Bài 7 Vị trí tương đối của hai đường tròn Bài 64 trang 167 SBT Toán lớp 9 tập 1 Cho hình 76, trong đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A Chứng minh rằng các tiếp tuyến Bx và Cy song so[.]
Bài 7: Vị trí tương đối hai đường trịn Bài 64 trang 167 SBT Toán lớp tập 1: Cho hình 76, hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc với A Chứng minh tiếp tuyến Bx Cy song song với Lời giải: Ta có: O, A, O’ thẳng hàng C, A, B thẳng hàng OAB = O'AC (hai góc đối đỉnh) (1) Tam giác OAB cân O OAB = OBA (2) Tam giác O’AC cân O’ O'AC = O'CA (3) Từ (1), (2) (3) ta suy ra: OBA = O'CA Mà cặp góc vị trí so le Do đó, OB // O’C Có: Bx ⊥ OB (tính chất tiếp tuyến) Bx ⊥ O'C Mà Cy ⊥ O'C (tính chất tiếp tuyến) Do đó, Bx // Cy Bài 65 trang 167 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B hình 77 Biết OA = 15cm, O’A = 13cm, AB = 24cm Tính độ dài OO’ Lời giải: Gọi H giao điểm AB OO’ Vì OO’ đường trung trực AB nên: Gọi OO’ vng góc với AB H 1 HA = HB = AB = 24 = 12 (cm) 2 Xét tam giác AHO vng O Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AO2 = OH + AH OH2 = OA2 − AH2 = 152 − 122 = 81 OH = 81 = (cm) Xét tam giác AHO’ vng H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AO'2 = O'H + AH O'H = O'A − AH = 132 − 122 = 25 O'H = 25 = (cm) Vậy OO’ = OH + O’H = + = 14 (cm) Bài 66 trang 167 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc với A hình 78 Chứng minh bán kính OB O’C song song với Lời giải: Gọi bán kính (O) R bán kính đường trịn (O’) R’ Ta có: OA = OB (= R) Do đó, tam giác AOB cân O OAB = OBA (1) Ta có: O’A = O’C (= R’) Do đó, tam giác AO’C cân O’ O'AC = O'CA (2) Từ (1), (2) ta suy ra: OBA = O'CA Do đó, OB // O’C (vì có hai góc vị trí đồng vị nhau) Bài 67 trang 167 SBT Toán lớp tập 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Kẻ đường kính AOC, AO’D Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng AB ⊥ CD Lời giải: Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có AC đường kính nên ABC = 90o Tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O’) có AD đường kính nên góc ABD = 90o Ta có: CBD = ABC + ABD = 90o + 90o = 180o Vậy C, D, B thẳng hàng AB ⊥ CD B Bài 68 trang 168 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B Gọi I trung điểm OO’ Qua A vẽ đường thẳng vng góc với IA, cắt đường trịn (O) (O’) C D (khác A) Chứng minh AC = AD Lời giải: Kẻ OH vng góc với CD H Kẻ O’K vng góc với CD K Ta có IA vng góc với CD A Do đó, OH // O’K // IA AH = AK (tính chất đường thẳng song song cách đều) (1) Ta có: OH vng góc với CA H Mà OH phần đường kính CA dây cung Do H trung điểm CA HA = HC = AC AC = 2AH (2) Lại có: O’K vng góc với AD K Mà O’K phần đường kính DA dây cung Do đó, K trung điểm DA KA = KD = AD AD = 2AK (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: AC = AD Bài 69 trang 168 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B, O’ nằm đường trịn (O) Kẻ đường kính O’OC đường tròn (O) a) Chứng minh CA, CB tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Đường vng góc với AO’ O’ cắt CB I Đường vng góc với AC C cắt đường thẳng O’B K Chứng minh ba điểm O, I, K thẳng hàng Lời giải: a) Tam giác AO’C nội tiếp đường trịn (O) có O’C đường kính nên O'AC = 90o CA ⊥ O'A A Do đó, CA tiếp tuyến đường trịn (O’) Tam giác BO’C nội tiếp đường tròn (O) có O’C đường kính nên O'BC = 90o CB ⊥ O'B B Do đó, CB tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Trong đường tròn (O’) ta có AC BC hai tiếp tuyến cắt C nên CO’ tia phân giác góc ACB ACO' = BCO' Mà O’I vng góc với O’A O, CA vng góc với O’A A Do đó, O’I // CA ACO' = CO'I (hai góc so le trong) BCO' = CO'I Do tam giác CIO’ cân I IC = IO' Khi I nằm đường trung trực O’C Ta lại có: AO'C = BO'C (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) KC ⊥ CA C O'A ⊥ AC A Do đó, KC // O’A AO'C = O'CK (hai góc so le trong) O'CK = KO'C Do đó, tam giác CKO’ cân K KC = KO' Khi K nằm đường trung trực O’C Mặt khác: OC = OO’ (= R) Suy O, I, K nằm đường trung trực O’C Vậy O, I, K thẳng hàng Bài 70 trang 168 SBT Toán lớp tập 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Dây AC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) A Dây AD đường (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) A Gọi K điểm đối xứng với A qua trung điểm I OO’, E điểm đối xứng với A qua B Chứng minh rằng: a) AB ⊥ KB b) Bốn điểm A, C, E, D nằm đường tròn Lời giải: a) Gọi H giao điểm AB OO’ Vì OO’ đường trung trực AB nên OO’ ⊥ AB H (do hai đường trịn cắt hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm, tức đường nối tâm trung trực dây chung.) Ta có: HA = HB I trung điểm OO’ nên IH ⊥ AB Xét tam giác ABK, ta có: HA = HB (chứng minh trên) IA = IK (tính chất đối xứng tâm) (1) Do IH đường trung bình tam giác ABK IH // BK (2) Từ (1) (2) suy ra: AB ⊥ KB b) Vì AB ⊥ KB nên AE ⊥ KB Lại có: AB = BE (tính chất đối xứng tâm) KA = KE (tính chất đường trung trực) (3) Ta có: IO = IO’ (theo đề bài) IA = IK (chứng minh trên) Do đó, tứ giác AOKO’ có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành OK // O’A OA // O’K Có: CA ⊥ O’A (vì CA tiếp tuyến đường tròn (O’)) OK // O’A (chứng minh trên) OK ⊥ AC Khi OK đường trung trực AC KA = KC (tính chất đường trung trực) (4) DA ⊥ OA (vì DA tiếp tuyến đường tròn (O)) O’K // OA (chứng minh trên) O’K ⊥ DA Khi O’K đường trung trực AD KA = KD (tính chất đường trung trực) (5) Từ (3), (4) (5) suy ra: KA = KC = KE = KD Vậy bốn điểm A, C, E, D nằm đường tròn Bài tập bổ sung: Bài 7.1 trang 168 SBT Toán lớp tập 1: Cho h.bs.23, OA = 3, O’A = 2, AB = Độ dài AC (A) 10 (B) 3,5 (C) (D) Hãy chọn phương án Lời giải: Tam giác OAB cân O (do OA = OB) OBA = OAB Tam giác O’AC cân O (do O’A = O’C) O'CA = O'AC (đối đỉnh) Mà OAB = O'AC OBA = OAB = O'AC = O'CA Xét tam giác OAB tam giác O’AC có: OBA = OAB = O'AC = O'CA Do đó, tam giác OAB tam giác O’AC đồng dạng (góc – góc) OA AB = O'A AC AC = AB.O'A 5.2 10 = = OA 3 Vậy ta chọn đáp án (A) Bài 7.2 trang 168 SBT Tốn lớp tập 1: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B Một đường thẳng vng góc với AB B cắt đường tròn (O) (O’) theo thứ tự C D (khác B) Chứng minh OO’ = CD Lời giải: Do AB vng góc với CD B nên ta có: ABC = 90o nên tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có đường kính AC nên A, O, C thẳng hàng ABD = 90o nên tam giác ABD nội tiếp đường trịn (O’) có đường kính AD nên A, O’, D thẳng hàng Xét tam giác ACD có: O trung điểm AC (tâm – đường kính) O’ trung điểm AD (tâm – đường kính) Do OO’ đường trung bình tam giác ACD nên OO’ = CD ... Cy ⊥ O''C (tính chất tiếp tuyến) Do đó, Bx // Cy Bài 65 trang 1 67 SBT Toán lớp tập 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B hình 77 Biết OA = 15cm, O’A = 13cm, AB = 24cm Tính độ dài OO’ Lời giải:... (2) Từ (1), (2) ta suy ra: OBA = O''CA Do đó, OB // O’C (vì có hai góc vị trí đồng vị nhau) Bài 67 trang 1 67 SBT Toán lớp tập 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Kẻ đường kính AOC, AO’D Chứng... kính nên ABC = 90 o Tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O’) có AD đường kính nên góc ABD = 90 o Ta có: CBD = ABC + ABD = 90 o + 90 o = 180o Vậy C, D, B thẳng hàng AB ⊥ CD B Bài 68 trang 168 SBT Tốn lớp