MP OP = OM Khi P thuộc (O) MP ⊥ OO’ (1) Vì N Q đối xứng qua trục OO’ nên OO’ đường trung trực NQ O’N = O’Q Khi Q thuộc (O’) NQ ⊥ OO’ (2) Từ (1) (2) suy ra: MP // NQ Do đó, tứ giác MNPQ hình thang Vì OO’ đường trung trực MP NQ nên OO’ qua trung điểm hai đáy hình thang MNQP, OO’ đồng thời trục đối xứng hình thang MNQP nên MNQP hình thang cân b) Ta có: MN ⊥ OM (tính chất tiếp tuyến) OMN = 90o OMP + PMN = 90o (3) Tam giác OMP cân O (do OM = OP) OPM = OMP (4) Lại có MNQP hình thang cân nên PMN = QPM (5) Từ (3), (4), (5) ta suy OPM + QPM = 90o OPQ = 90o QP ⊥ OP P Vậy PQ tiếp tuyến đường trịn (O) Ta có: MN ⊥ O’N (tính chất tiếp tuyến) O' NM = 90o MNQ − O' NQ = 90o (6) Tam giác O’NQ cân O’ (do O’N = O’Q) O' NQ = O'QN (7) Lại có MNQP hình thang cân nên MNQ = PQN (8) Từ (6), (7), (8) ta suy PQM − O'QN = 90o O'QP = 90o Suy ra: QP ⊥ O’Q Q c) Kẻ tiếp tuyến chung A cắt MN E PQ F Trong đường trịn (O), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: EM = EA FP = FA Trong đường tròn (O’), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: EN = EA FQ = FA EM = EA = EN = Và FP = FA = FQ = MN PQ Suy : MN + PQ = 2EA + 2FA = 2(EA + FA) = 2EF (9) E trung điểm MN (do EM = EN) F trung điểm PQ (do FP = FQ) Do đó, EF đường trung bình hình thang MNQP nên : EF = (MP + NQ) hay MP + NQ = 2EF (10) Từ (9) (10) suy ra: MN + PQ = MP + NQ Bài 78 trang 170 SBT Toán lớp tập 1: Cho hai đường tròn (O; 2cm), (O’; 3cm), OO’ = 6cm a) Hai đường tròn (O) (O’) có vị trí tương đối với nhau? b) Vẽ đường tròn (O’; 1cm) kẻ tiếp tuyến OA với đường trịn (A tiếp điểm) Tia O’A cắt đường tròn (O’; 3cm) B Kẻ bán kính OC đường trịn (O) song song với O’B, B C thuộc nửa mặt phẳng có bờ OO’ Chứng minh BC tiếp tuyến chung hai đường tròn (O; 2cm), (O’; 3cm) c) Tính độ dài BC d) Gọi I giao điểm BC OO’ Tính độ dài IO Lời giải: a) Vì OO’ = > + hay OO’ > R + R’ nên hai đường tròn (O) (O’) b) Xét tứ giác ABCO ta có: AB // CO (gt) (1) Mà : AB = O’B – O’A = – = (cm) AB = OC = (cm) (2) Từ (1) (2) suy ra: ABCO hình bình hành Lại có: OA ⊥ O’A (tính chất tiếp tuyến) OAO' = 90o OAB = 90o Do đó, tứ giác ABCO hình chữ nhật OCB = ABC = 90o BC ⊥ OC BC ⊥ O’B c) Vậy BC tiếp tuyến chung hai đường trịn (O) (O’) Vì tứ giác ABCO hình chữ nhật nên OA = BC Xét tam giác OAO’ vng A Áp dụng định lí Pitago, ta có: OO'2 = OA + O'A OA = OO'2 − O'A = 62 − 12 = 35 OA = 35 (cm) Vậy BC = OA = 35 (cm) d) Trong tam giác O’BI có OC // O’B Áp dụng định lí Ta-lét ta có: IO OC IO OC IO = = = = IO = 2OO' = 2.6 = 12 IO' O'B IO'− IO O'B − OC O'O − (cm) Bài 79 trang 170 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm bên ngồi đường trịn (R < OA < 3R) Vẽ đường tròn (A; 2R) a) Hai đường tròn (O) (A) có vị trí tương đối với ? b) Gọi B giao điểm hai đường trịn Vẽ đường kính BOC đường tròn (O) Gọi D giao điểm (khác C) AC đường tròn (O) Chứng minh AD = DC Lời giải: a) Ta có: R < OA < 3R ⇔ 2R – R < OA < 2R + R Do hai đường trịn (O ; R) (A ; 2R) cắt b) Tam giác BCD nội tiếp đường trịn (O) có BC đường kính nên tam giác BCD vng D BDC = 90o BD ⊥ AC D (1) Ta có : AB = 2R BC = 2OB = 2R Do tam giác ABC cân B (2) Mà BD đường cao nên BD đường trung tuyến Suy D trung điểm AC Từ (1) (2) suy : AD = DC Bài 80 trang 170 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường tròn (O; 2cm) tiếp xúc với đường thẳng d Dựng đường tròn (O’; 1cm) tiếp xúc với đường thẳng d tiếp xúc ngồi với đường trịn (O) Lời giải: Cách dựng - Dựng hai đường thẳng d1 d2 song song với d cách d khoảng 1cm - Dựng đường tròn (O; 3cm) cắt d1 O1 Vẽ ( O1 ; 1cm) ta có đường trịn cần dựng Chứng minh Theo cách dựng, O1 cách d khoảng 1cm nên ( O1 ; 1cm) tiếp xúc với d Vì O O1 = 3cm nên ( O1 ; 1cm) tiếp xúc với (O; 2cm) Bài tập bổ sung Bài 8.1 trang 170 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hai đường trịn (O;R) (O’;r) Điền vào chỗ trống bảng sau Lời giải: Bài 8.2 trang 170 SBT Toán lớp tập 1: Cho hai đường tròn (O; 3cm) (O’; 4cm) có OO’ = 5cm a) Hai đường trịn (O) (O’) có vị trí tương đối ? b) Tính độ dài dây chung hai đường tròn Lời giải: a) Ta có: OO’ = 5cm < 3cm + 4cm = 7cm nên hai đường tròn (O; 3cm) (O’; 4cm) cắt hai điểm phân biệt b) Gọi A B giao điểm hai đường tròn (O) (O’), H giao điểm AB OO’ Có OA2 + O'A2 = 32 + 42 = 25 = 52 = OO'2 Do đó, tam giác AOO’ vng A (định lí Py-ta-go đảo) Do hai đường trịn cắt hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm, tức đường nối tâm đường trung trực dây chung OO’ đường trung trực AB nên ta có: AH ⏊ OO’ AB = 2AH Xét tam giác AOO’ vng A có đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AH.OO' = OA.O'A AH = OA.O'A 3.4 = AH = 2,4 (cm) OO' Vậy AB = 2AH = 2.2,4 = 4,8 (cm) Bài 8.3 trang 171 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường tròn (O) điểm A cố định đường tròn Điểm B chuyển động đường tròn a) Chứng minh trung điểm M AB chuyển động đường tròn (O’) b) Đường trịn (O’) có vị trí tương đối với đường tròn (O) ? Lời giải: a) Xét đường tròn (O) có M trung điểm dây AB nên OM ⊥ AB M (quan hệ đường kính dây cung) AMO = 90o hay tam giác AMO vuông M Gọi O’ trung điểm OA Do đó, điểm M chuyển động đường trịn (O’) đường kính AO b) Ta có: O’, O, A thẳng hàng Nên OO’ = OA – O’A Do đó, đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) ... cân nên MNQ = PQN (8) Từ (6), (7), (8) ta suy PQM − O''QN = 90 o O''QP = 90 o Suy ra: QP ⊥ O’Q Q c) Kẻ tiếp tuyến chung A cắt MN E PQ F Trong đường trịn (O), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau,... 2cm) Bài tập bổ sung Bài 8. 1 trang 170 SBT Toán lớp tập 1: Cho hai đường tròn (O;R) (O’;r) Điền vào chỗ trống bảng sau Lời giải: Bài 8. 2 trang 170 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hai đường trịn (O; 3cm)... chung hai đường tròn Lời giải: a) Kẻ tiếp tuyến chung A cắt DE I Trong đường trịn (O) ta có: IA = ID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Trong đường tròn (O’) ta có : IA = IE (tính chất hai tiếp