Bài 4 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Bài 35 trang 162 SBT Toán lớp 9 tập 1 Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ ( 3; 2) Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó[.]
Bài 4: Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Bài 35 trang 162 SBT Tốn lớp tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ (-3; 2) Nếu vẽ đường trịn tâm I bán kính đường trịn có vị trí trục tọa độ ? Lời giải: Kẻ IA ⊥ Ox A Ta có: IA = = R (do điểm I có tọa độ (-3; 2)) Do đó, đường trịn (I) tiếp xúc với trục hoành Kẻ IB ⊥ Oy B Ta có IB = > R (do điểm I có tọa độ (-3; 2)) Do đó, đường trịn (I) trục tung khơng có điểm chung Bài 36 trang 162 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường thẳng a Tâm I tất đường tròn có bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng a nằm đường ? Lời giải: Vì đường trịn tâm I bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng a nên khoảng cách từ I đến a 5cm Vậy I nằm hai đường thẳng x y song song với a, cách a khoảng 5cm Bài 37 trang 162 SBT Toán lớp tập 1: Cho điểm A cách đường thẳng xy 12cm Vẽ đường tròn (A ; 13cm) a) Chứng minh đường trịn (A) có hai giao điểm với đường thẳng xy b) Gọi hai giao điểm nói B C Tính độ dài BC Lời giải: a) Kẻ AH ⊥ xy H Ta có: AH = 12cm Bán kính đường trịn (I) 13cm hay R = 13cm Mà ta có: AH = d = 12cm < R = 13cm Do đó, đường trịn (A; 13cm) cắt đường thẳng xy hai điểm phân biệt B C b) Xét tam giác AHC vuông H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AC2 = AH2 + HC2 HC2 = AC2 − AH2 = 132 − 122 = 25 HC = 25 = (cm) Mặt khác, AH phần đường kính, BC dây cung, AH vng góc với BC H Do đó, H trung điểm BC BC = 2CH = 2.5 = 10 (cm) Bài 38 trang 162 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O) bán kính 2cm Một đường thẳng qua điểm A nằm bên ngồi đường trịn cắt đường trịn B C, AB = BC Kẻ đường kính COD Tính độ dài AD Lời giải: Xét tam giác ACD, ta có : B trung điểm AC (gt) O trung điểm CD (tâm – đường kính) Do đó, OB đường trung bình tam giác ACD OB = AD AD = 2OB = 2.2 = (cm) Bài 39 trang 162 SBT Toán lớp tập 1: Cho hình thang vng ABCD ( A = D = 90 ) , AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm o a) Tính độ dài AD b) Chứng minh đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC Lời giải: a) Kẻ BE vng góc với CD E Xét tứ giác ABED có: BAD = ADE = 90o (theo đề bài) BED = 90o (do BE vng góc với CD E) Do đó, ABED hình chữ nhật AD = EB , AB = DE = 4cm CE = CD – DE = – = (cm) Xét tam giác BCE vuông E Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: BC2 = BE + CE BE = BC2 − CE = 132 − 52 = 144 BE = 144 = 12 (cm) AD = EB = 12 cm b) Gọi I trung điểm BC IB = IC = BC 13 = = 6,5 (cm) (1) 2 Kẻ IH vng góc với AD H Xét hình thang ABCD có: I trung điểm BC ( Mà CD, AB vng góc với AD A = D = 90o ) IH // CD // AB Do đó, H trung điểm AD Hay IH đường trung bình hình thang ABCD IH = AB + CD + = = 6,5 (cm) (2) 2 Từ (1) (2) ta suy IB = IH = IC = Vậy đường tròn (I; BC BC ) tiếp xúc với đường thẳng AD Bài 40 trang 162 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường trịn (O), bán kính OA, dây CD đường trung trực OA a) Tứ giác OCAD hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn C, tiếp tuyến cắt đường thẳng OA I Tính độ dài CI biết OA = R Lời giải: a) Gọi H giao điểm OA CD Vì CD đường trung trực OA nên: CD ⊥ OA H HA = HO Mà OH phần đường kính, CD dây cung nên H trung điểm CD HC = HD Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt trung điểm đường H vng góc với H nên ACOD hình thoi b) Vì ACOD hình thoi nên AC = OC Mà OC = OA = R nên AC = OC = OA Do đó, tam giác OAC OAC 60o hay COI 60o Mà CI ⊥ OC (tính chất tiếp tuyến) Xét tam giác OCI vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác ta có: CI = OC.tan COI = R.tan 60o = R Bài 41 trang 162 SBT Tốn lớp tập 1: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d đường tròn Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ A B đến d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh : a) CE = CF b) AC tia phân giác góc BAE c) CH2 = AE.BF Lời giải: a) Ta có: OC ⊥ d (tính chất tiếp tuyến) AE ⊥ d,BF ⊥ d (theo đề bài) OC // AE // BF Mà OA = OB (= R) CE = CF (tính chất đường thẳng song song cách đều) b) Ta có: AE // OC OCA = EAC (hai góc so le nhau) (1) Ta có: OA = OC (= R) Do đó, tam giác OAC cân O OCA = OAC (2) Từ (1) (2) ta suy ra: OAC = EAC Do đó, AC tia phân giác góc OAE hay AE tia phân giác góc BAE c) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB đường kính nên tam giác ABC vuông C Xét tam giác ABC vuông C có: CH vng góc với AB H Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: CH = HA.HB (3) Xét tam giác ACH tam giác ACE có: AEC = AHC = 90o CH = CE (tính chất đường phân giác) AC chung Do đó, tam giác ACH tam giác ACE (cạnh huyền – cạnh góc vng) AH = AE (4) Xét tam giác BCH tam giác BCF có: BHC = BFC = 90o CH = CF (= CE) BC chung Do đó, tam giác BCH tam giác BCF (cạnh huyền – cạnh góc vng) BH = BF (5) Từ (3), (4), (5) ta suy CH2 = AE.BF (đcpcm) Bài tập bổ sung Bài 4.1 trang 163 SBT Toán lớp tập 1: Cho đoạn thẳng AB Đường tròn (O) đường kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng AB Tâm O nằm (A) Đường vng góc với AB A; (B) Đường vng góc với AB B; (C) Hai đường thẳng song song với AB cách AB khoảng 1cm; (D) Hai đường thẳng song song với AB cách AB khoảng cm Hãy chọn phương án Lời giải: Vì đường trịn tâm O đường kính 2cm có bán kính 1cm tiếp xúc với đường thẳng AB nên khoảng cách từ O đến AB 1cm Vậy O nằm hai đường thẳng song song với AB, cách AB khoảng 1cm Vậy ta chọn đáp án (C) Bài 4.2 trang 163 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O; 2cm), điểm A di chuyển đường tròn Trên tiếp tuyến A, lấy điểm M cho AM = OA Điểm M chuyển động đường ? Lời giải: Do AM tiếp tuyến đường tròn (O; 2cm) nên ta có: OA ⊥ AM Xét tam giác OAM vuông A OA = AM = 2cm Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: OM2 = OA2 + AM2 = 22 + 22 = OM = = 2 (cm) Vậy điểm M chuyển động đường tròn (O; 2 cm) Bài 4.3 trang 163 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O; 15cm), dây AB = 24cm Một tiếp tuyến song song với AB cắt tia OA, OB theo thứ tự E, F Tính độ dài EF Lời giải: Gọi C tiếp điểm EF với đường tròn (O), H giao điểm OC AB Ta có: OC ⊥ EF AB // EF OC ⊥ AB OH phần đường kính, AB dây cung, OH vng góc với AB H Do đó, H trung điểm AB HA = HB = AB 24 = = 12 (cm) 2 Xét tam giác OHB vuông H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: OB2 = OH + HB2 OH2 = OB2 − HB2 = 152 − 122 = 81 OH = 81 = (cm) Xét tam giác OAB tam giác OEF Góc O chung Có: AB // EF OA OB = (định lí Ta-lét) OE OF Do đó, tam giác OAB đồng dạng với tam giác OEF (cạnh – góc – cạnh) OH AB OC.AB 15.24 = EF = = = 40 (cm) OC EF OH ... giác ACD OB = AD AD = 2OB = 2.2 = (cm) Bài 39 trang 162 SBT Toán lớp tập 1: Cho hình thang vng ABCD ( A = D = 90 ) , AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm o a) Tính độ dài AD b) Chứng minh đường thẳng... BE = BC2 − CE = 132 − 52 = 144 BE = 144 = 12 (cm) AD = EB = 12 cm b) Gọi I trung điểm BC IB = IC = BC 13 = = 6,5 (cm) (1) 2 Kẻ IH vng góc với AD H Xét hình thang ABCD có: I trung điểm BC... góc với CD E Xét tứ giác ABED có: BAD = ADE = 90 o (theo đề bài) BED = 90 o (do BE vng góc với CD E) Do đó, ABED hình chữ nhật AD = EB , AB = DE = 4cm CE = CD – DE = – = (cm) Xét tam giác BCE