Lập giải hệ phương trình tuyến tính bằng hai cách

Đại số tuyến tính là môn học được ứng dụng rất rộng rãi vào các ngành nghề và lĩnh vực khác nhau trong đời sống. Đặc biệt hơn hết là trong các mô hình ứng dụng thực tiễn vào kinh tế, y học, sinh học và khoa học kĩ thuật đều dùng đến bài toán giải hệ phương trình tuyến tính. Có rất nhiều phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính chẳng hạn như sử dụng phương pháp Gauss, quy tắc Cramer, phân tích ma trận Cholesky,...Tuy nhiên trong trường hợp số ẩn quá lớn thì việc tính toán giải hệ phương trình lại trở nên phức tạp. Khi đó việc giải hệ phương trình sẽ gặp khó khăn và xác suất cho việc giải đúng một hệ phương trình trong trường hợp này không những khó thực hiện mà còn không có ý nghĩa thực tế... Vì lẽ đó cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, chúng ta dễ dàng giải quyết được các bài toán giải hệ phương trình với số ẩn quá lớn bằng nhiều ngôn ngữ lập trình khác nhau như pascal, lập trình CC++, phần mềm visual studio,..

Lập giải hệ phương trình tuyến tính hai cách Mục lục Lời nói đầu Xây dựng mơhình tổng qt 1.1 Giới thiệu mơhình tổng 1.2 Xây dựng mơhình tổng qt Ý nghĩa mơhình 2.1 Ý nghĩa mơhì nh tổng qt Giải vấn đề phương pháp đại số tuyến tính 3.1 Phương pháp Gauss 3.2 Phương pháp Cramer Áp dụng đại số tuyến tí nh vào thực tiễn để giải vấn đề 4.1 Kinh tế 4.2 Lý- Hóa – Sinh Lời nói đầu Đại số tuyến tính làmơn học ứng dụng rộng rãi vào ngành nghề lĩnh vực khác đời sống Đặc biệt hết làtrong mơhình ứng dụng thực tiễn vào kinh tế, y học, sinh học vàkhoa học kĩ thuật dùng đến tốn giải hệ phương trình tuyến tí nh Córất nhiều phương pháp giải hệ phương trì nh tuyến tính chẳng hạn sử dụng phương pháp Gauss, quy tắc Cramer, phân tích ma trận Cholesky, Tuy nhiên trường hợp số ẩn qlớn thìviệc tí nh tốn giải hệ phương trình lại trở nên phức tạp Khi việc giải hệ phương trình gặp khó khăn xác suất cho việc giải hệ phương trình trường hợp khơng khóthực mà cịn khơng có ý nghĩa thực tế Vìlẽ với phát triển công nghệ thông tin, dễ dàng giải toán giải hệ phương trình với số ẩn quálớn nhiều ngơn ngữ lập trình khác pascal, lập trì nh C/C++, phần mềm visual studio, Xây dựng mơhì nh tổng qt 1.1 Giới thiệu mơhì nh tổng qt: Hiện nay, dần quen thuộc với loại mơhình kinh tế, hay mơhình thị trường chứng khốn, sử dụng rộng rãi hầu hết sống Bên cạnh với phát triển thiết bị cơng nghệ thời đại 4.0 thìviệc mãhóa tốn thực tế thành mơhì nh tổng quát làviệc dễ dàng Nói cách khác loại mơ hì nh lập trình (Programming Paradigm) phân loại ngơn ngữ lập trì nh dựa đặc điểm chúng Các ngơn ngữ lập trình cóthể phân loại vào nhiều mơhì nh lập trì nh Một số mơ hình lập trình biết đến như: lập trì nh mệnh lệnh, lập trì nh khai báo, Vídụ: *Lập trì nh mệnh lệnh: List collection = new List { 1, 2, 3, 4, }; List results = new List(); foreach(var num in collection) { if (num % != 0) results.Add(num); } *Lập trì nh khai báo: List collection = new List { 1, 2, 3, 4, }; var results = collection.Where( num => num % != 0); Ở đây, sử dụng hai lập trì nh mệnh lệnh khai báo để xây dựng thành mơhình tổng qt 1.2 Xây dựng mơhì nh tổng qt: *Mơhình lập trì nh quy tắc Cramer : Bắt đầu a,b a=0 b=0 x = -b / a Vơsố nghiệm x Kết thúc *Mơhình lập trì nh phương pháp Gauss : Vơ nghiệm Gauss Input n, ( an ) IER = k = 1,2, n i = k+1, ,n akk  pi  aik / akk j = k+1, ,n aij  aij  pi akj ,n1  ,n1  pi ak ,n 1 Call svtru Print ( xi ) End IER = Ý nghĩa mơhì nh: 2.1 Ý Nghĩa Mơ Hình Tổng Qt Trong hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản làhệ phương trình tuyến tí nh làmột tập hợp phương trình tuyến tí nh gồm biến số, hệ phương trình cho ta nghiệm hay hệ nghiệm hệ phương trình cho Cũng làmột hệ thống tuyến tí nh thỏa mãn phương trình cho Vì nhàtốn học nghiên cứu nhiều phương pháp giúp ta xử lýnhanh hệ phương trình tuyến tí nh cụ thể phương pháp Gauss, quy tắc Cramer phương pháp giúp ta kiểm tra hệ phương trình có nghiệm, vôsố nghiệm, nghiệm vànghiệm cụ thể hệ Mơhì nh lập trì nh giúp ta cóthể giải hệ phương trình hai cách, vàgiúp cho giải vàkiểm tra hệ cách chặt chẽ, thuyết phục vàchắc chắn với ẩn số lớn Giải vấn đề phương pháp đại số tuyến tính Dạng tổng quát hệ phương trì nh tuyến tính sau n ẩn số: a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 a x  a x   a x  b  21 22 2n n   am1 x1  am x2   amn xn  bm Trong đó: x1 , x2 , , xn làcác ẩn số aij làhệ số phương trình thứ i ẩn xj bi làvế phải phương trình thứ i Để lập giải hệ phương trình tuyến tính ta có2 cách sau: ⁕ Phương pháp Gauss ⁕ Quy tắc Cramer Đó làmột thuật tốn sử dụng để tìm nghiệm hệ phương trì nh tuyến tính, tìm hạng (hay rank) ma trận, hay tính ma trận nghịch đảo ma trận vng khả nghịch Vídụ: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài lên 2m, chiều rộng thêm 3m thìdiện tích tăng thêm 100 ( m ) Nếu giảm chiều dài vàchiều rộng 2m thìdiện tích giảm 68 ( m ) tí nh diện tích ruộng Để giải toán cần áp dụng phương pháp Gauss vàquy tắc Cramer 3.1 Phương pháp Gauss: Để giải hệ phương trình tuyến tí nh tổng quát tổng quát, ta cần thực bước sau đây: ͼ Viết ma trận đầy đủ từ hệ phương trình ͼ Lập trình khai báo vàlập trì nh mệnh lệnh cho chương trình C++ ͼ Viết nghiệm hệ phương trình sau cho chạy chương trình Giải: Gọi chiều dài ruộng làx (m, x > 0) vàchiều rộng lày (m, y > 0) Ta cóhệ phương trình sau: ( x  2)( y  3)  xy  100 3x  y  94   ( x  2)( y  2)  xy  68 2 x  y  72  94  Suy ma trận:    2 2 72  Lập trình khai báo vàmệnh lệnh chương trình C++: Và kết sau chạy chương trình: 3.2 Quy tắc Cramer: Để giải hệ phương trình tuyến tí nh tổng quát tổng quát, ta cần thực bước sau đây: ͼ Viết ma trận đầy đủ từ hệ phương trình ͼ Lập trình khai báo cho chương trình C++ ͼ Viết nghiệm hệ phương trình sau cho chạy chương trình Từ vídụ ta cóhệ phuong trì nh sau: ( x  2)( y  3)  xy  100 3x  y  94   ( x  2)( y  2)  xy  68 2 x  y  72  94  Suy ma trận:    2 2 72  Lập trình khai báo cho chương trình C++: Và kết sau cho chạy chương trình: Áp dụng đại số tuyến tính vào thực tiễn để giải vấn đề 4.1 Kinh tế: Một nhàmáy sản xuất loại sản phẩm A, B, C Mỗi sản phẩm phải qua cơng đoạn cắt, lắp ráp đóng gói với thời gian yêu cầu cho công đoạn liệt kêở bảng sau: Sản phẩm B cắt (1 giời), lắp ráp (0,9 giờ), đóng gói (0,3 giờ) Sản phẩm C: cắt (1,5 giời), lắp ráp (1,2 giờ), đóng gói (0,5 giờ) Các phận cắt, lắp ráp đóng gói có số cơng nhiều tuần là380, 330 và120 công Hỏi nhàmáy phải sản xuất số lượng loại sản phẩm làbao nhiêu theo tuần để nhàmáy hoạt động hết công suất? Giải Gọi x1 làsố lượng sản phẩm sản phẩm A Gọi x2 làsố lượng sản phẩm sản phẩm B Gọi x3 làsố lượng sản phẩm sản phẩm C 0, x1  x2  1,5 x3  380 Ta cóhệ phương trình: 0, x1  0,9 x2  1, x3  330 0, x  0,3 x  0,5 x  120   0, 1,5  Suy ma trận:  0, 0,9 1,   0, 0,3 0,5     x1  50 Kết sau cho chạy chương trình:  x2  200  x  100  4.2 Lí– Hóa – Sinh: Hịa tan 85g hỗn hợp kim loại Na, K vào H 2O thu 33,6 lí t khí.Tìm số mol kim loại hỗn hợp Giải Ta có: nH  33,  1,5 (mol) 22,  nX  1,5   (mol) Gọi mol x làNa, mol y làK x  y  23x  39 y  85 Ta cóhệ phương trình:  x  y 1 Kết sau cho chạy chương trình:  ... Trong hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản l? ?hệ phương trình tuyến tí nh làmột tập hợp phương trình tuyến tí nh gồm biến số, hệ phương trình cho ta nghiệm hay hệ nghiệm hệ phương trình. .. giúp ta kiểm tra hệ phương trình có nghiệm, vơsố nghiệm, nghiệm vànghiệm cụ thể hệ Mơhì nh lập trì nh giúp ta cóthể giải hệ phương trình hai cách, vàgiúp cho giải vàkiểm tra hệ cách chặt chẽ, thuyết... đó: x1 , x2 , , xn làcác ẩn số aij l? ?hệ số phương trình thứ i ẩn xj bi làvế phải phương trình thứ i Để lập giải hệ phương trình tuyến tính ta có2 cách sau: ⁕ Phương pháp Gauss ⁕ Quy tắc Cramer