Mutistep method ( Một số phương pháp để giải phương trình vi phân thông thường )

Giải tích số là một bộ môn toán học chuyên nghiên cứu các phép giải gần đúng bằng số của các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm. Việc tìm nghiệm đúng hay nghiệm giải tích của một số phương trình vi phân là rất khó khăn và lớp các phương trình vi phân tìm được nghiệm giải tích là rất hẹp. Giải tích số có thể cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán mà không có lời giải giải tích. Phương pháp đa bước là tên gọi chung của hai phương pháp : Adams – Bashfort(AB) và Adams _ Moulton (AM) là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật.Nội dung của nó dùng để giải gần đúng các bài toán mà các phương pháp thông thường không thể giải được. Do nhu cầu thực tiễn và sự phát triển lý thuyết toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân thường như : phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp RungheKutta, phương pháp sai phân,.. Trong bài tiểu luận này , nhóm chúng tôi sẽ trình bày về đè tài “Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường ”

ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƠNG THƯỜNG (MULTISTEP METHODS) Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng 12 năm 2021 Mục Lục Lời nói đầu Chương 1: Phương pháp tuyến tính đa bước 1.1 Cấp chí nh xác phương pháp tuyến tính đa bước 1.2 Tí nh phùhợp 1.3 Tí nh zero - ổn định 1.4 Sự hội tụ phương pháp tuyến tính k bước Chương 2: Phương pháp dự báo - hiệu chỉnh 2.1 Tí nh ổn định tuyệt đối phương pháp dự báo - hiệu chỉnh 10 2.2 Sự chí nh xác phương pháp dự báo - hiệu chỉnh 13 2.3 Giải toán phưong pháp dự báo - hiệu chỉnh 14 Chương 3: Phương pháp Adams 17 3.1 Phương pháp Adams - Bashforth 17 3.2 Phương pháp Adams - Moulton 21 3.3 Một số tập áp dụng phương pháp Adams 23 3.4 Nhận xét so sánh phương pháp 25 Chương 4: Phương pháp Milne 25 Lời nói đầu Giải tích số làmột mơn tốn học chun nghiên cứu phép giải gần số phương trình, tốn xấp xỉ hàm Việc tìm nghiệm hay nghiệm giải tí ch số phương trình vi phân làrất khó khăn lớp phương trình vi phân tìm nghiệm giải tích làrất hẹp Giải tích số cóthể cung cấp phương pháp giải cho tốn màkhơng cólời giải giải tí ch Phương pháp đa bước tên gọi chung hai phương pháp : Adams – Bashfort(AB) Adams _ Moulton (AM) phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật.Nội dung dùng để giải gần toán mà phương pháp thông thường giải Do nhu cầu thực tiễn vàsự phát triển lý thuyết toán học, nhà tốn học tìm nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân thường : phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp Runghe-Kutta, phương pháp sai phân, Trong tiểu luận , nhóm chúng tơi trình bày đè tài “Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường ” Do kinh nghiệm cịn hạn chế nên tiểu luận khơng tránh khỏi sai sót kính mong góp ýchân thành quýThầy Cô Chương Phương pháp tuyến tính đa bước Định nghĩa 1.1 Một phương pháp số gọi phương pháp tuyến tính k bước phương pháp số cho 𝑘 yn+1 = ∑ 𝑗=1 𝛼𝑗 𝑦𝑛+1−𝑗 + ℎ = ∑𝑘𝑗=1 𝛽𝑗𝑓(𝑥𝑛+1−𝑗 , 𝑦𝑛+1−𝑗 ) (1.1) Vídụ 1.1 Phương pháp BDF bước yn+1 = yn − yn−1 + ℎ [ 𝑓(𝑥𝑛+1 , 𝑦𝑛+1 )] 3 Vídụ 1.2 Phương pháp Adams - Bashforth bước 55 59 24 24 yn+1 = yn + ℎ [ 𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) − 𝑓(𝑥𝑛+1 , 𝑦𝑛−1 ) + 37 24 𝑓(𝑥𝑛+2 , 𝑦𝑛−2 ) − 𝑓(𝑥𝑛+3 , 𝑦𝑛−3 ) ] Vídụ 1.3 Phương pháp hình thang 1 2 yn+1=yn + ℎ [ 𝑓(𝑥𝑛+1 , 𝑦𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) ] 1.1 Cấp chí nh xác phương pháp tuyến tính đa bước Định lý1.1 Phương pháp số (2.1) cócấp xác p ≥ vàchỉ tồn c ≠ cho 𝑝(𝜉 + 1) − 𝜎(𝜉 + 1)𝑙𝑛(𝜉 + 1) = 𝑐 𝜉 𝑝+1 + 0(𝜉 𝑝+2 ) (Trong 0(𝜉 𝑝+2 ) làvơcùng bécùng cấp với (𝜉 𝑝+2 ) £→0; 𝑘 𝑝(𝜉) = 𝜉 𝑘 − ∑ 𝑗=1 𝛼𝑗 𝜉𝑘−𝑗 đa thức đặc trưng phương pháp số (2.1); 𝑘 𝜎(𝜉) = ∑ 𝑗=1 𝛽𝑗 𝜉𝑘−𝑗 đa thức đặc trưng thứ hai phương pháp số (2.1) Vídụ 1.4 Tính cấp chí nh xác phương pháp BDF bước yn+1 = yn − yn−1 + ℎ [ 𝑓(𝑥𝑛+1 , 𝑦𝑛+1 )] 3 Đa thức đặc trưng thứ 𝑝(𝜉) = 𝜉 − 𝜉 + 3 Đa thức đặc trưng thứ hai 𝜎(𝜉) = 𝜉 Khi 𝑝(𝜉 + 1) − 𝜎(𝜉 + 1)𝑙𝑛(𝜉 + 1) = [(𝜉 + 1)2 − (𝜉 + 1) + ] 3 𝜉2 𝜉3 − [ (𝜉 + 1) (𝜉 − + − )] 3 = − 𝜉 + 0(𝜉 ) Vậy phương pháp BDF bước cócấp chí nh xác làp 1.2 Tí nh phù hợp Định lý1.2 Phương pháp số (1.1) phùhợp vàchỉ 𝑝(1) = 𝑘 {∑𝑗=0 𝛽𝑗𝑓(𝑥𝑛+1−𝑗 , 𝑦𝑛+1−𝑗 ) = 𝑓(𝑥𝑛+1−𝑘 , 𝑦𝑛+1−𝑘 ) 𝑘 − ∑𝑘𝑗=1 𝛼𝑗(𝑘 − 𝑗) 𝑘 − ∑ 𝛼𝑗 = [𝑓(𝑥𝑛+1−𝑘 , 𝑦𝑛+1−𝑘 )] [ 𝑘− { 𝑗=1 ∑𝑘𝑗=0 𝛽𝑗 ∑𝑘𝑗=1 𝛼𝑗(𝑘 − 𝑗) ] = 𝑓(𝑥𝑛+1−𝑘 , 𝑦𝑛+1−𝑘 ) 𝑘 ∑ 𝛼𝑗 = 𝑗=1 𝑘 𝑘 ∑ 𝛽𝑗 = 𝑘 − ∑ 𝛼𝑗(𝑘 − 𝑗) {𝑗=0 𝑗=1 1.3 Tí nh zero - ổn định Định nghĩa 1.2 Đa thức đặc trưng thứ phương pháp số (1.1) gọi thỏa mãn điều kiện nghiệm nghiệm có modul nhỏ 1, nghiệm có modul phải nghiệm đơn Định nghĩa 1.3 Phương pháp số (1.1) gọi zero - ổn định đa thức đặc trưng thứ thỏa mãn điều kiện nghiệm 1.4 Sự hội tụ phương pháp tuyến tính k bước Định lý2.3 Phương pháp số (2.1) hội tụ vàchỉ nóphùhợp zero - ổn định Vídụ 1.5 Xét hội tụ phương pháp BDF bước yn+1 = yn − yn−1 + ℎ [ 𝑓(𝑥𝑛+1 , 𝑦𝑛+1 )] 3 Ta có 1 𝑝(𝜉) = ⟹ 𝜉 − 𝜉 + = ⟹ 𝜉1 = 1, 𝜉2 = 3 𝑝(𝜉) thỏa mãn điều kiện nghiệm phương pháp zero - ổn định Xét ∑ 𝛼𝑗 = 𝛼1 + 𝛼2 = 𝑗=1 − =1 3 ∑ 𝛽𝑗 = 𝛽0 = 𝑗=0 2 − ∑ 𝛼𝑗(2 − 𝑗) = − [ (2 − 1) − (2 − 2)] = 3 { 𝑗=0 Suy phương pháp phù hợp Vậy phương pháp BDF bước hội tụ Chương Phương pháp dự báo - hiệu chỉnh Giả sử ta muốn sử dụng phương pháp k bước tuyến tí nh ẩn ∑𝑘𝑗=0 𝛼𝑗 𝑦𝑛+𝑗 = ℎ ∑𝑘𝑗=0 𝛽𝑗 𝑓𝑛+𝑗 , 𝛼𝑘 , 𝛽𝑘 ≠ Khi đó, mồi bước ta phải giải với 𝑦𝑛+𝑗 phương trình 𝑘 𝛼𝑘 𝑦𝑛+𝑘 − ℎ𝛽𝑘 𝑓(𝑥𝑛+𝑘 , 𝑦𝑛+𝑘 ) = ∑(ℎ𝛽𝑗 𝑓𝑛+𝑗 − 𝛼𝑗 𝑦𝑛+𝑗 ) 𝑗=0 Nếu h