TIỂU LUẬN Trình bày sự hiểu biết về nội dụng thuật toán GaussJordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B.

LỜI MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính trung tâm hầu hết lĩnh vực toán học.Đại số tuyến tính ngành tốn học nghiên cứu khơng gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính phép biến đổi chúng Đại số tuyến tính sử dụng hầu hết ngành khoa học lĩnh vực kỹ thuật sử dụng nhiều toán học, đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích Bài tiểu luận không kiểm tra mà cịn giúp em hệ thống lại kiến thức mà thân học học buổi đại số tuyến tính vừa Câu 1: Câu 1a: Trình bày hiểu biết nội dụng thuật tốn Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B • Hệ phương trình tuyến tính hệ thống gồm m phương trình bậc theo n ẩn số Là kiến thức có ứng dụng hầu hết ngành kỹ thuật Để giải phương trình có nhiều cách thuật tốn Gauss-Jordan phương pháp ứng dụng nhiều để giải hệ phương trình truyến tính Ta xét phương trình tuyến tính sau : X1+X2+3X3=1 X2+X3=4 Để giải hệ từ phương trình hai ta rút X2 theo X3 ( ngược lại), vào phương trình để tìm X1 Và nhìn ma trận hệ số bổ sung hệ dạng ma trận bậc thang rút gọn : 1 1 -Ý tưởng phương pháp Gauss Jordan dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận hệ số bổ sung dạng bậc thang Khi đó, hệ phương trình cho tương đương với hệ bậc thang Hệ phương trình tuyến tính sau biến đổi giải đơn giản hệ ban đầu -Định nghĩa: Phương pháp khử Gauss-Jordan dùng phép biến đổi sơ cấp dòng( nhân số khác khơng với dịng, hốn vị hai dịng, dòng(i)=dòng(i) ± c*dòng(j) ) để đưa hệ ban đầu hệ phương trình có dạng bậc thang , giải hệ phương trình , khơng cần phải tính định thức • Các bước để giải hệ phương trình tuyến tính với thuật tốn Gauss-Jordan: Bước 1: từ ma trận hệ số ban đầu ta bổ sung cột hệ số tự vào bên phải ma trận hệ số Bước 2: cách biến đổi sơ cấp dòng ta đưa ma trận hệ số mở rộng 퐴, ma trận bậc thang C tương đương hệ ban đầu Bước : dựa vào C ta viết hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ ban đầu Dựa vào C ta suy nghiệm hệ Câu 1b: Định lý số nghiệm hệ phương trình Có trường hợp nghiệm sau: • Trường hợp̅ Hệ có nghiệm , số phương trình cịn lại số ẩn hay r(A) = r(A ) = số ẩn hệ Ma trận hệ số bổ sung hệ có dạng: 푎 11 푎 ‾ 12 퐴 = (퐴, 퐵) = 푎 22 … … [ 0 푎 1푛 푏1 ] 푎 …2 푛 …푏 푎 푏 푛푛 … … … … 푛 2푥 − 푥 + 푥 = 11 − 푥 − 푥 = { 푥 42 푥1 − 푥2 + 6푥3 = −4 -3 (1) ↔ (2) -1 -1 (2)=(2)-2(1) -1 -1 퐴= -3 (3)=(3)-4(1) -1 -1 -1 -4 4 -4 (2)=(2)*-1 -1 -1 (3)= (3)-3(2) -6 0 28 (3)=(3)/28 -3 10 -12 -1 -1 -6 -21 0 −3 Hệ ban đầu tương đương với hệ phương trình 푥1 −푥2 −푥3 = 푥1 −푥2 − 푥3 = (1) = − (2) 2(1) 푥2 thay x3 vào (2) { { 푥 − 6푥푥3 3= =−33(2) (3) −3 푥 = (3) 푥 = 1− Thay (2) (3) vào (1) suy nghiệm hệ : 푥 = 3− { • 푥3 = −3 Trường hợp Hệ phương trình vơ số nghiệm khi: số ẩn > số dòng khác ma trận bậc thang hay r(A) = r(A̅) < số ẩn hệ 2푥 − 푥 + 푥 + 푥 + 푥 15 = − 5푥 + 푥 + 푥 + 푥 { =5 푥 − 23 푥 + 35 푥 + 푥 4+ + 2푥 2푥 4푥 5푥 = 5=8 −2 4 (1)↔ (2) 퐴 = [11 − 5 ] −2 3 −3 [ −1 −2 −2 −3 4 5 3] (2)=(2)-2(1) (3)=(3)-(1) (4)=(4)-2(1) (2)↔ (3) (2)=(2)*-1 −1 0 [ −1 −1 1 −2 −4 −2 −3 −2 −3 −5 ] −2 −2 −1 −1 0 [0 − 1 −2 −3 5 − 2] (3)=(3)/-2 (4)=(4)+(2) −1 −1 0 [0 0 5 0] Số ẩn =5 > số phương trình =3 => phương trình vơ số nghiệm với ẩn x3 x5 tự 푥1 −푥2 + 2푥3 + 3푥4 + 5푥5 = 5(1) { 5 = 푥2 − 푥3 +2푥4 + 3푥 푥 + 푥 = 2(2) (3) Từ (3) rút x4= −4 푥 5thay vào (2) ta x2=-3+x3+x5 Thay x4 x2 vào (1) ta x1= − 11−2 푥 3+4 푥 − 11−2 푥 3+4 푥 x1 = Vậy nghiệm hệ phương trình 푥 = −3 + 푥 + 푥 3∈ 푥 −4 푥 푅 푥4 = { 푥5 ∈ 푅 ̅ Trường hợp Hệ vô nghiệm, r(A) < r A ( ) Trong hệ phương trình có dạng : 0x1 + 0x2 +… +0xn =b với b 0 • 푥1 − 3푥2 { 푥4 = 푥11 ++7푥 2푥 푥22 2−푥 = 푥3 + 2푥3− + 3=푥 −13 − −3 −1 퐴=[ 1] −2 −1 −1 (3)=(3)-(2) (2)=(2)-4(1) [0 (3)=(3)-2(1) −3 [ 13 − 0 −3 −1 13 − − 7] 13 − − −1 2 −7] Ta hệ trương đương hàng ( 0 0 | ) cho ta phương trình 0x1+0x2+0x3+0x4=0 => hệ vơ nghiệm Câu 1c: Hãy giải phương trình cách 31 푥 + 푥 +3 = + 31 푥 +3 = + 10 {푥1 + 10 푥 푥 푥1 + 푥 + 2003 3푥 = + 2003 • Cách 1: : 31 퐴= [ 1 10 1 (3)=(3)- (2) 31 103 (3)=(3)÷2 06296 103 33 12 ] 2005 2003 [ 0 31 (2)=(2)- (1) 31 [ (3)=(3)- (1) 31 309 30 33 31 31 206296 206296 103 103 0 09 30 33 31 30 31 62092 62122 31 31 31 339 31 ] 339 31 푥 + 푥 Hệ ban dầu tương đương {0 푥푥 =+33 푥302 31 31 푥3 = 푥3 = 31 ] + + 339 31 푥1 = nghiệm hệ {푥 = 푥3 = • Cách : 20029 -1 A = −1001 18888 −309444 206296 1001 −3 −5 −3 33 B=[ 12 2] 005 15523 [ 206296 09444 103148 154722 103148 −5 −5 103148 20029 ] A.X=B ↔ A-1.A.X=A-1.B ↔ X=A-1.B= 18888 −309444 206296 1001 −3 −5 [ 206296 09444 103148 154722 푥1 =1 Nghiệm hệ {푥 =1 103148 ] −1001 −3 33 [ 12 ] 005 =[1] 15523 103148 −5 −5 푥3 = Câu Câu 2a: Trình bày cách tính định thức ma trận vng cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa? Định thức ma trận vuông A=(aij) cấp n số, ký hiệu A det(A), n=3 ta có định thức cấp Định thức cấp tính cách sau: • Cách : Quy tắc Sarius a 11 a12 a13 Det(A)= a21 a22 a23 a 31 a32 bổ sung vào định thức cột a11 a12 a13 a11 a12 Det(A)= a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 a33 Khi Det(A) =a11.a22.a33 + a12.a23.a31+a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11- a a a 33 21 12 Ta thấy dấu (+) dấu (–) gán cho tích theo quy tắc sau: số hạng mang dấu cộng định thức tích phần tử nằm ba đường song song với đường chéo số hạng mang dấu âm định thức tích phần tử nằm ba đường song song với đường chéo phụ VD: Det(A)= |1 4 3| ↔1 4 = (2 ⋅2 • Cách ⋅ 2: quy tắc Laplace +3⋅3⋅5+4⋅1 4) −vuông (5 ⋅ cấp 3, Ta gọi ma trận Dij ma trận ma trận A cấp ứng với Trong ma ⋅trận ⋅4+4⋅3⋅2 phần tử aij+là2 ma trận có từ ma trận A cách bỏ hàng i, cột j ⋅1 ⋅ 3) =định −1 thức ma trận A sau: Ta định nghĩa 5a 11 a12 a13 Det(A)= a21 a22 a23 a 31 a32 1+3 = a 11 (-1)1+1.D 11+ a 12.(-1)1+2.D +12 a (-1) D 13 13 a33 Trong công thức (-1)i+j.Dij phần bù đại số phần tử đứng hàng i cột j định thức A.Công thức gọi cơng thức tính định thức cách khai triển theo hàng Ta khai triển định thức theo dòng cột VD: −5 −2 −2 | | | −2 + (−1)1+2 13 −6 + (−1)1+3 3=| 1+1 (−5) | | −6 −6 31| = (−1) | 4 Câu 2b: Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận? Cho ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)? • Đinh nghĩa: Cho A ma trận vuông cấp n Ma trận nghịch đảo ma trận A (nếu có) ma trận cấp n ký hiệu A-1 thỏa mãn: A.A-1=A-1.A=I (I ma trận đơn vị cấp n) Nếu A có ma trận nghịch đảo A gọi ma trận khả nghịch • Phương pháp Gauss-Jordan tìm ma trận nghịch đảo Giả sử cần tìm ma trận nghịch đảo ma trận A Bước : Lập ma trận gồm trái ma trận 퐴, nưa phải ma trận đơn vị: [퐴 ∣ 퐼] Bước 2: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A ma trận có dạng đơn vị, phần tử hàng ma trận bên phải biến đổi theo Bước :khi ma trận bên trái có dạng ma trận đơn vị ma trận bên phải ma trận nghịch đảo A Có dạng : [퐴 ∣ 퐼] ⟶ [퐼 ∣ 퐴−1 ] VD1: 2 0 A = [3 11 0] 1 00 bổ sung vào ma trận [3 01 10 (2) = (2) − 3(1)0 01 10 0 [0 → 0] [3 10 (3) = (3) − 2(1) −3 00 11 −3] 0] 01 0 (1) = (1) − (3) (3) = (3) ∗ −1 0 [0 → −3] (2) = (2) + 3(3) 00 −1 1 −1 −3 [0 ] 0 −20 −3 −1 −1 퐴 =0 [−3 −1 ] 00 −1 −1 VD2: A=| −2 2 | 0 −1 −1 1 2 −3 | | − 0 = −2 퐴 31 + 퐴 32 −1 −1 = −2 −1 |1 = −2.8 − (−48)5= 224 − − 2 | − |−3 25 31 −1 |= −1 Câu 2c: Hãy cho ví dụ để vận dụng tính khả nghịch ma trận việc giải AX = B, XA = B, AXB = C phương trình ma trận sau • Cho AX=B 퐴 = (−1 −2 −1 1) 23 1B= ( ) −1 12 (A ∣ I3 ) = (−1 − 03 0 0) 0 −1 (3)=(3)−(2) (0 → 1 1 −1 1 (2) = (2) + (1) (3) = (3) + 2(1) 01 0) (1)=(1)+(2) ⟶ (0 0 −1 1 (0−1 10 1 2 1 0) 13 02 10 0) (1) = (1) − 3(3) (2) = (2) − 2(3) −1 퐴− = (−1 −1 = (−1 • −1 −3 −2) 1 0 −1 ⟶(0 10 −1 0 1 −1 −3 −2)= (I3∣ A− 1 ) A.X=B ↔ A-1.A.X=A-1.B ↔ X=A-1.B 12 −4 − −3 −2) ( )=(−2− 2) 4 −1 XA=B 퐴=[ ]퐵 = [ ] −2 ] 퐴−1 = [−4 XA=B ↔ X.A.A-1=B.A-1 ↔ X=BA-1  X=[−3 • −24 10 ] [ ]= [2 −6 ] −4 AXB=C 퐴=[ ] 퐴−1 = [−1 10 퐵=[ ] 23 −1 ] 24 퐶 = [1 ] 퐵−1 = [ ] −21 AXB=C ↔ A-1X.B.B-1=A-1.C.B-1 ↔ X=A-1.C.B-1 푋 = [− −124 −1 ] [ ] [ ]= [1 12−21 ] −2 Câu Câu 3a: Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vector Cho ví dụ minh họa? Cho khơng gian vecto V trường K , vecto {v1 , v2 , … ,n v } hệ vecto V • Đẳng thức độc lập tuyến tính nếu: 푐 +푐 1푣 +2 푐 푣 + ⋯푛 푛 푣 =푖휃 (푐 ∈ ℝ) => 풄 = 풄 = ⋯ = 풄 = ta nói hệ độc lập tuyến tính • 푛 Nếu khơng thõa mãn điều hệ phụ thuộc tuyến tính Cụ thể : 푐 +푐 1푣 +2 푐 푣 + ⋯푛 푛 푣 =푖휃 (푐 ∈ ℝ) Nó xảy với hệ số 푐푖 ≠ Ta nói hệ phụ thuộc tuyến tính VD: độc lập tuyến tính Hệ véctơ 푢1 = (1,2); 푢 = (1,1) không gian ℝ2 Xét 푐 1푢 +2 푐 푢 = 휃1 ↔ 푐 (1,2) +푐 (1,1) 푐 +푐 =0 ⇔ (푐 , 푐 ) + (푐 , 푐 ) = (0,0) 2푐 + 2푐 = ⇔{ 1 2 Giải hệ ta được: c1 = c = Vậy hệ véctơ cho hệ độc lập tuyến tính VD:phụ thuộc tuyến tính Hệ véctơ {(3, −6), (−2,4)} ℝ2 푐 1푢 +2 푐2 푢 = 휃1 ↔ 푐 (3, −6) + 푐 (−2,4) = (0,0) 푐 − 푐 = 01  { Hệ có nghiệm không tầm thường khác 0là (2,3) − 6푐 +4푐 = Vì hệ1 phụ thuộc tuyến tính Câu 3b:Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất? Hãy cho ví dụ minh họa xác định số chiều sở • Tập hợp tất nghiệm hệ phương trình tuyến tính theo 푛ẩn số môt không gian vectơ ℝ 푛 Khơng gian vécto nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát có số chiều 푛− 푟 푟 = rank (퐴) 푛là số ẩn 푥 +2푥 −3푥 +4 = 2−11 (2) = (2) − 2(1) 푥 + 푥 − = ↔ [2 −3 0] ⇔ { 12 푥 (3) = (3) − (1) 푥 푥1 + 푥 +3푥 + 45 푥 = 12 2−1 (3)=(3)+2(2) ⟶ (0 −1−2)⇒ hệ vô số nghiệm với 2ẩn tự 0 0 푥2 = 훼,4 푥 = 훽 (α, β ∈ ℝ ) 푥 푥 ()= 푥2( 푥3 12−1 [0 −1−2] 0 −2α − 3β −2 −3 α )= α ( )+ β (−2 ) −2β β Vậy 푋1 = (−2,1,0,0) 푋2 = (−3,0, −2,1) sở không gian nghiệm Dim= Câu 3c: Xét khơng gian R , cho ví dụ không gian nằm không gian R có số chiều 2.Cơ sở nó,cơng thức biểu diễn tọa độ 푥 + 2푥 + 43 푥 −43 푥 2 = 3푥 + 푥 + 푥 − 푥 (2)=(2)−3(1);(3)=(3)−4(1) ↔ [ −3 VD: { = ] (4)=(4)−3(1) − 4 −2 22 33 3 푥4 + 푥 + 243 푥 − 19 푥 = 0푥 + 푥 − 푥 + 푥 24 − 19 10 = 푥1 = 푥 −7 −3 푥 푥 = −6 푥 + 54 −1 (3)=(3)−3(1) ] =>{ 푥2 [ −6 ] [4 − 푥 − 18 15 (4)=(4)+2(1) 0 0 −1 ∈ℝ − 푥4 12 − 10 trình hệ vô0 số0nghiệm 0 với ẩn tự do: x3=m∈, xℝ4 =n (m,n∈ ℝ ) Giải hệ phương Có tập nghiệm W = {(8 m − 7n, −6 m + 5n, m, n), m, n ∈ ℝ} Biểu diễn tập nghiệm dạng sau: = {(8 m, −6 m, m, 0) + (−7n, 5n, 0, n), m, n ∈ ℝ} = {m(8, −6,1,0) + n(−7,5,0,1), m, n ∈ ℝ} = ⟨u1 = (8, −6,1,0), u 2= (−7,5,0,1)⟩ W không gian vecto ℝ hay W ≤ ℝ Từ hệ => sở : u1 = (8, −6,1,0), u 2= (−7,5,0,1)và dimW = W 4 Công thức biễu diễn tọa độ vecto Cho vecto u=(2,2,-12,-14) 푡 x=( ) 푚 tọa 8푡độ − 7vecto 푚 =u2với sở W (2,2, −12, −14) = 푡(8, −6,1,0) + 푚(−7,5,0,1) → − { 푡 + 푚 = 푡 = −12 −12 →{ 푡 ọ 푎 độ 푥 ) 푡 = −12 푚 = −14 = ( −14 푚 = −14 10 KẾT LUẬN Thông qua tiểu luậ em hệ thống lại kiến thúc môn học Đây tài liệu vô quý giá để em tích lũy suốt q trình nghiệp đời Bài tiểu luận em làm đơi cịn có sai xót khơng đáng có mong thầy cho em lời khuyên bảo để em hoàn thiện kiến thức Em xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Vted.vn 2.Giáo trình đại số tuyến tính Trường đại học Cơng nghệ thơng tin Giáo trình tốn cao cấp Trường đại học Tài chính- Marketing 4.Slide giảng (TS Nguyễn Minh Tùng) 11 ... 1a: Trình bày hiểu biết nội dụng thuật tốn Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B • Hệ phương trình tuyến tính hệ thống gồm m phương trình bậc theo n ẩn số Là kiến thức có ứng dụng. .. kỹ thuật Để giải phương trình có nhiều cách thuật toán Gauss-Jordan phương pháp ứng dụng nhiều để giải hệ phương trình truyến tính Ta xét phương trình tuyến tính sau : X1+X2+3X3=1 X2+X3=4 Để giải. .. ± c*dịng(j) ) để đưa hệ ban đầu hệ phương trình có dạng bậc thang , giải hệ phương trình , khơng cần phải tính định thức • Các bước để giải hệ phương trình tuyến tính với thuật toán Gauss-Jordan: