Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn Bài 15 trang 158 SBT Toán lớp 9 tập 1 Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK Chứng minh rằng a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn b) HK < BC Lời gi[.]
Bài 2: Đường kính dây đường trịn Bài 15 trang 158 SBT Toán lớp tập 1: Cho tam giác ABC, đường cao BH CK Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, C, H, K thuộc đường tròn b) HK < BC Lời giải: Gọi I trung điểm BC Xét tam giác BCH vuông H HI trung tuyến I trung điểm BC HI = CI = BI = BC (1) (tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) Xét tam giác BCK vuông K KI trung tuyến I trung điểm BC KI = CI = BI = BC (2) (tính chất đường trung tuyến tam giác vng) Từ (1) (2) ta có: KI = HI = CI = BI = BC Do đó, K, H, C, B nằm đường tròn tâm I bán kính R = BC b) Trong đường trịn tâm I ta có KH dây cung khơng qua tâm, BC đường kính nên: KH < BC Bài 16 trang 159 SBT Toán lớp tập 1: Tứ giác ABCD có B = D = 90o a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn b) So sánh độ dài AC BD Nếu AC = BD tứ giác ABCD hình gì? Lời giải: a) Gọi I trung điểm AC Xét tam giác ABC vuông B BI đường trung tuyến I trung điểm AC BI = AI = CI = AC (1) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Xét tam giác ADC vuông D DI đường trung tuyến I trung điểm AC DI = AI = CI = AC (2) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Từ (1) (2) ta có: BI = DI = CI = AI = AC Do đó, bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn tâm I bán kính R = AC b) Trong đường trịn tâm M ta có BD dây cung khơng qua tâm, AC đường kính nên: BD < AC AC = BD BD đường kính I BD IA = IB = IC = ID Xét tứ giác ABCD có AC giao BD I IA = IB = IC = ID Khi đó, ABCD hình chữ nhật Bài 17 trang 159 SBT Toán lớp tập 1: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB dây EF khơng cắt đường kính Gọi I K chân đường vng góc kẻ từ A B đến EF Chứng minh IE = KF Lời giải: Xét tứ giác IKBA có: AI vng góc với IK BK vng góc với IK AI // BK Do đó, IKBA hình thang Kẻ OH vng góc với IK H Nên OH // AI // BK (cùng vng góc với IK) Mà O trung điểm AB AB đường kính O tâm nửa đường trịn Do đó, H trung điểm IK IH = KH IE + EH = HF + FK (1) Mặt khác, ta có: OH phần đường kính qua tâm O OH vng góc với dây cung EF Do đó, H trung điểm EF HE = HF (2) Từ (1) (2) ta suy IE = KF Bài 18 trang 159 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường trịn (O) bán kính OA = 3cm Dây BC đường trịn vng góc với OA trung điểm OA Tính độ dài BC Lời giải: Gọi giao điểm OA BC H Xét tam giác ABH vuông H (do BC vuông góc với OA H) B nằm đường trịn (O) nên OB = OA = 3cm H trung điểm OA nên OH = AH = OA = = 1,5 cm 2 Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: OB2 = BH2 + OH BH = OB2 − OH = 32 − (1,5 ) = 6,75 BH = 6.75 = 3 (cm) Mặt khác, OA bán kính phần đường kính, OA vng góc với dây cung BC H Do đó, H trung điểm BC HB = HC = BC 3 BC = 2HB = = 3 (cm) 2 Bài 19 trang 159 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường trịn (O), đường kính AD = 2R Vẽ cung tâm D bán kính R, cung cắt đường tròn (O) B C a) Tứ giác OBDC hình gì? Vì sao? b) Tính số đo góc CBD, CBO, OBA c) Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải: Xét đường trịn tâm O đường kính AD = 2R Ta có: OA = OC = OB = OD = R (1) (do bán kính nửa đường kính) Xét cung trịn tâm D bán kính R Do cung tròn tâm D cắt đường tròn tâm O B C nên DB = DC = R (2) Từ (1) (2) ta có: OB = OC = DB = DC Do đó, tứ giác OBDC hình thoi b) Xét tam giác OBD có: OB = OD = BD = R Do đó, tam giác OBD OBD = 60o Do OBDC hình thoi nên đường chéo BC đường phân giác góc OBD CBD = CBO = OBD = 30o Xét tam giác ABD nội tiếp đường trịn (O) Có AD đường kính Do ABD vng B ABD = 90o Mà: ABD = OBA + OBD OBA = ABD − OBD = 90o − 60o = 30o c) Xét tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O) Có AD đường kính Do ACD vng C ACD = 90o OCD = OBD = 60o (do OBDC) hình thoi Mà: ACD = OCA + OCD OCA = ACD − OCD = 90o − 60o = 30o Xét tam giác ABC có: ABC = ABO + OBC = 30o + 30o = 60o Do OBDC hình thoi nên đường chéo BC đường phân giác góc OCD OCD 60o OCB = = = 30o 2 ACB = ACO + OCB = 30o + 30o = 60o Xét tam giác ABC, có: ABC = ACB = 60o Nên tam giác ABC cân A Mà ABC = 60o Do đó, tam giác ABC tam giác Bài 20 trang 159 SBT Toán lớp tập 1: a) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB, dây CD Các đường vng góc với CD C D tương ứng cắt AB M N Chứng minh AM = BN b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Trên AB lấy điểm M, N cho AM = BN Qua M N kẻ đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn C D Chứng minh MC ND vng góc với CD Lời giải: a) Do nửa đường trịn tâm O đường kính AB nên OA = OB OM + MA = ON + NB (1) Xét tứ giác MCDN có: MC vng góc với CD ND vng góc với CD MC // ND Do đó, MCDN hình thang Kẻ OI vng góc với CD OI // MC // ND (2) (cùng vng góc với CD) Mà OI phần đường kính qua tâm O Do đó, I trung điểm CD (3) Từ (2) (3) ta suy O trung điểm MN OM = ON (4) Từ (1) (4) ta suy AM = BN b) Do nửa đường trịn tâm O đường kính AB nên OA = OB OM + MA = ON + NB Mà MA = NB OM = ON Do đó, O trung điểm MN Xét tứ giác CDNM có: MC // ND Do , CDNM hình thang Có O trung điểm MN Dựng I trung điểm CD Do đó, OI đường trung bình hình thang CDMN OI // MC // ND (1) Mà OI phần đường kính qua tâm O, OI giao với dây cung CD (khác đường kính) trung điểm I OI ⊥ CD (2) Từ (1) (2) ta suy MC vng góc với CD ND vng góc với CD Bài 21 trang 159 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Dây CD cắt đường kính AB I Gọi H K theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CH = DK Lời giải: Xét đường tròn (O) CD dây cung khác đường kính Kẻ OM vng góc với CD M Mà OM phần đường kính Do M trung điểm CD MC = MD CH + HM = MK + KD (1) Xét tam giác ABK có: OM giao AK N OM vng góc với CD BK vng góc với CD OM // BK hay ON // BK Mà O trung điểm AB (tâm – đường kính) Do N trung điểm AK Xét tam giác HKA có: N trung điểm AK (2) MN vng góc với HK AH vng góc với HK MN // AH (3) Từ (2) (3) ta suy M trung điểm HK MH = MK (4) Từ (1) (4) ta suy CH = DK Bài 22 trang 159 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O; R) điểm M nằm bên đường tròn a) Hãy nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm b) Tính độ dài AB câu a biết R = 5cm, OM = 1,4cm Lời giải: a) Cách dựng: - Dựng đoạn OM - Qua M dựng đường thẳng vng góc với OM cắt (O) A B - Nối A B ta dây cần dựng Chứng minh: Ta có: OM ⊥ AB M Mà OM phần đường kính AB dây cung khác đường kính Do đó, M trung điểm AB b) Xét tam giác OMB vng M Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: OB2 = OM + MB2 MB2 = OB2 − OM = 52 − (1,4 ) = 23,04 MB = 23,04 = 4,8 (cm) Mà M trung điểm AB nên MA = MB = AB AB = 2MB = 2.4,8 = 9,6 (cm) Bài 23 trang 159 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên đường trịn, điểm B nằm bên ngồi đường trịn cho trung điểm I AB nằm bên đường trịn Vẽ dây CD vng góc với OI I Hãy cho biết ACBD hình gì? Vì sao? Lời giải: Xét đường tròn (O) OI phần đường kính OI vng góc với dây cung CD I Do đó, I trung điểm CD CI = DI (1) Mà I trung điểm AB AI = BI (2) Mặt khác AB giao CD I (3) Từ (1), (2) (3) ta suy ACBD hình bình hành (do có hai đường chéo giao trung điểm đường) Bài tập bổ sung Bài 2.1 trang 159 SBT Toán lớp tập 1: Độ dài cạnh tam giác nội tiếp đường tròn (O;R) (A) R (B) R (C) R (D) Một đáp số khác Hãy chọn phương án Lời giải: Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi độ dài cạnh tam giác a Kẻ đường cao AH Do tam giác ABC nên tâm đường tròn ngoại tiếp O giao điểm đường trung trực vừa đường cao vừa đường trung tuyến tam giác ABC O AH;OA = R = AH 3 AH = R Mặt khác, ta có OH phần đường kính, OH vng góc với dây cung BC nên H trung điểm BC BH = CH = BC a = 2 Xét tam giác ABH vng H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: 3 a AB = AH + HB a = R + 2 2 2 2 a2 a = R + a = R a = 3R a = R 4 4 Vậy ta chọn đáp án (C) Bài 2.2 trang 160 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O; 2cm) Vẽ hai dây AB CD vng góc với Tính diện tích lớn tứ giác ABCD Lời giải: Ta có: AB, CD dây cung Bán kính đường trịn 2cm nên độ dài đường kính 4cm Do đó, ta có: AB 4cm ; CD 4cm Do AB vng góc với CD nên ta có: 1 SABCD = AB.CD 4.4 = 8(cm ) 2 Vậy giá trị lớn SABCD 8cm AB CD đường kính đường trịn (O; 2cm) Bài 2.3 trang 160 SBT Toán lớp tập 1: Cho đường trịn (O;R), dây AB khác đường kính Vẽ hai phía AB dây AC, AD Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B đến AC AD Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A, H, B, K thuộc đường tròn; b) HK < 2R Lời giải: a) Xét tam giác AHB vng H Có AHB = 90o Do đó, tam giác AHB nội tiếp đường trịn đường kính AB Hay A, H, B nằm đường trịn đường kính AB (1) Xét tam giác AKB vng K Có AKB = 90o Do đó, tam giác AKB nội tiếp đường trịn đường kính AB Hay A, K, B nằm đường trịn đường kính AB (2) Từ (1) (2) ta có bốn điểm A, H, K, B nằm đường trịn đường kính AB b) Xét đường trịn đường kính AB Gọi I trung điểm AB Ta có HK dây cung khơng qua I HK AB (1) Xét đường trịn (O; R) có: AB dây cung khơng qua tâm O AB 2R (2) Từ (1) (2) ta suy HK < 2R ... Py-ta-go ta có: OB2 = OM + MB2 MB2 = OB2 − OM = 52 − (1,4 ) = 23 ,04 MB = 23 ,04 = 4,8 (cm) Mà M trung điểm AB nên MA = MB = AB AB = 2MB = 2. 4,8 = 9, 6 (cm) Bài 23 trang 1 59 SBT Tốn lớp tập... a = 2 Xét tam giác ABH vuông H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: 3 a AB = AH + HB a = R + ? ?2 ? ?2? ?? 2 2 a2 a = R + a = R a = 3R a = R 4 4 Vậy ta chọn đáp án (C) Bài 2. 2 trang... BC H Do đó, H trung điểm BC HB = HC = BC 3 BC = 2HB = = 3 (cm) 2 Bài 19 trang 1 59 SBT Tốn lớp tập 1: Cho đường trịn (O), đường kính AD = 2R Vẽ cung tâm D bán kính R, cung cắt đường trịn (O)