Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 8 Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 51 trang 61 SBT Toán 9 Tập 2 Cho một số có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng bằng 10 Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn chữ số đã cho là 12 Tìm số đã cho[.]
Bài 8: Giải tốn cách lập phương trình Bài 51 trang 61 SBT Toán Tập 2: Cho số có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng 10 Tích hai chữ số nhỏ chữ số cho 12 Tìm số cho Lời giải: Gọi x chữ số hàng chục Điều kiện: x ∈ N*, x ≤ Ta có chữ số hàng đơn vị 10 – x Giá trị số cần tìm là: 10x + 10 – x = 9x + 10 Vì tích hai chữ số nhỏ chữ số cho 12 nên ta có phương trình: x(10 – x) = 9x + 10 – 12 ⇔ 10x – x2 = 9x – ⇔ x2 – x – = Phương trình x2 – x – = có hệ số a = 1, b = –1, c = –2 nên có dạng : a – b + c = suy ra: x1 = –1 (loại), x2 = c (thỏa mãn) a Vậy chữ số hàng chục 2, chữ số hàng đơn vị 10 – = Vậy số cần tìm 28 Bài 52 trang 61 SBT Toán Tập 2: Trong phịng họp có 360 ghế xếp thành dãy số ghế dãy Có lần phịng họp phải xếp thêm dãy ghế dãy tăng ghế (số ghế dãy nhau) để đủ chỗ cho 400 đại biểu Hỏi bình thường phịng có dãy ghế? Lời giải: Gọi x (dãy) số dãy ghế ban đầu phòng họp Điều kiện: x ∈ N* Khi số ghế ngồi dãy là: 360 (ghế) x Số dãy ghế sau tăng x + (dãy) Số ghế ngồi dãy sau tăng là: 400 (ghế) x 1 Theo đề bài, ta có phương trình: 400 360 1 x 1 x 360 x 1 x x 1 400x x x 1 x x 1 x x 1 400x 360 x 1 x x 1 ⇔ 400x – 360x – 360 = x2 + x ⇔ x2 – 39x + 360 = ∆ = (–39)2 – 4.1.360 = 1521 – 1440 = 81 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 39 81 48 24; 2.1 x2 39 81 30 15 2.1 Vậy bình thường phịng có 15 24 dãy ghế Bài 53 trang 61 SBT Tốn Tập 2: Một cơng ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 15 rau theo hợp đồng Nhưng vào việc, cơng ty khơng cịn xe lớn nên phải thay xe có trọng tải nhỏ nửa Để đảm bảo thời gian hợp đồng, công ty phải dùng số lượng xe nhiều dự định xe Hỏi trọng tải xe nhỏ tấn? Lời giải: Gọi x (tấn) trọng tải xe nhỏ Điều kiện: x > Khi trọng tải xe lớn x + 0,5 (tấn) Số lượng xe lớn dự định để chở Số lượng xe nhỏ cần dùng là: 15 (xe) x 0,5 15 (xe) x Vì số xe nhỏ nhiều số xe lớn xe nên ta có phương trình: 15 15 – = x x 0,5 15 x 0,5 x x 0,5 15x x x 0,5 x x 0,5 x x 0,5 15 x 0,5 15x x x 0,5 15x 7,5 15x x 0,5x x 0,5x 7,5 2x x 15 12 2.2. 15 120 121 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 121 2,5 (thỏa mãn) 2.2 x2 121 3 (loại) 2.2 Vật trọng tải xe nhỏ 2,5 Trọng tải xe lớn Bài 54 trang 61 SBT Toán Tập 2: Một tổ máy trộn bê tông phải sản xuất 450m3 bê tông cho đập thủy lợi thời gian quy định Nhờ tăng suất ngày 4,5m3 nên ngày trước thời gian quy định tổ sản xuất 96% công việc Hỏi thời gian quy định ngày? Lời giải: Gọi x (ngày) thời gian hoàn thành công việc theo quy định Điều kiện: x > Khi suất làm việc ngày theo quy định 450 (m ) x Số lượng bê tông tổ sản xuất đạt 96% công việc là: 450 96 432 m3 100 Năng suất thực tế ngày là: 432 m3 x4 Vì suất thực tế suất dự định 4,5 nên ta có phương trình 432 450 4,5 x4 x 450 x 4,5x x 432x x x 4 x x 4 x x 4 ⇔ 432x – 450(x – 4) = 4,5x(x – 4) ⇔ 432x – 450x + 1800 = 4,5x2 – 18x ⇔ 4,5x2 – 18x – 432x + 450x – 1800 = ⇔ 4,5x2 – 1800 = ⇔ 4,5x2 = 1800 ⇔ x2 = 400 x 20 x 20 Ta loại x = –20 x > Vậy thời gian quy định để hồn thành cơng việc 20 ngày Bài 55 trang 61 SBT Toán Tập 2: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tính khối lượng riêng chất lỏng Lời giải: Gọi x (g/cm3) khối lượng riêng chất lỏng thứ hai Điều kiện: x > Ta có khối lượng riêng chất lỏng thứ x + 0,2 (g/cm3) Thể tích chất lỏng thứ Thể tích chất lỏng thứ hai (cm3) x 0,2 (cm3) x Khối lượng hỗn hợp + = 14 (g) Thể tích hỗn hợp 14 = 20 (cm3) 0,7 Theo đề bài, ta có phương trình: + = 20 x 0,2 x x 0,2 20x x 0,2 8x x x 0,2 x x 0,2 x x 0,2 8x x 0,2 20x x 0,2 8x 6x 1,2 20x 4x 20x 4x 8x 6x 1,2 20x 10x 1,2 ' 5 20. 1,2 25 24 49 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 49 0,6 (thỏa mãn); 20 x2 49 0,1 (loại) 20 Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 g/cm3 Khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 g/cm3 Bài 56 trang 61 SBT Toán Tập 2: Quãng đường Thanh Hóa – Hà Nội dài 150 km Một tơ từ Hà Nội vào Thanh Hóa, nghỉ lại Thanh Hóa 15 phút, trở Hà Nội, hết tất 10 Tính vận tốc tơ lúc về, biết vận tốc lúc lớn vận tốc lúc 10km/h Lời giải: Gọi x (km/h) vận tốc lúc Điều kiện: x > Ta có vận tốc lúc x + 10 (km/h) Thời gian lúc 150 (giờ) x 10 Thời gian lúc 150 (giờ) x Thời gian nghỉ 15 phút = 13 (giờ) Vì tổng thời gian đi, thời gian về, thời gian nghỉ lại 10 nên ta có phương trình: 150 150 13 10 x 10 x 150 150 13 10 x 10 x 150 150 27 x 10 x 150.4 x 10 27x x 10 150.4x 4x x 10 4.x x 10 4x x 10 600x 600 x 10 27x x 10 600x 600x 6000 27x 270x 27x 930x 6000 9x 310x 2000 ' 155 9. 2000 24025 18000 42025 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 155 42025 40 (thỏa mãn); x2 155 42025 50 (loại) 9 Vậy vận tốc lúc ô tơ 40km/h Bài 57 trang 61 SBT Tốn Tập 2: Hai sân bay Hà Nội Đà Nẵng cách 600km Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng Hà Nội Sau 10 phút, máy bay phản lực từ Hà Nội bay Đà Nẵng với vận tốc lớn vận tốc máy bay cánh quạt 300km/h Nó đến Đà Nẵng trước máy bay đến Hà Nội 10 phút Tính vận tốc máy bay Lời giải: Gọi x (km/h) vận tốc máy bay cánh quạt Điều kiện: x > Ta có vận tốc máy bay phản lực x + 300 (km/h) Thời gian máy bay cánh quạt bay 600 (giờ) x Thời gian máy bay phản lực bay 600 (giờ) x 30 Máy bay phản lực bay sau 10 phút đến trước 10 phút nên thời gian máy bay phản lực bay máy bay cánh quạt là: 10 phút + 10 phút = 20 phút = (giờ) Theo đề bài, ta có phương trình: 600 600 x x 300 600.3 x 300 x x 300 600.3x 3.x x 300 3.x x 300 3.x x 300 3.600 x 300 3.600x x x 300 1800x 540000 1800x x 300x x 300x 540000 ' 1502 1. 540000 22500 540000 562500 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 150 562500 600 (thỏa mãn) x2 150 562500 900 (loại) Vậy vận tốc máy bay cánh quạt 600km/h Vận tốc máy bay phản lực 600 + 300 = 900 km/h Bài 58 trang 61 SBT Toán Tập 2: Hà Nội cách Nam Định 90km Hai ô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ Hà Nội, xe thứ hai từ Nam Định ngược chiều Sau giờ, chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới Hà Nội trước xe thứ tới Nam Định 27 phút Tính vận tốc xe Lời giải: Gọi x (km/h) vận tốc xe thứ Điều kiện: < x < 90 Vì sau hai xe gặp nên quãng đường hai xe 90km Suy tổng vận tốc hai xe 90km/h, vận tốc xe thứ hai 90 – x (km/h) Quãng đường xe thứ tiếp tục 90 – x(km) Thời gian xe thứ quãng đường lại 90 x (giờ) x Quãng đường xe thứ hai tiếp tục x (km) Thời gian xe thứ hai quãng đường lại x (giờ) 90 x Xe thứ hai tới Hà Nội trước xe thứ tới Nam Định 27 phút Theo đề bài, ta có phương trình: 90 x x x 90 x 20 20 90 x 20x 9x 90 x 20 8100 180x x 20x 810x 9x 162000 3600x 20x 20x 810x 9x 9x 4410x 162000 x 490x 18000 ' 245 1.18000 60025 18000 42025 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: (giờ) 20 x1 245 42025 450 (loại); x2 245 42025 40 (thỏa mãn) Vậy vận tốc xe thứ 40km/h vận tốc xe thứ hai 90 – 40 = 50 km/h Bài 59 trang 61 SBT Toán Tập 2: Một xuồng máy xi dịng sơng 30km ngược dòng 28km hết thời gian thời gian mà xuồng 59,5km mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xuồng hồ biết vận tốc nước chảy sông 3km/h Lời giải: Gọi x (km/h) vận tốc thuyền hồ Điều kiện: x > Khi vận tốc xi dịng sơng x + (km/h) Vận tốc ngược dịng sơng x – (km/h) Thời gian thuyền xi dịng 30 (giờ) x3 Thời gian thuyền ngược dòng 28 (giờ) x 3 Thời gian thuyền hồ yên lặng 59,5 (giờ) x Theo đề bài, ta có phương trình: 30 28 59,5 x 3 x 3 x 30 28 119 x x 2x 30x. x 3 28x. x 3 119 x 3 x 3 2x. x 3 x 3 2x. x 3 x 3 2x. x x 60x x 3 56x x 3 119 x 3 x 3 60x 180x 56x 168x 119x 1071 3x 12x 1071 x 4x 357 ' 22 1 357 357 362 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 2 361 17 (thỏa mãn) x2 2 361 21 (loại) Vậy vận tốc truyền mặt hồ yên lặng 17km/h Bài 60 trang 62 SBT Toán Tập 2: Một bè gỗ thả trôi sông từ đập Y–a–ly Sau thả bè gỗ 20 phút, xuồng máy xuất phát từ đập Y–a–ly đuổi theo 20km gặp bè Tính vận tốc bè biết xuồng máy chạy nhanh bè 12km/h Lời giải: Gọi x (km/h) vận tốc bè gỗ Điều kiện: x > Khi vận tốc xuồng máy x + 12 (km/h) Thời gian bè từ lúc trôi đến lúc gặp xuồng 20 (giờ) x Thời gian xuồng từ lúc đến lúc gặp bè 20 (giờ) x 12 Bè gỗ trôi trước xuồng máy 20 phút = 16 (giờ) Theo đề bài, ta có phương trình: 20 20 16 x x 12 20.3. x 12 16.x x 12 20.3x 3.x x 12 3.x x 12 3.x x 12 60 x 12 60x 16x x 12 60x 720 60x 16x 192x 16x 192x 720 x 12x 45 ' 62 1. 45 36 45 81 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 6 81 (thỏa mãn) x2 6 81 15 (loại) Vậy vận tốc bè gỗ trơi 3km/h Bài 61 trang 62 SBT Tốn Tập 2: Nếu mở hai vòi nước chảy vào bể cạn sau 55 phút bể đầy nước Nếu mở riêng vịi vịi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi mở riêng vịi vòi chảy đầy bể? Lời giải: Đổi 55 phút = 55 35 60 12 Gọi x (giờ) thời gian chảy riêng đầy bể vòi thứ Điều kiện: x > 35 12 Khi thời gian chảy riêng đầy bể vòi thứ hai x + (giờ) Trong giờ, vòi thứ chảy Trong giờ, vòi thứ hai chảy (bể) x2 Trong giờ, hai vòi chảy được: 1: Theo đề bài, ta có phương trình: (bể) x 35 12 (bể) 12 35 1 12 x x 35 35x x 12x x 35x x x 2 x x 35x x 35 x 35x 12x x 35x 70 35x 12x 24x 12x 46x 70 6x 23x 35 23 4.6. 35 529 840 1369 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 23 1369 (thỏa mãn) 2.6 x2 23 1369 7 (loại) 2.6 Vậy vòi thứ chảy riêng đầy bể Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể + = (giờ) Bài 62 trang 62 SBT Toán Tập 2: Hai đội cơng nhân làm qng đường 12 ngày xong việc Nếu đội thứ làm hết nửa công việc, đội thứ hai tiếp tục làm nốt phần việc cịn lại hết tất 25 ngày Hỏi đội làm xong công việc? Lời giải: Gọi x (ngày) thời gian đội thứ làm riêng xong nửa công việc 2x 12 x Điều kiện: x 25 x 25 x 25 Khi đó, thời gian làm riêng xong nửa công việc đội thứ hai là: 25 – x (ngày) Trong ngày, đội thứ làm Trong ngày, đội thứ hai làm (công việc) 2x (công việc) 25 x Theo đề bài, ta có phương trình: 1 + = 2x 25 x 12 25 x x 2x 25 x 2x 25 x 12 25 x x 2x 25 x 12 25 25 2x 25 x 12 x 25 x x 25 x 6.25 x 25x 150 x 25x 150 252 4.1.150 25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 25 25 15 (thỏa mãn); 2.1 x2 25 25 10 (thỏa mãn) 2.1 Vậy đội thứ làm riêng xong công việc 15.2 = 30 ngày Đội thứ hai làm riêng xong công việc 20 ngày Hoặc đội thứ làm riêng xong công việc 10.2 = 20 ngày Đội thứ hai làm riêng xong công việc 30 ngày Bài 63 trang 62 SBT Toán Tập 2: Cho tam giác ABC vng cân có AB = AC = 12cm Điểm M chạy AB Tứ giác MNCP hình bình hành có đỉnh N thuộc cạnh AC (hình bên) Hỏi M cách A diện tích hình bình hành 32cm2? Lời giải: Gọi x (cm) độ dài đoạn AM Điều kiện: < x < 12 Vì ΔABC vng cân A nên ΔBMP vuông cân M Suy MP = MB = AB – AM = 12 – x (cm) Diện tích hình bình hành MNCP MP.MA = (12 – x)x (cm2) Theo đề bài, ta có phương trình: (12 – x)x = 32 ⇔ x2 – 12x + 32 = Δ' = (–6)2 – 1.32 = 36 – 32 = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 6 (thỏa mãn) x2 6 (thỏa mãn) Vậy điểm M cách điểm A 8cm 4cm diện tích hình bình hành MNCP 32cm2 Bài 64 trang 62 SBT Toán Tập 2: Chu vi bánh sau máy cày lớn chu vi bánh trước 1,5m Khi đoạn đường dài 100m bánh trước quay nhiều bánh sau 15 vịng Tính chu vi bánh xe Lời giải: Gọi x (m) chu vi bánh trước Điều kiện: x > Khi chu vi bánh sau x + 1,5 (m) Số vòng quay bánh trước đoạn đường 100m Số vòng quay bánh sau đoạn đường 100m Theo đề bài, ta có phương trình: 100 (vịng) x 1,5 100 100 – = 15 x x 1,5 ⇔ 100(x + 1,5) – 100x = 15x(x + 1,5) ⇔ 100x + 150 – 100x = 15x2 + 22,5x ⇔ 15x2 + 22,5x – 150 = ⇔ 2x2 + 3x – 20 = ∆ = 32 – 4.2.(–20) = + 160 = 169 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 3 13 10 2,5 (thỏa mãn) 2.2 x2 3 13 16 4 (loại năm) 2.2 Giá trị x = –4 không thỏa mãn điều kiện toán Vậy chu vi bánh xe trước 2,5m Chu vi bánh xe sau 2,5 + 1,5 = 4m Bài 65 trang 62 SBT Toán Tập 2: Bài toán cổ Ấn Độ: Một đàn khỉ chia thành hai nhóm Nhóm chơi đùa vui vẻ ngồi trời Bằng bình phương phần tám đàn Mười hai nhảy nhót Khơng khí tươi vui sưởi ấm nơi Hỏi có tất khỉ? 100 (vòng) x Lời giải: Gọi x (con) số khỉ đàn Điều kiện: x ∈N*, x chia hết x Khi nhóm chơi đùa ngồi trời có (con) 8 Nhóm nhảy nhót có 12 (con) Theo ta có phương trình: x2 x = 12 + 64 x 64x 12 ∆' = (–32)2 – 1.768 = 1024 – 768 = 256 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 32 256 48 (thỏa mãn) x2 32 256 16 (thỏa mãn) Vậy đàn khỉ có 48 16 Bài 66 trang 62 SBT Toán Tập 2: Bài tốn Ơ–le: Hai nơng dân đem 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không trùng nhau, hai người bán số tiền Một người nói với người kia: “Nếu số trứng tơi số trứng anh tơi bán 15 đồng” Người nói: “Nếu số trứng tơi số trứng anh bán đồng thôi” Hỏi người có trứng? Lời giải: Gọi x (quả) số trứng người thứ Điều kiện: x ∈ N*, x < 100 Khi số trứng người thứ hai 100 – x (quả) Nếu số trứng người thứ số trứng người thứ hai người thứ bán 15 đồng nên giá tiền trứng người thứ 15 (đồng) 100 x Nếu số trứng người thứ hai số trứng người thứ nhât người thứ hai bán 20 20 = đồng nên giá tiền trứng người thứ hai (đồng) 3x 3 Số tiền người thứ bán là: 15 15x (đồng) x 100 x 100 x Số tiền người thứ hai bán là: 20 100 x 20 (đồng) 100 x 3x 3x Theo đề ta có phương trình: 20 100 x 15x 100 x 3x ⇔ 45x2 = 20(100 – x)2 ⇔ 45x2 = 20(10000 – 200x + x2) ⇔ 45x2 = 200000 – 4000x + 20x2 ⇔ 25x2 + 4000x – 200000 = ⇔ x2 + 160x – 8000 = ∆' = 802 – 1.(–8000) = 6400 + 8000 = 14400 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 80 14400 40 (thỏa mãn) x2 80 14400 200 (loại) Vậy số trứng người thứ 40 Số trứng người thứ hai 100 – 40 = 60 ... 20 ? ?81 00 180 x x 20x 81 0x 9x 162000 3600x 20x 20x 81 0x 9x 9x 4410x 162000 x 490 x 180 00 '' 245 1. 180 00 60025 180 00 42025 Phương trình có... lại x (giờ) 90 x Xe thứ hai tới Hà Nội trước xe thứ tới Nam Định 27 phút Theo đề bài, ta có phương trình: 90 x x x 90 x 20 20 90 x 20x 9x 90 x 20 ? ?81 00 180 x x ... 400x – 360x – 360 = x2 + x ⇔ x2 – 39x + 360 = ∆ = (– 39) 2 – 4.1.360 = 1521 – 1440 = 81 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 39 81 48 24; 2.1 x2 39 81 30 15 2.1 Vậy bình thường