Slide 1 Chương 2 Giải hệ phương trình tuyến tính

Slide 1 Chương 2 Giải hệ phương trình tuyến tính Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM Khoa Công Nghệ Cơ Khí IUH – 2022 ThS Hồ Thị Bạch Phương Véc tơ 2 1 2 3 1 0 0 0 1 0 e , e , e 0 0 1 0 0 0      .

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Công Nghệ Cơ Khí Chương 2: Giải hệ phương trình tuyến tính ThS Hồ Thị Bạch Phương IUH – 2022 Véc tơ : Véc tơ chuỗi số chiều 4 Véc tơ hàng [ 6], véc tơ cột:   7  1  0  0  0  1  0  Véc tơ đơn vị e1    , e    , e3    0  0  1        0     0  Ma trận : 1chuỗi số chiều Ma trận đường chéo Ma trận zero 0 0  0 0    1  Ma trận đơn vị   0  1 0  0  0 1 3 Ma trận tam giác  0 đường chéo  0 0 0 0  0 0  0 6 0 0  1  1 Ma trận 1  1    Ma trận tam 0 Ma trận đối xứng   giác 0  1   0 Định thức ma trận Dấu trừ 3 0  1  0 1 Xác định cho ma trận vuông  1 -1 -1   det  -1 -1   5  1   2(25)  1(12  5)  1(15  0)  82 Tìm ma trận nghịch đảo: 1 0 1  1  0 1 3 4  2 4      AA-1 = A-1A = I 1  1 0 1  3 4 0 1  2 4      Cộng nhân ma trận Cộng ma trận A B (chỉ tính ma trận có kích thước) * C  A  B  cij  a ij  bij i, j Nhân ma trận A (n x m) B (p x q) Khi tích C = AB xác định m = p m * C  A B  cij   a ik b kj i, j k 1 Hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình tuyến tính biễu diễn cách khác nhau: 2x1  4x  3x    2.5x1  x  3x   x1  6x   Hệ pt tuyến tính 3  x1      2.5 1   x        2    6   x  7  Dạng ma trận Giải hệ pt tuyến tính  Một hệ phương trình khơng phù hợp khơng tồn nghiệm cho hệ phương trình: 2x1  4x  x1  2x  2x1  4x  x2 Nghiệm hệ đồ thị x1  x2  Một số hệ thống phương trình có vơ số nghiệm x1  2x  Có vơ số nghiệm a  x1     x   0.5(3  a)    2  Nghiệm x1=1, x2=2 x1  x2  x1 Phép khử Gauss  Phương pháp bao gồm bước:  Quá trình thuận: hệ rút gọn tới ma trận tam giác (hay gọi dạng bậc thang)  Quá trình ngược: Giải hệ pt từ pt cuối (hàng cuối ma trận tam giác trên), giải cho xn ,xn-1,…x1  a11 a  21 a31 a12 a22 a32 a13  a23  a33   x1   b1   x   b    2  2  x3  b3  a11 0   a13  a22 ' a23 ' a33 ' a12 Biến đổi phần tử hàng Cộng hàng lại với nhau: Nhân hàng với số khác  x1   b1   x   b '  2    x3  b3 ' Ví dụ: Giải Q trình thuận  2 12 8   13   6 4  10     18  x1   16   x   26   2    x   19       x   34  Bước 1: Khử x1 từ hàng 2, 3, Bước 2: Khử x2 từ hàng 3, 6 2   x1   16  6 2   x1   16  0 4 2   x   6  0 4 2   x   6    2      2    0 12   x   27  0 5   x   9       0 13  x   21  4 0 14   x   18  6 2 Bước 3: Khử x1 từ hàng 0 4  0  0 4 2  5  3  x1  16   x   6   2    x   9       x   3 Quá trình ngược 3 x4   1, 3 Giải cho x4 sau giải cho x3, x2 x1 9  x3   2 6  2(2)  2(1) 16  2(1)  2(2)  4(1) x2   1, x1  3 4 Công thức tổng quát   a i1  trình thuận a ij  a ij    a1j (1  j  n)   a11   Khử x1 2  i  n  a i1  bi  bi    b1  a11  Khử x2      a i2  a ij  a ij    a j (2  j  n)   a 22   3  i  n  a i2   bi  bi   b   a  22     a ik  a ij  a ij    a kj (k  j  n)   a kk   k 1 i  n  a ik   bi  bi   b  k  a  kk   Khử xk Tiếp tục tới xn-1 khử Quá trình ngược bn xn  a n,n b n 1  a n 1,n x n x n 1  a n 1,n 1 n x n 2 b n 2  a n 2,n x n  a n 2,n 1x n 1  a n 2,n 2 xi  bi   a i, jx j ji 1 a i,i Ví dụ: Dùng phép khử Gauss để giải hệ Quá trình thuận x1  2x  3x  2x1  3x  2x  10 3x1  x  2x  Bước 1: Khử x1 từ phương trình Pt1 pivot 2 pt2  pt2    pt1 1 3 pt3  pt3    pt1 1 x1  2x  3x   x  4x  6  5x  7x   17 10 1 0.1667  0 0.8333   0   x1  1.1667   x   1.1667   2    x    Bước 3: Khử x3 từ pt   pt3  pt3 /   0   x1       0.1667    x    2 pt1  pt1   pt3    2         0   x  1     3     0.8333   pt2  pt2    pt3    27 PP Gauss-Jordan Hệ pt  2   x1     1  x   7     2    2   x     0   x1    0 0  x    2 Được chuyển đổi    2   0   x  1  Nghiệm 28  x1     x   2  2    x    Giá trị riêng – véc tơ riêng Véc tơ riêng ma trận véc tơ mà thỏa pt: Ax = λx hoặc, (A – λI)x = Khi λ giá trị riêng det(A – λI) = Ví dụ:  1   A  0 /  0  /    1   det(A   I)   3/ 4   0 /      (1   )(3 /   )(1 /   )   1,   / 4,   / Ma trận đối xứng - ma trận xác định dương: • Nếu ma trận A đối xứng AT = A giá trị riêng số thực • Nếu ma trận A đối xứng dương, giá trị riêng số dương Ma trận vng A (p × p), A dương nếu, cho tất x ∈ Rp , xTAx > 29 Phương pháp power (lũy thừa) Phương pháp lặp để tìm giá trị riêng lớn véc tơ riêng [[A]  [I]]]{x} = [A]{x} = {x} Giải thuật viết Matlab % Cho trước véc tơ cột y ngẫu nhiên khác không function [lambda,y]=powerMethod(A,y,n) % Đặt tên hàm for (i=1:n) y = A*y; [cj] = max(abs(y)); % Giá trị lớn véc tơ y lambda = y(j); % Giá trị riêng ước tính y = y/lambda; % Véc tơ riêng ước tính end 30 Ví dụ: PP Power véc tơ ban đầu ngẫu nhiên không zero Lần lặp 1: 40 20 20 40 20 20 40 Lần lặp 2: = 20 20 = 20 1 Ước tính giá trị riêng tạm Véc tơ riêng tạm thời thời 40 20 20 40 20 20 40 |a| = 31 1 1 40  20 40 = 40 40 40 = 40  100% = 50% 1 Lần lặp 3: 40 20 20 40 20 20 40 |a| = 1 = 80  40 80 60 80 60 = 80 0.75 0.75  100% = 150% Lần lặp 4: 40 20 20 40 20 20 40 32 |a| = 0.75 0.75 70  (80) 70 = 50 70 50 = 70  100% = 214% 0.71429 0.71429 Lần lặp 5: 40 20 20 40 20 20 40 48.51714 0.71429 0.71429 = 68.51714 = 68.51714 1 48.51714 0.71429 0.71429 |a | = 68.51714  70 70  100% = 2.08% Q trình tiếp tục để tìm giá trị riêng = 68.284 véc tơ riêng [-0.7071 -0.7071] Chú ý giá trị riêng nhỏ véc tơ riêng xác định cách áp dụng pp power tới nghịch đảo ma trận A 33 Ví dụ: Xem xét ma trận sau tìm giá trị riêng véc tơ riêng 4    A  0  0  1 Véc tơ giả định ban đầu khác không { 1 1}T Giải: Nhân ma trận [A] với {x} Lần lặp 1: 4  1   0  1   3      0  1 1   1 34 5         3   0.6   1        Ước tính giá trị riêng véc tơ riêng tạm thời Lần lặp                    0  1  0.2 0.2         0.2        0.217  0.0435   Lần lặp 4     4.2174   4.2174  0   0.217    0.4783     4783        4.2174    0.0435 0  1 0.0435  0.0435   Lần lặp 4    4.1134 0   0.1134   0.2165      0  1  0.0183 0.0103 4.1134        0.2165  4.11340.0526 0.0103 0.0025     Tiếp tục đạt kết cuối λ = uk={1 0}T 35     1134    0.0183   Phương pháp Inverse Power  PP Inverse Power tìm giá trị riêng nhỏ  Các giá trị riêng B = A-1 nghịch đảo giá trị riêng A (i.e.,  = 1/)  Chúng ta dùng pp power method cho w = Bx để tìm giá trị riêng lớn B – nhỏ A  Tính cho B lãng phí – thay vao dùng 1 w  Bx  A x  x  Aw Ax  x ; B  A 1 x  A  Ax  A  x  A  x  Bx  1 Bx  A  x    x ;  36  1/  Giá trị riêng dùng để giải pháp toán kỹ thuật liên quan đến dao động, độ đàn hồi, hệ thống dao động, v.v… Giá trị riêng quan trọng cho phân tích xác suất thống kê Hệ Mass-Spring (Khối lượng – lị xo) Vị trí cân Một hệ khối lượng lò xo sau: (bỏ qua ma sát) Phương trình dao động hệ 37 m: khối lượng vật 1,2 k: độ cứng lò xo x1, x2, x3 : độ giãn nén lò xo Từ lý thuyết dao động, pt biễu diễn theo: xi = cos(ωt) xi”= - ω2aicos(ωt), với ω: tần số ai: biên độ Đặt λ = mω2/k phương trình dao động biến đổi sau: 38 Sắp xếp lại Hoặc Giải: giá trị λ 39 Bài tập Dùng pp Gauss-Jordan để giải hệ 2x1 + x2 - x3 = 5x1 + 2x2 + 2x3 = -4 3x1 + x2 + x3 = 5 Dùng pp Gauss-Jordan để giải hệ x1 + x2 - x3 = -2 2x1 -x2 + x3 = Đáp án -1x1 + 2x2 + 2x3 = Giải hệ pt: x1 + x2 - x3 = -3 6x1 + 2x2 + 2x3 = -3x1 + 4x2 + x3 = (a)PP khử Gauss, (b)PP khử Gauss với spp, (c) PP Gauss-Jordan 40 1 0  0 0  1   1  Dùng pp power để xác định giá trị riêng lớn véc tơ riêng tương ứng 2      10 4 10       Dùng pp power để xác định giá trị riêng lớn véc tơ riêng tương ứng Véc tơ ban đầu khác không λ0 Tính lần lặp  10  A   4   10  41 1  0  1 1  ... 21 4 % 0. 714 29 0. 714 29 Lần lặp 5: 40 ? ?20 ? ?20 40 ? ?20 ? ?20 40 48. 517 14 0. 714 29 0. 714 29 = 68. 517 14 = 68. 517 14 1 48. 517 14 0. 714 29 0. 714 29 |a | = 68. 517 14  70 70  10 0% = 2. 08% Q trình tiếp... 5x1 + 2x2 + 2x3 = -4 3x1 + x2 + x3 = 5 Dùng pp Gauss-Jordan để giải hệ x1 + x2 - x3 = -2 2x1 -x2 + x3 = Đáp án -1x1 + 2x2 + 2x3 = Giải hệ pt: x1 + x2 - x3 = -3 6x1 + 2x2 + 2x3 = -3x1 + 4x2 + x3... 0.0 02   R   0.003   0.0 01   Bài tập Cho hệ pt 2x2 + 5x3 = 2x1 + x2 + x3 = 3x1 + x2 = 10 Tính định thức Cho hệ pt 10 x1 + 2x2 - x3 = 27 -3x1 - 6x2 + 2x3 = - 61. 5 x1 + x2 + 5x3 = - 21 . 5