Phương pháp Milne
Đây cũng là một phương pháp nhiều bước trong đó giả định rằng giải pháp cho vấn đề giá trị ban đầu đã cho được biết đến ở bốn điểm cách đều nhau 𝑡0, 𝑡1, 𝑡2, và 𝑡3
Để tính được cặp cơng cụ dự đốn - hiệu chỉnh của Milne, chúng ta hãy xem xét một vấn đề giá trị ban đầu điển hình
𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑦(𝑡0) = 𝑦0
Khi tích hợp giữa các giới hạn 𝑡0 và 𝑡4, chúng ta nhận được
∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑑𝑡 𝑡4 𝑡0 𝑡4 𝑡0
𝑦4− 𝑦0 = ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑑𝑡
𝑡4 𝑡0
Nhưng chúng ta biết từ công thức chênh lệch thuận của Newton
𝑓(𝑡, 𝑦) = 𝑓0+ 𝑠∆ 𝑓0+𝑠(𝑠 − 1)
2 ∆
2𝑓0+𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
6 ∆
3𝑓0+. ..
Bây giờ, bằng cách thay đổi biến tích hợp (từ t sang s), các giới hạn của tích hợp cũng thay đổi (từ 0 thành 4), và do đó biểu thức trên trở thành
𝑦4 = 𝑦0 + ℎ ∫ [4𝑓0+ 𝑠∆ 𝑓0+𝑠(𝑠−1)
2 ∆2𝑓0+𝑠(𝑠−1)(𝑠−2)
6 ∆3𝑓0+. . . ]
4
0 ds
Đơn giản hóa
𝑦4 = 𝑦0+4ℎ
3 (2𝑓1− 𝑓2+ 2𝑓3) + 28 90ℎ∆
4𝑓0
Ngồi ra, nó cũng có thể được viết là Đây được gọi là cơng thức dự đốn của Milne. 𝑦4 = 𝑦0+4ℎ 3 (2𝑦′1− 𝑦′2 + 2𝑦′3) + 28 90ℎ∆ 4𝑓0
Tương tự, tích phân ban đầu trong khoảng thời gian 𝑡0 đến 𝑡2, hoặc s = 0 đến 2 và lặp lại các bước trên, chúng ta nhận được
𝑦2 = 𝑦0 +ℎ
3(𝑦′0 + 4𝑦′1+ 𝑦′2) − 1 90ℎ∆
4𝑦′0
được gọi là công thức hiệu chỉnh của Milne.
Từ các phương trình này, quan sát thấy rằng độ lớn của lỗi cắt ngắn trong cơng thức trình sửa là (1/90) h∆4𝑦′0, trong khi lỗi cắt ngắn trong cơng thức dự đốn là (28/90) h ∆4𝑦′0 .
Như vậy: True error trong, công thức C nhỏ hơn True error trong công thức P.
Để áp dụng phương pháp P - C này để giải bài toán số bất kỳ giá trị ban đầu nào, trước tiên chúng ta dự đốn giá trị của 𝑦𝑛+1 bằng cơng thức dự đốn, trong đó các đạo hàm được tính bằng chính phương trình vi phân đã cho.
Sử dụng giá trị dự đoán 𝑦𝑛+1 , tính đạo hàm 𝑦′𝑛+1 từ phương trình vi phân đã cho và sau đó sử dụng cơng thức đúng của cặp để có giá trị hiệu chỉnh là 𝑦𝑛+1
Điều này có thể được sử dụng để có được giá trị được cải thiện của 𝑦𝑛+1 bằng cách sử dụng lại trình sửa lỗi. Chu kỳ này được lặp lại cho đến khi chúng ta đạt được độ chính xác cần thiết.
Ví dụ
Cho y(0) = 2 ; y(0,5) = 2,636 ; y(1) = 3.595 và y(1,5) = 4,968 .Tìm
y(2,0) nếu y(t) là nghiệm của 𝑑𝑦
𝑑𝑡 =1 2(𝑡 + 𝑦) bằng phương pháp Milne. Lời giải 𝑃 ∶ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛−3 +4ℎ 3 (2𝑦′𝑛−2− 𝑦′𝑛−1 + 2𝑦′𝑛) 𝐶 ∶ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛−1+ℎ 3(𝑦′𝑛−1+ 4𝑦′𝑛 + 𝑦′𝑛+1)
Lấy 𝑡0 = 0 ; 𝑡1 = 0,5 ; 𝑡2 = 1 ; 𝑡3 = 1,5 ta phải tính 𝑦4 , nghiệm của phương trình vi phân đã cho tương ứng với t = 2
Từ phương trình vi phân đã cho y′ = (t + y)/2 Ta có 𝑦′1 = 𝑡1+𝑦1 2 = 0,5+2,636 2 = 1,5680 𝑦′2 =𝑡2+𝑦2 2 =1+3,595 2 = 2,2975 𝑦′3 =𝑡3+𝑦3 2 =1,5+4,968 2 = 3,2340 Áp dụng cơng thức dự đốn 𝑦4 = 𝑦0 +4ℎ 3 (2𝑦′1− 𝑦′2 + 2𝑦′3) = 2 +4(0,5) 3 [2(1,5680) − 2,2975 + 2(3,2340)] = 6,8710
Sử dụng giá trị dự đốn này, ta sẽ tính tốn giá trị được cải thiện của y, từ công thức đúng
𝑦4 = 𝑦2+ℎ
3(𝑦′2+ 4𝑦′3 + 𝑦′4)
Sử dụng giá trị dự đốn có sẵn 𝑦4 và các giá trị ban đầu, ta tính tốn
𝑦′4 =𝑡4 + 𝑦4 2 = 2 + 6,68710 2 = 4,4355 𝑦′3 = 𝑡3+ 𝑦3 2 = 1,5 + 4,968 2 = 3,2340 𝑦′2 = 𝑡2 + 𝑦2 2 = 1 + 3,595 2 = 2,2975
𝑦4(1) = 3,595 +0,5
3 [2,2975 + 4(3,234) + 4,4355] = 6,8731667
Giả sử, ta áp dụng lại cơng thức đúng, thì ta có:
𝑦4(2) = [𝑦2+ℎ 3(𝑦′2+ 4𝑦′3+ (𝑦4(1)),] = 3,595 +0,5 3 [2,2975 + 4(3,234) +2+6,8731667 2 ] = 6,8733467 Kết quả 𝑦(2,0) = 𝑦4 = 6,8734 Nhận xét về phương pháp Milne
Phương pháp dự đốn sửa đổi của Milne là ít khó khăn hơn phương pháp Runge-Kutta và so sánh được độ chính xác của bậc h5. Vì vậy, phương pháp của Milne địi hỏi có bốn giá trị ban đầu cho biến phụ thuộc phải thu được bằng một số phương pháp khác, hầu như phương pháp biến đổi Euler hay phương pháp Runge-Kutta, là như nhau. Trong sự ứng dụng máy tính cho phương pháp số. Chương trình địi hỏi bắt đầu lời giải như phương pháp của Milne. Lời giải tiếp tục dùng công thức khác cho dự đoán và sau đó sửa chữa giá trị của y cung cấp quátrình hệ thống cho kiểm tra tốt bằng sửa chữa ước lượng ban đầu. Nếu sự khác nhau giữa dự đốn và giá trị chính xác là đáng kể, khoảng tính có thể được rút gọn lại.