ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HỮU PHÚC NHỮNG THÀNH TỰU TRONG LỊCH SỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNHĐẠI SỐ Chun ngành:PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ THANHNHÀN Thái Nguyên – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ✶ ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ▼ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ▼ét sè ✈✃♥ ề tr ị sử trì tứ ▼ét sè ✈✃♥ ➤Ị ✈Ị ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✶✳✷ ✷ ✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ợ tế trì trì ➤➵✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ị sử trì ❤❛✐✱ ❜❛✱ ❜è♥ ✶✹ ✷✳✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✷✳✷ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❜❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✸ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❜è♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✸ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ✷✾ ✸✳✶ ▼ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✱ ♠ë ré♥❣ ❝➝♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✸✳✷ ◆❤ã♠ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✸✳✸ ◆❤ã♠ ●❛❧♦✐s ❝ñ❛ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✸✳✹ ❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✶ 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ P●❙✳ ❚❙ ▲➟ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ trù❝ t✐Õ♣ ❣✐➯♥❣ ❞➵②✱ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ✈➭ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❣✐ó♣ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ư✉ ✈➭ P❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✈➭ ❝➳❝ t❤➬②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ ➤➲ trù❝ t✐Õ♣ ❣✐➯♥❣ ❞➵②✱ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ ❚r➢ê♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ➤Õ♥ ❝❤❛ ♠Đ✱ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ✈➭ t✃t ❝➯ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ▼ë ➤➬✉ ▲ý t❤✉②Õt ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè ❝ã ❧Þ❝❤ sư tõ r✃t ❧➞✉ ➤ê✐✳ ❚õ tr➢í❝ ❝➠♥❣ ♥❣✉②➟♥✱ trì tứ ợ ❜✐Õt ➤Õ♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥Ị♥ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝ỉ ❝đ❛ ♥❣➢ê✐ ❆✐ ❈❐♣✱ ♥❣➢ê✐ ❇❛❜②❧♦♥✱ ♥❣➢ê✐ ❍② ▲➵♣✳ ➜Õ♥ t❤Õ ❦û t ợ ữ t tự tr ị sử trì tứ ữ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ▲❛ ▼➲ ♥❤➢ ❙❝✐♣✐♦♥❡ ❞❡❧ ❋❡rr♦ ✭✶✹✻✺✲✶✺✷✻✮✱ ❚❛rt❛❣❧✐❛ ✭✶✺✵✵✲✶✺✺✼✮✱ ●✐r♦❧❛♠♦ ❈❛r❞❛♥♦ ✭✶✺✵✶✲✶✺✼✻✮✱ ▲✉❞♦✈✐❝♦ rrr ữ t ọ tì r ❧ê✐ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ 3, ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✱ tø❝ ❧➭ ➤➢❛ r❛ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tÝ♥❤ ♥❣❤✐Ö♠ t❤❡♦ ❝➳❝ ❤Ư sè ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝é♥❣✱ trõ✱ ♥❤➞♥✱ ❝❤✐❛✱ ❦❤❛✐ ❝➝♥✳ ➜➬✉ t❤Õ ❦Ø ✶✾✱ ❘✉❢❢✐♥✐ ✭✶✼✻✺✲✶✽✷✷✮ ♠ét ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝✱✈❐t ❧Ý ♥❣➢ê✐ ý✱ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝ ❝đ❛ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❧í♥ ❤➡♥ ✹✱ ♥❤➢♥❣ ò ỗ ổ tr ứ ộ ✈í✐ ❘✉❢❢✐♥✐✱ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❣➢ê✐ ◆❛✉②✱ ◆✐❡❧s ❍❡♥r✐❦ ❆❜❡❧ ✭✶✽✵✷✲✶✽✷✾✮✱ ➤➲ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t ❜❐❝ ❧í♥ ❤➡♥ ✹ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ❚❤õ❛ ❤➢ë♥❣ ♥❤÷♥❣ t❤➭♥❤ tù✉ ❝đ❛ ❆❜❡❧✱ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ P❤➳♣ t❤✐➟♥ t➭✐ ❊✈❛r✐st❡ ●❛❧♦✐s ✭✶✽✶✶✲✶✽✸✷✮ ➤➲ ➤Ó ❧➵✐ ❝❤♦ t❤Õ ❣✐í✐ t♦➳♥ ❤ä❝ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ➤Đ♣ ➤Ï ♥❤✃t✱ tr♦♥❣ ➤ã ❝ã ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❤♦➭♥ ❤➯♦ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ✈Ị tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤❛ t❤ø❝✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ trì ữ t tự tr ị sử ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤❛ t❤ø❝✳ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❝❤đ ②Õ✉ ❧➭ ✷ ❝✉è♥ s➳❝❤ ✧●❛❧♦✐s ❚❤❡♦r②✧ ❝ñ❛ ❏✳ P✳ ❊s❝♦❢✐❡r ✭❙♣r✐♥❣❡r✱ ✷✵✵✹✮ ✈➭ ❝đ❛ ❏✳ ❘♦t♠❛♥ ✭❙♣r✐♥❣❡r✱ ✷✵✵✶✮✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤♦ r➺♥❣✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➲ ♣❤➳❝ ❤ä❛ ❦❤➳ tết ề ị sử trì tứ tr♦♥❣ ➤ã ❝❤ø❛ ➤ù♥❣ ♥❤÷♥❣ t❤➠♥❣ t✐♥ q✉❛♥ trä♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ t×♠ t❤✃② ë ❜✃t ❝ø t➭✐ ❧✐Ư✉ t✐Õ♥❣ ❱✐Ưt ♥➭♦✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ➤Ò ❝❐♣ ➤Õ♥ ♠ét sè ✈✃♥ ➤Ị ✈Ị ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥❤➢✿ ①✃♣ ①Ø ♥❣❤✐Ư♠✱ ❧✐➟♥ ❤Ư ✈í✐ ❤×♥❤ ❤ä❝ ✈➭ ợ ó ề í ệ tt ữ tồ t ệ s ợ tế trì 3S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ trì ị sử trì 2, 3, ❝ñ❛ ♥❣➢ê✐ ❇❛❜②❧♦♥✱ ♥❣➢ê✐ ➯ ❘❐♣✱ ♥❣➢ê✐ ✃♥ ➜é✱ ♥❣➢ê✐ ❍② ▲➵♣✱ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❖♠❛r ❑❤❛②②❛♠✱ ❋❡rr♦✱ ❚❛rt❛❣❧✐❛✱ ❈❛r❞❛♥♦✱ ❋❡rr❛r✐✱ ❉❡s❝❛rt❡s ✈➭ ♥❤÷♥❣ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝đ❛ ❘❛❢❢❛❡❧❡ ❇♦♠❜❡❧✐ ✈➭♦ ❝➳❝ tÝ♥❤ t♦➳♥ ✈í✐ sè ♣❤ø❝✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ị ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✱ ♠ë ré♥❣ ❝➝♥✱ ♥❤ã♠ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝✱ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s✱ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➤❛ t❤ø❝ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tí ợ tứ ủ trì ❜❐❝ ✶✱ ✷✱ ✸✱ ✹✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝ñ❛ ❈❤➢➡♥❣ trì ị ý ủ s t ữ tí ợ tứ ủ ♠ét ➤❛ t❤ø❝✱ tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s ❝đ❛ ♥ã✱ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝❤ø❛ tr♦♥❣ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❝➝♥✳ ➜➞② ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ❤♦➭♥ ❤➯♦ ✈➭ trä♥ ✈Ñ♥ ♥❤✃t ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè✳ P❤➬♥ ❝✉è✐ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ❧➭ ữ ụ ủ ị í ủ s ể ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ✺ ❝ơ t❤Ĩ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ▼ét sè ✈✃♥ ➤Ị tr♦♥❣ ❧Þ❝❤ sư ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ✶✳✶ ▼ét sè ✈✃♥ ➤Ị ✈Ị ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✶✳✶✳✶✳ ❱✃♥ ➤Ị ①✃♣ ①Ø ♥❣❤✐Ư♠ ❑❤♦➯♥❣ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ ✶✻✵✵ tr➢í❝ ❝➠♥❣ ♥❣✉②➟♥✱ ♥❣➢ê✐ ❇❛❜②❧♦♥ ➤➲ ❝ã tể r trị ỉ ự ì í ①➳❝ ❝❤♦ ❝➳❝ ❝➝♥ ❜❐❝ ❤❛✐✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ❤ä ➤➲ √ ✈í✐ ♠ét s❛✐ sè ❝❤Ø ❧➭ 10−6 ❚r♦♥❣ ❤Ö t❤è♥❣ √ ❣❤✐ ❝➡ sè 60✱ sè ♥➭② ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ✶✳✷✹✳✺✶✳✶✵✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ➤➢ỵ❝ ①✃♣ ①Ø ❜ë✐ tí ợ trị ỉ ủ trị 1+ 51 10 24 + + = 1, 41421296 60 60 60 ❙❛✉ ➤ã✱ ✈➭♦ ❦❤♦➯♥❣ ♥➝♠ ✷✵✵ s❛✉ ❝➠♥❣ ♥❣✉②➟♥✱ ❍❡r♦♥ ✭♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❍② ▲➵♣✮ ➤➲ tã♠ ❧➢ỵ❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ①✃♣ ①Ø ❝➝♥ ❜❐❝ ❤❛✐ ❜➺♥❣ ✈✐Ö❝ ❞ï♥❣ ❞➲② a un + un un+1 = ❈❤ó♥❣ t❛ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ tr×♥❤ ❜➭② ë ➤➞② ♠ét ❝➳❝❤ ➤➬② ➤đ q✉➳ tr×♥❤ ①✃♣ ①Ø ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❜ë✐ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❚r✉♥❣ ◗✉è❝ ✈➭ ➯ ❘❐♣✳ ◆❣➢ê✐ ❚r✉♥❣ ◗✉è❝ ➤➲ ❝ã t❤Ó tí ợ trị ỉ ủ từ ữ trớ ò t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤♦➳ ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❜ë✐ ■s❛❛❝ ◆❡✇t♦♥ ✭✶✻✹✷✲✶✼✷✼✮ ❜➺♥❣ ✈✐Ö❝ ❞ï♥❣ ❞➲② un+1 = un − f (un ) f (un ) ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❜✐Õt ➤Õ♥ ❜ë✐ ❙❤❛r❛❢ ❛❞ ❉✐♥ ✭s✐♥❤ ♥➝♠ ✶✷✵✶✮✱ ♠ét ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❣➢ê✐ ➯ ❘❐♣✳ ◆➝♠ ✶✷✷✺✱ ▲❡♦♥❛r❞ P✐s❛ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❣✐➳ trÞ ①✃♣ ①Ø ❝❤♦ ♥❣❤✐Ư♠ ❞➢➡♥❣ ✺ 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ x3 + 2x2 + 10x = 20 tr♦♥❣ ❤Ö t❤è♥❣ ❣❤✐ ❝➡ sè 60 ❧➭ ✶✳✷✷✳✼✳✹✷✳✸✸✳✹✵✳ ❙❛✐ sè ❝đ❛ ❣✐➳ trÞ ①✃♣ ①Ø ♥➭② ❝❤Ø ❧➭ 10−10 ✱ ❝❤♦ ➤Õ♥ ♥❛② ❝❤ó♥❣ t❛ ✈➱♥ ❦❤➠♥❣ ❜✐Õt t➵✐ s❛♦ ➠♥❣ ❧➵✐ ❝ã t❤Ĩ ❧➭♠ ➤➢ỵ❝ ➤✐Ị✉ ♣❤✐ t❤➢ê♥❣ ệ ì ọ ợ ❣✐➳❝ ◆❣➢ê✐ ❍② ▲➵♣ ❝ỉ ➤➲ ❝ã t❤Ĩ ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❞➢➡♥❣ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❤❛✐ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝♦✐ ♥ã ❧➭ ❣✐❛♦ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ✈➭ ❝➳❝ trò ọ tết ợ t❤ø❝ ♥❣❤✐Ö♠ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ➤➵✐ sè ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✳ ➜è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❜❛✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ➤➲ ❞ï♥❣ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥✐❝ ✭❝❤➻♥❣ ❤➵♥ ♥❤➢ ❝➳❝❤ ♠➭ ❖♠❛r ❑❤❛②②❛♠ ✲ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ■r❛♥ ➤➲ ❧➭♠ ❦❤♦➯♥❣ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ ✶✶✵✵✮✱ ♥❤➢♥❣ ❝ã ❧Ï ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s ❜✐Õt ➤Õ♥ ✭❦❤♦➯♥❣ ♥➝♠ ✷✽✼✲✷✶✷ tr➢í❝ ❝➠♥❣ ♥❣✉②➟♥✮✳ ❚r♦♥❣ ❝✉è♥ s➳❝❤ ❍×♥❤ ❤ä❝ ❝đ❛ ❘❡♥Ð ❉❡s❝❛rt❡s ✭✶✺✾✻✲✶✻✺✵✮ ✲ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ P❤➳♣✱ ➠♥❣ ➤➲ ❝❤♦ ♥❤÷♥❣ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè ✈í✐ ❝➳❝ ❣✐❛♦ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ➤➵✐ sè✳ P❤➳t ❤✐Ư♥ ♥➭② ❝đ❛ ➠♥❣ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ①✉✃t ♣❤➳t ➤✐Ĩ♠ q✉❛♥ trä♥❣ ♥❤✃t ❝đ❛ ❍×♥❤ ❤ä❝ ➜➵✐ sè✳ ➜è✐ ✈í✐ ❜➭✐ t trò t ợ q t ❝ø✉✱ ♥❣➢ê✐ ♠ét ➤❛ ❣✐➳❝ ➤Ò✉ n ♣❤➬♥ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ✲ ♠ét ❝❤đ ➤Ị ➯ ❘❐♣ ➤➲ ♣❤➳t ❤✐Ư♥ r❛ r➺♥❣ ✈✐Ư❝ ❞ù♥❣ ❝➵♥❤ ❝ã ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ✈í✐ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ 3✳ ❙❛✉ ➤ã ❋r❛♥❝♦✐s ❱✐❒t❡ ✭✶✺✹✵✲✶✻✵✸✮ ✲ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ P❤➳♣ ➤➲ ♠✐➟✉ t➯ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝❤✐❛ ❜❛ ♠ét ❣ã❝ ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❜❛✳ ❱✐❒t❡ ❝ị♥❣ ➤➢❛ r❛ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ ✈➭ sin nϕ ✈➭ cos nϕ ♥❤➢ ❝➳❝ ❤➭♠ ❝ñ❛ sin ϕ cos ϕ✳ ◆➝♠ ✶✽✸✼✱ ▲❛✉r❡♥t ❲❛♥t③❡❧ ✭✶✽✶✹✲✶✽✹✽✮ ✲ ♠ét ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ P❤➳♣ ➤➲ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ❝❤✐❛ ✸ ♠ét ❣ã❝ ❜✃t ❦× ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛ ✭❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ➤➷t r❛ ❜ë✐ ♥❣➢ê✐ ❍② ▲➵♣✮✳ ❈❛r❧ ❋r✐❡❞r✐❝❤ ●❛✉ss ✭✶✼✼✼✲✶✽✺✺✮ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ➤➵✐ sè ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝❤✐❛ ➤➢ê♥❣ trß♥ t❤➭♥❤ ✈í✐ p ♣❤➬♥ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ p ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè ❋❡r♠❛t✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ủ ợ trì tr ❝ñ❛ ❝✉è♥ s➳❝❤ ❉✐sq✉✐s✐t✐♦♥❡s ❛r✐t❤♠❡t✐❛❡ ①✉✃t ❜➯♥ ♥➝♠ ✶✽✵✶✱ tr♦♥❣ ➤ã ❝ã ❝❤ø❛ ♥❤÷♥❣ ý t➢ë♥❣ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ♥❤÷♥❣ t❤➭♥❤ tù✉ s❛✉ 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ♥➭② ❝ñ❛ ◆✐❡❧s ❍❡♥r✐❦ ❆❜❡❧ ✈➭ ❊✈❛r✐st❡ ●❛❧♦✐s✳ ✶✳✶✳✸✳ ◆❤÷♥❣ ❦❤ã ❦❤➝♥ ✈Ị ❦Ý ❤✐Ư✉ ✈➭ t❤✉❐t ♥❣÷ ❚r➢í❝ t❤Õ ❦û ✶✼✱ t♦➳♥ ❤ä❝ t❤➢ê♥❣ ❦❤➠♥❣ sư ❞ơ♥❣ ❜✃t ❝ø ♠ét ❦ý ❤✐Ư✉ ➤➷❝ ❜✐Ưt ♥➭♦✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❣➞② ❦❤ã ❦❤➝♥ ❝❤♦ sù ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ♥❤÷♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵✐ sè✳ ❑ý ❤✐Ư✉ ❤✐Ư♥ ➤➵✐ Ýt ♥❤✐Ị✉ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❜ë✐ ❘❡♥Ð ❉❡s❝❛rt❡s✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❞ơ♥❣ ❝❤ó♥❣ tr♦♥❣ ❝✉è♥ s➳❝❤ ❍×♥❤ ❤ä❝ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ ❚r♦♥❣ ❝✉è♥ ❩ÐtÐt✐q✉❡s ❝ñ❛ ❱✐❒t❡ ①✉✃t ❜➯♥ ♥➝♠ ✶✺✾✶✱ tõ t✐Õ♥❣ ❍② ▲➵♣ ςητ ειν ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ✧♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✧✱ ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ F.H + F.B =E D+F ➤➲ ➤➢ỵ❝ ➠♥❣ ✈✐Õt ❧➭✿ F in H +F in B æquabitur E D + F ❱✐❒t❡ ➤➲ ❞ï♥❣ ❦Ý ❤✐Ư✉ r✃t ♣❤ø❝ t➵♣ ❝❤♦ ❧ị② t❤õ❛ ❝ñ❛ ➮♥ sè✿ ➠♥❣ ✈✐Õt ✧ A q✉❛❞r❛t✉♠✧ ❝❤♦ A2 ✱ ✧A ❝✉❜✉s✧ ❝❤♦ A3 ✱ ✧A q✉❛❞r❛t♦✲q✉❛❞r❛t✉♠✧ ❝❤♦ A4 ✈➭ ✧A ♣r♦t❡st❛s✧✱ ✧ A ♣❧❛♥✉♠✧ ❝❤♦ Am ✱ An ✳ ➜Ĩ ❝❤Ø ❜❐❝ ❝đ❛ ❤Ư sè F ✱ ➠♥❣ ✈✐Õt ✧F ♣❧❛♥✉♠✧ ❝❤♦ F ❧➭ ❤Ư sè ❝đ❛ ❧ị② t❤õ❛ ❜❐❝ 2✱ ✧F s♦❧✐❞✉♠✧ ❝❤♦ F ❧➭ ❤Ö sè ❝đ❛ ❧ị② t❤õ❛ ❜❐❝ ✈✳✈✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ trì tổ qt A sử ữ ❜✐Õ♥ sè A ✈➭ ❝➳❝ ❤Ö sè B, C, D ❝ã sù ➤å♥❣ ♥❤✃t ✈Ò ❜❐❝✱ ❱✐❒t❡ ➤➲ ✈✐Õt ✿ ”B in A quadratum plus D plano in A æquari Z solido.” ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ BA2 + DA = Z ➜ã♥❣ ❣ã♣ ❧í♥ ♥❤✃t ❝đ❛ ❱✐❒t❡ ❧➭ t➵♦ r❛ ♠ét ệ tố tí t ữ ợ ù ể ể tị ợ ết ❝➳❝ ➮♥ sè ❝➬♥ t×♠✳ ý t➢ë♥❣ ♥➭② t➵♦ r❛ sù ❝❤✉②Ó♥ ❜✐Õ♥ s➞✉ s➽❝ tr♦♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ✈➭ q✉❛♥ ♥✐Ư♠ ❝đ❛ ➤➵✐ sè❀ t❤❛② ✈× ❝❤Ø ❧➭♠ ✈✐Ư❝ tr➟♥ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ❜➺♥❣ sè✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ã t❤Ĩ ①❡♠ ét trờ ợ tổ qt ữ ❝➳✐ ➤➲ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ tr➢í❝ ❱✐❒t❡✱ ♥❤➢♥❣ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❜✐Ĩ✉ t❤Þ ❜➯♥ ❝❤✃t ❝➳❝ 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽ tÝ♥❤ t♦➳♥✿ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ❤ä ❞ï♥❣ ❝❤÷ ❝➳✐ a ➤Ĩ ❜✐Ĩ✉ tị ợ ù ữ ể ể tị trị ì ũ t❤õ❛ ✸ ✈➭ ❝➳❝ ❧ị② t❤õ❛ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝đ❛ a✱ ❧Ï r❛ ❤ä ♣❤➯✐ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ a ➤Ĩ ❜✐Ĩ✉ t❤Þ ❝❤ó♥❣✳ ❈➳❝ sè t❤❐♣ ♣❤➞♥ ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ❆❧ ❯q❧✐❞✐s✐✱ ♠ét ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ➯ ❘❐♣✱ tr♦♥❣ ❝✉è♥ ❍×♥❤ ❤ä❝ ❊✉❝❧✐❞ ❦❤♦➯♥❣ ✈➭♦ ♥➝♠ ✾✺✵✳ ❙è t❤❐♣ ♣❤➞♥ ❝ị♥❣ ➤➢ỵ❝ ❜✐Õt t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ❝➠♥❣ ✈✐Ư❝ ❝đ❛ ❆❧ ❑❛s❤✐ ✭ ❦❤♦➯♥❣ ✶✸✽✵✲ ✶✹✷✾✮ ♥➝♠ ✶✹✷✼✱ ❱✐❒t❡ ♥➝♠ ✶✺✼✾✱ ❙✐♠♦♥ ❙t❡✈✐♥ ✭✶✺✹✽✲ ✶✻✷✵✮ ♥➝♠ ✶✺✽✺✳ ❱✐Ư❝ sư ❞ơ♥❣ ♠ét ❞✃✉ ❝❤✃♠ ➤Ĩ ❝➳❝❤ ❧✐ ♣❤➬♥ ♥❣✉②➟♥ ✈í✐ ♣❤➬♥ t❤❐♣ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ♠ét sè t❤❐♣ ♣❤➞♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♣❤ỉ ❜✐Õ♥ ❜í✐ ❏♦❤♥ ◆❡♣❡r ✭✶✺✺✵✲✶✻✶✼✮✱ ♥❤➢♥❣ ♥❣➢ê✐ P❤➳♣ ❧➵✐ ❞ï♥❣ ❞✃✉ ♣❤➮② t❤❛② ❝❤♦ ❞✃✉ ❝❤✃♠✳ ❚✉② ✈❐②✱ ♠ét t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❞➭✐ s❛✉ ❦❤✐ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❝➳❝❤ ❞ï♥❣ ❞✃✉ ❝❤✃♠ ➤Ĩ ✈✐Õt ❝➳❝ sè t❤❐♣ ♣❤➞♥✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ✈➱♥ ✈✐Õt sè t❤❐♣ ♣❤➞♥ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ t❤❡♦ s❛✉ ❧➭ ♠ét ♣❤➞♥ sè✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ sè 11, 224176 224176 ✳ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❧➭ 11 1000000 ❉✃✉ + ✈➭ − ➤➲ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ ✈➭♦ ❦❤♦➯♥❣ ♥➝♠ ✶✹✽✵✱ ♥❤➢♥❣ ♠➲✐ ➤Õ♥ ➤➬✉ t❤Õ ❦û ✶✼ ♠í✐ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ ♣❤ỉ ❜✐Õ♥✳ P❤Ð♣ ♥❤➞♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ▼✐❝❤❛❡❧ ❙t✐❢❡❧ ✭✶✹✽✻✲ ✶✺✻✼✮ ✈✐Õt ❧➭ ♥❛②✱ ❞✃✉ M ✭✶✺✹✺✮✈➭ ❱✐❒t❡ ✭✶✺✾✶✮ ✈✐Õt ❧➭ ✐♥✳ ❱í✐ ❦ý ❤✐Ư✉ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❤✐Ư♥ × ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ❲✐❧❧✐❛♠ ❖✉❣❤tr❡❞ ✭✶✺✼✹✲ ✶✻✻✵✮ ♥➝♠ ✶✻✸✼ ✈➭ ❞✃✉ ❝❤✃♠ ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ❲✐❧❤❡❧♠ ▲❡✐❜♥✐③ ✭✶✻✹✻✲ ✶✼✶✻✮ ♥➝♠ ✶✻✾✽✳ ➜è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❧ị② t❤õ❛✱ ♥➝♠ ✶✹✽✹ ◆✐❝♦❧❛s ❈❤✉q✉❡t ✭✶✹✹✺✲ ✶✺✵✵✮ ➤➲ ✈✐Õt ❜✐Ó✉ t❤ø❝ 1, 225 + 148x2 ❧➭ 1, 225˜ p1482 ✱ ❘❛❢❢❛❡❧❡ ❇♦♠❜❡❧✐ ✭✶✺✼✷✮ ➤➲ ✈✐Õt ❜✐Ó✉ t❤ø❝ 3x2 ❧➭ ✳ ❈➳❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ x2 , x3 , ❝❤♦ ❝➳❝ ❧✉ü t❤õ❛ ❝đ❛ x ♠➭ ❝❤ó♥❣ t❛ ❞ï♥❣ ♥❣➭② ♥❛② ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ❉❡s❝❛rt❡s✳ ❚r♦♥❣ t❤Õ ❦û ✶✽✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ✈✐Õt bb ❝❤♦ b2 ✱ ♥❤➢♥❣ ❧➵✐ ✈✐Õt ❝➳❝ ❧✉ü t❤õ❛ ❝❛♦ ❤➡♥ ❝ñ❛ b ❧➭ b3 ✱ b4 ✈✳✈✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ❝➳❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛ ➮♥ sè ✈➭ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❤Ư sè ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥✱ ✈✐Ư❝ tÝ♥❤ t tứ ợ ì t ột rõ r➭♥❣✳ ❉❡s❝❛rt❡s ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ tr✐Öt t✐➟✉ t➵✐ ❣✐➳ trÞ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ♥ã ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ a X − a✳ ❉✃✉ ❂ ❞♦ ▼✐❝❤❡❧ ❘❡❝♦r❞❡ ✭✶✺✶✵✲ ✶✺✺✽✮ sư ❞ơ♥❣ ♥➝♠ ✶✺✺✼ ➤➢ỵ❝ t❤❛② ❝❤♦ ❦Ý ❤✐Ư✉ ♠➭ tr➢í❝ ➤ã ❉❡s❝❛rt❡s ➤➲ 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾ ❞ï♥❣✳ ❆❧❜❡rt ●✐r❛r❞ ✭✶✺✾✻✲✶✻✸✷✮ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❦Ý ❤✐Ư✉ √ A✳ ❈❤Ø sè ❞➢í✐ ➤➢ỵ❝ ●❛❜r✐❡❧ ❈r❛♠❡r ✭✶✼✵✹ ✲ ✶✼✺✷✮ ❞ï♥❣ ♥➝♠ ✶✼✺✵ ➤Ĩ ✈✐Õt ❝➳❝ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ❝đ❛ ➠♥❣✱ ❝❤Ø sè tr➟♥ ❑Ý ❤✐Ư✉ , , ,iv ,v , · · · ❝ị♥❣ ①✉✃t ❤✐Ư♥ ré♥❣ r➲✐ ✈➭♦ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ➤ã✳ ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ▲❡♦♥❤❛r❞ ❊✉❧❡r ✭✶✼✵✼✲✶✼✽✸✮ ✈✳✈✳ ❈➳❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ré♥❣ r➲✐ tr➟♥ t♦➭♥ t❤Õ ❣✐í✐ ❝❤♦ ➤Õ♥ ♥❣➭② ♥❛②✳ ✶✳✶✳✹✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❆❧ ❑❤✇❛r✐③♠✐ ✭✼✽✵✲ ✽✺✵✮ ❞➢ê♥❣ ♥❤➢ ❧➭ ♥❣➢ê✐ ➤➬✉ t✐➟♥✱ ✈➭♦ ❦❤♦➯♥❣ ♥➝♠ ✽✸✵✱ ❝❤Ø r❛ sù tå♥ t➵✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❤❛✐ ❝ã ❤❛✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❞➢➡♥❣✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥❣❤✐Ư♠ ➞♠ ❝❤Ø ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭♦ ❝✉è✐ t❤Õ ❦û ✶✻✳ ●✐r❛r❞ ❧➭ t ị r ột trì n ❝ã n ♥❣❤✐Ö♠✳ ↕♥❣ ❦❤➠♥❣ ➤➢❛ r❛ ❜✃t ❦ú ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♥➭♦ ❝❤♦ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ♥➭② ✈➭ ý t➢ë♥❣ ❝đ❛ ➠♥❣ ✈Ị ❜➯♥ ❝❤✃t ❝đ❛ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝ã ✈❰ ❧ê ♠ê✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ➠♥❣ ➤➲ ♥❣❤Ü ✈Ị ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❣✐è♥❣ ♥❤➢ ♥❤÷♥❣ sè ♣❤ø❝ ❤♦➷❝ ❝➳❝ sè t➢➡♥❣ tù✳ ❱× t❤Õ sù ❦❤➠♥❣ râ r➭♥❣ ♥➭② ❝ị♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣➞② ❝➯♥ trë ➠♥❣ ➤ỉ✐ ♠í✐ ✈✐Ư❝ tÝ♥❤ t♦➳♥ ✈í✐ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ♥❤➢ ❧➭ tÝ♥❤ t♦➳♥ ✈í✐ ❝➳❝ ❝♦♥ sè✳ ❚✃t ❝➯ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ➤Ò✉ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝❛♦ ❝➠♥❣ ❧❛♦ ♥➭② ❝ñ❛ ➠♥❣✳ ❉❡s❝❛rt❡s ❦❤➠♥❣ ❜✐Õt ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ sè ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝✱ ♥❤➢♥❣ ➠♥❣ ➤➲ ❜✐Õt ➤➢ỵ❝ sè ♥❣❤✐Ư♠ ❦❤➠♥❣ ✈➢ỵt q✉➳ ❜❐❝ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝✳ ▲❡✐❜♥✐③ ❝ị♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝➯♠ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❜➯♥ ❝❤✃t ❝đ❛ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠✱ ♥➝♠ ✶✼✵✷ ➠♥❣ ✈➱♥ ❦❤➠♥❣ t❤✃② ➤➢ỵ❝ r➺♥❣ √ −1 ❧➭ ♠ét sè ♣❤ø❝✳ ◆❤➢♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧✃② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ủ ữ tỷ ợ t trể ✈➭ ❏❡❛♥ ❇❡r♥✉♦❧❧✐ ✭✶✻✻✼✲✶✼✹✽✮ ✈➭♦ ❦❤♦➯♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ♥➭② ➤➲ ♠ë ➤➢ê♥❣ ❝❤♦ ▲❡♦♥❤❛r❞ ❊✉❧❡r ✭✶✼✵✼✲ ✶✼✽✸✮ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✼✹✾✿ ➜❛ t❤ø❝ ❜❐❝ n ✈í✐ ❤Ư sè t❤ù❝ ❧✉➠♥ ❝ã n ♥❣❤✐Ư♠ ♣❤ø❝✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ♥➭② tờ ợ ọ ị ý ủ sè✧✳ ❏❡❛♥ ❞✬❆❧❡♠❜❡rt ✭✶✼✶✼✲ ✶✼✽✸✮ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ♠ét ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t❤ó ✈Þ ♥❤➢♥❣ ❝❤➢❛ ➤➬② ➤đ ❝❤♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý ♥➭② ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✼✹✻✱ ✈× t❤Õ ♥❣➢ê✐ P❤➳♣ ❣ä✐ ♥ã ị ý rt r ó ọ ủ ì t ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❊❝♦❧❡ ◆♦r♠❛❧❡ ✈➭♦ ♥➝♠ t❤ø ✸ ❝ñ❛ ❈➳❝❤ ♠➵♥❣ P❤➳♣✱ P✐❡rr❡ ❙✐♠♦♥ ❞❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ✭✶✼✹✾✲ ✶✽✷✼✮ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ë ➤➞✉ ➤ã✳ ●❛✉ss ➤➲ ➤➢❛ 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✼ 1 p = (−3a2 + 8b), q = (a3 + 4ab + 8c) ✈➭ 8 r= (−3a4 + 16ab − 64ac + 256d) 256 ❈❤ä♥ k, l, m, n t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐ x4 + px2 + qx + r = (x2 + kx + l)(x2 + mx + n) ❑❤✐ ➤ã x4 + px2 + qx + r = x4 + (k + m)x3 + (km + l + n)x2 + (kn + lm)x + ln ❙ö ụ ệ số t ị t ợ ➤ã s✉② r❛ k+m=0 km + l + n = p kn + lm = q ln = r q l = (k − + p) k m = −k q n = (k + + p) k k + 2pk + (p2 − 4r)k − q = ❑❤✐ ➤ã k ❧➭ ệ ủ trì tì ợ k, l, m, n✱ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❜è♥ trë ✈Ị ❣✐➯✐ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❤❛✐✳ ❱Ý ❞ơ ✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❚❤❛② x4 − 17x2 − 20x − = p = −17, q = −20, r = −6 ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ k + 2pk + (p2 − 4r)k − q = t ợ trì k 34k + 313k − 400 = ❚❛ tì ợ k = ột ệ ủ tr×♥❤✳ ❙✉② r❛ l = 2, m = −4, n = −3 ❱× t❤Õ t❛ ❝ã ♣❤➞♥ tÝ❝❤ x4 − 17x2 − 20x − = (x2 + 4x + 2)(x2 − 4x − 3) 27Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✽ ●✐➯✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ❤❛✐ x2 + 4x + = ✈➭ x2 − 4x − = t tì ợ ệ ủ trì ❧➭ x1,2 = ± √ 7, x3,4 = −2 ± 28Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên √ http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✸ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ✸✳✶ ▼ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✱ ♠ë ré♥❣ ❝➝♥ ✸✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ tr➢ê♥❣ ♥Õ✉ ▼ét t❐♣ ❝♦♥ T ❝đ❛ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝➳❝ sè ♣❤ø❝ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ∈ T ✱ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝é♥❣✱ trõ✱ ♥❤➞♥ ➤ã♥❣ ❦Ý♥ tr♦♥❣ T ✈➭ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ♣❤➬♥ tư ❦❤➳❝ ❝ị♥❣ ➤ã♥❣ ❦Ý♥ tr♦♥❣ T ✳ ❘â r➭♥❣ ❝➳❝ t❐♣ sè Q✱ R✱ C ❧➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣✳ ❱í✐ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ t❐♣ √ √ Q[ p] = {a + b p | a, b ∈ Q} ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❝❤✉♥❣ t❛ ❝❤Ø ➤Ị ❝❐♣ ➤Õ♥ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝đ❛ tr➢ê♥❣ sè ♣❤ø❝ C ✸✳✶✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ●✐➯ sö K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ❝❤ø❛ T ✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ♥ã✐ ✸✳✶✳✸ ❱Ý ❞ơ✳ ✭✐✐✮ ❱í✐ T ⊆ K ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ✳ √ ✭✐✮ ❚r➢ê♥❣ Q[ 2] ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ Q✳ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ α ∈ C✱ ➤➷t T (α) = ❑❤✐ ➤ã ❝ñ❛ T T (α) ❧➭ tr➢ê♥❣ ♥❤á ♥❤✃t ❝❤ø❛ T ✈➭ α✳ ❚❛ ❣ä✐ T (α) ❧➭ tr➢ê♥❣ ♠ë ré♥❣ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❣❤Ð♣ t❤➟♠ ♣❤➬♥ tư ✭✐✐✐✮ ❱í✐ tõ f (α) | f (x), g(x) ∈ T [x], g(α) = g(α) α✳ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ A ⊆ C✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ T (A) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ T ✈➭ A ❜ë✐ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝é♥❣✱ trõ✱ ♥❤➞♥ ✈➭ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ❦❤➳❝ ✷✾ 29Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✵ 0✳ ❑❤✐ ➤ã T (A) ❧➭ tr➢ê♥❣ ♥❤á ♥❤✃t ❝❤ø❛ T ✈➭ A✳ ❚❛ ❣ä✐ T (A) ❧➭ ré♥❣ ❝ñ❛ T ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❣❤Ð♣ t❤➟♠ t❐♣ ❈❤♦ ✸✳✶✳✹ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ tró❝ ❧➭ tr➢ê♥❣ ♠ë A✳ T ⊆ K ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã K ❝ã ❝✃✉ T ✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡✳ ❙è ❝❤✐Ò✉ ❝đ❛ T ✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ K ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜❐❝ ❝đ❛ ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉ T ⊆ K ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ [K : T ]✳ T ⊆ K ⊆ L ❧➭ ♠ét ❞➲② ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ t❤× [L : T ] = [L : K][K : T ] ✸✳✶✳✺ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ ♥Õ✉ ❝ã ♠ét ➤❛ t❤ø❝ sè tr➟♥ ➜➷t T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ α ∈ C ❚❛ ♥ã✐ α ❧➭ ➤➵✐ sè tr➟♥ T = f (x) ∈ T [x] ♥❤❐♥ α ❧➭♠ ♥❣❤✐Ư♠✳ ◆Õ✉ α ❦❤➠♥❣ ➤➵✐ T t❤× t❛ ♥ã✐ α ❧➭ s✐➟✉ ✈✐Öt tr➟♥ T ✳ T [α] = {f (α) | f (x) ∈ T [x]}✳ ◆Õ✉ α ❧➭ ➤➵✐ sè tr➟♥ T t❤× T [α] ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ ✈× t❤Õ T [α] = T (α) ❑❤✐ α ❧➭ s✐➟✉ ✈✐Ưt tr➟♥ T t❤× T [α] ❦❤➠♥❣ ❧➭ tr➢ê♥❣✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã ✸✳✶✳✻ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ✭✐✮ ➜❛ t❤ø❝ T (α) ❧✉➠♥ ❧➭ tr➢ê♥❣✳ ❈❤♦ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ f (x) ∈ T [x] ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ T ♥Õ✉ deg f (x) > ✈➭ f (x) ❦❤➠♥❣ ❧➭ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❜❐❝ ❜Ð ❤➡♥✳ ✭✐✐✮ ●✐➯ sö α ∈ C ❧➭ ➤➵✐ sè tr➟♥ T ✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➤❛ t❤ø❝ p(x) ∈ T [x] ❜✃t ❦❤➯ q✉② ♥❤❐♥ α ❧➭♠ ♥❣❤✐Ö♠ ✈➭ ❝ã ❤Ö sè ❝❛♦ ♥❤✃t ❜➺♥❣ 1✳ ❇❐❝ ❝đ❛ p(x) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ ❙è √ ❜❐❝ ❝ñ❛ α tr➟♥ T ✈➭ p(x) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t α✳ ❧➭ ➤➵✐ sè tr➟♥ Q ✈× ♥ã ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ x3 − ∈ Q[x] ◆❣➢ê✐ π ❧➭ s✐➟✉ ✈✐Öt tr➟♥ Q ➜❛ t❤ø❝ x3 − ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ √ √ 3 ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ 2✳ ❱× t❤Õ ❜❐❝ ❝đ❛ tr➟♥ Q ❧➭ t ứ ợ số ị ĩ ❈❤♦ T ⊆ K ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ✈➭ m > ❧➭ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥✳ ❚❛ ♥ã✐ K ❧➭ ♠ë ré♥❣ t❤✉➬♥ tó② ❦✐Ĩ✉ m ♥Õ✉ K = T (α) tr♦♥❣ ➤ã α ❧➭ ♣❤➬♥ tö ➤➵✐ sè tr➟♥ T ❝ã ❜❐❝ m✳ 30Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✶ ✭✐✐✮ ▼ét ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ tr✉♥❣ ❣✐❛♥ T ⊂ K ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝➝♥ ♥Õ✉ ❝ã ♠ét ❞➲② T = K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ Kn = K tr ó ỗ rộ Ki Ki+1 ❧➭ ♠ë ré♥❣ t❤✉➬♥ tó② ❦✐Ĩ✉ mi ♥➭♦ ➤ã✳ ➜Ĩ tÝ♥❤ ❜❐❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ❝➝♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➬♥ tÝ♥❤ ❜❐❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ t❤✉➬♥ tó②✳ ❉➢í✐ ➤➞② ❧➭ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tÝ♥❤ ❜❐❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ♥➭②✳ ✸✳✶✳✽ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ K = T (α) ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ t❤✉➬♥ tó② m✳ ❑❤✐ ➤ã [K : T ] = m ❦✐Ó✉ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ➜➵✐ sè ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ r➺♥❣ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ♣❤ø❝ ❧✉➠♥ ❝ã ➤ó♥❣ n ✈í✐ ệ số n ệ ứ ỗ ệ tí số ❜é✐ ❝đ❛ ♥ã✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❝❤♦ ♣❤Ð♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ s❛✉✳ ✸✳✶✳✾ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❝❤ø❛ ❝đ❛ ❈❤♦ T ❧➭ tr➢ê♥❣ ✈➭ f (x) ∈ T (x) ❚r➢ê♥❣ sè K ♥❤á ♥❤✃t T ✈➭ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ C ❝đ❛ f (x) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ f (x) tr➟♥ T ✸✳✶✳✶✵ ❱Ý ❞ô✳ ❚r➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ √ √ f (x) = x3 −2 tr➟♥ Q ❧➭ Q(i 3, 2)✳ √ √ Q ⊂ Q(i 3, 2) ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝➝♥ ✈× ❝ã ❞➲② √ √ √ Q ⊂ Q(i 3) ⊂ Q(i 3, 2) √ √ √ tr♦♥❣ ➤ã ♠ë ré♥❣ Q(i 3) ⊂ Q(i 3, 2) ❧➭ t❤✉➬♥ tó② ❦✐Ĩ✉ ✈➭ ♠ë ré♥❣ √ Q ⊂ Q(i 3) ❧➭ t❤✉➬♥ tó② ❦✐Ĩ✉ 2✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã √ √ √ √ √ √ 3 [Q( 2, i 3) : Q] = [Q( 2, i 3) : Q(i 3)][Q(i 3) : Q] = ▼ë ré♥❣ ó ợ ị ĩ ột t G ❝ï♥❣ ✈í✐ ♠ét ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❦Ý ❤✐Ư✉ t❤❡♦ ❧è✐ ♥❤➞♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ♥Õ✉ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❦Õt ❤ỵ♣✱ ❝ã ♣❤➬♥ tư s❛♦ ❝❤♦ ❝❤♦ e∈G ae = ea = a ✈í✐ ♠ä✐ a ∈ G✱ ỗ a G tồ t a1 G s❛♦ aa−1 = a−1 a = e✳ P❤➬♥ tö e ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ a−1 ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➬♥ tư ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ 31Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun ❝đ❛ ♣❤➬♥ tư ➤➡♥ ✈Þ ❝đ❛ G ✱ ♣❤➬♥ tư a✳ ◆❤ã♠ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✷ ❤❛② ❆❜❡❧ ♥Õ✉ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❧➭ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✳ ◆Õ✉ ❝✃♣ G ❝ã n ♣❤➬♥ tư t❤× t❛ ♥ã✐ G ❝ã n✳ ❑❤✐ n ❝ã ✈➠ ❤➵♥ ♣❤➬♥ tư t❤× t❛ ♥ã✐ G ❝ã ❝✃♣ ✈➠ ❤➵♥✳ ❈➳❝ ♥❤ã♠ ✈í✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❦Ý ❤✐Ư✉ t❤❡♦ ❧è✐ ❝é♥❣ ợ ị ĩ t tự tr ó tử ị ợ t tử í ệ ị ủ a ợ t ✸✳✷✳✷ ❱Ý ❞ơ✳ ✭✐✮ ❈➳❝ t❐♣ ✭✐✐✮ ●✐➯ sư ❝đ❛ ➤è✐ ①ø♥❣ a✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ −a✳ Z, Q, R, C ❧➭ ♥❤÷♥❣ ♥❤ã♠ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣✳ X ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣✳ ❑Ý ❤✐Ư✉ S(X) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ s♦♥❣ ➳♥❤ tõ X ➤Õ♥ X ✳ ❑❤✐ ➤ã S(X) ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❤ỵ♣ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵✳ P❤➬♥ tư ➤➡♥ ✈Þ ❝đ❛ S(X) ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤å♥❣ ♥❤✃t e = 1X ◆❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ ❝đ❛ ♣❤➬♥ tư f ∈ S(X) ợ tử tì f ❚❛ ❣ä✐ S(X) ❧➭ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝ñ❛ X ✳ ❑❤✐ X ❝ã n S(X) ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ Sn ✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ Sn ❝ã ❝✃♣ n! ✈➭ Sn ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❦❤✐ n ≥ ❱í✐ a1 , , ak ∈ X, t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ (a1 a2 · · · ak ) ❧➭ ♣❤Ð♣ t❤Õ s ∈ Sn ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ s(a1 ) = a2 , , s(ak−1 ) = ak ✈➭ s(ak ) = a1 P❤Ð♣ t❤Õ (a1 a2 · · · ak ) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ý r ỗ tử ủ ò í k t❐♣ ♥Ò♥ {a1 , , ak } ú Sn ề ết ợ t tí ủ ò ①Ý❝❤ ✈í✐ ❝➳❝ t❐♣ ♥Ị♥ ➤➠✐ ♠ét rê✐ ♥❤❛✉✳ ✸✳✷✳✸ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❝♦♥ ♥Õ✉ ❈❤♦ ▼ét t❐♣ ❝♦♥ H ❝đ❛ ♠ét ♥❤ã♠ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ e ∈ H ✈➭ xy ∈ H, x−1 ∈ H ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ H H ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝ñ❛ G✳ ❱í✐ x ∈ G✱ ➤➷t Hx = {hx | h ∈ H} ✈➭ xH = {xh | h ∈ H} ❈❤ó ý r➺♥❣ Hx = Hy ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ xy −1 ∈ H ✱ ✈➭ xH = yH ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ x−1 y ∈ H ❚❛ ❣ä✐ Hx ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ G ✈í✐ ➤➵✐ ❞✐Ư♥ ❧➭ x✱ ✈➭ xH ❧➭ ♠ét ✸✳✷✳✹ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ t➽❝ ♥Õ✉ ▼ét ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❧í♣ ❣❤Ð♣ ♣❤➯✐ ❧í♣ ❣❤Ð♣ tr➳✐ ❝đ❛ ❝đ❛ H H H ❝đ❛ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉➮♥ Hx = xH ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ G ✸✳✷✳✺ ❱Ý ❞ô✳ ◆❤ã♠ ♥➭② ❝ã ❳Ðt ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ S3 = {e, (123), (132), (12), (13), (23)} ♥❤ã♠ ❝♦♥✿ {e}✱ S3 ✱ {e, (123), (132)}✱ {e, (12)}✱ {e, (13)}✱ {e, (23)} ◆❤ã♠ S3 ❝ã ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✿ {e}✱ S3 ✱ {e, (123), (132)}✳ 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✸ ✸✳✷✳✻ ❇ỉ ➤Ị✳ ●✐➯ sư H ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ G/H = {Hx | x ∈ G} ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❧í♣ ❣❤Ð♣ tr➳✐ ❝đ❛ H HxHy = Hxy t➽❝ ♥❤➞♥ ❧➭ ♠ét ♣❤Ð♣ t♦➳♥ tr➟♥ G/H tr♦♥❣ ✈➭ G✳ G/H G✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ ❑❤✐ ➤ã q✉② ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ✈í✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ♥➭②✳ ◆❤ã♠ G/H ✈õ❛ ①➞② ❞ù♥❣ ë tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ✸✳✷✳✼ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❞➲② ♥❤ã♠ t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ G t❤❡♦ H✳ ▼ét ♥❤ã♠ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❤ã♠ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ♥Õ✉ G ❝ã ♠ét {e} = G0 ⊆ G1 ⊆ ⊆ Gn = G s❛♦ ❝❤♦ Gi ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝ñ❛ Gi+1 ✈➭ Gi+1 /Gi ❧➭ ♥❤ã♠ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, , n ✸✳✷✳✽ ❱Ý ❞ơ✳ ✭✐✮ ▼ä✐ ♥❤ã♠ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ➤Ị✉ ❧➭ ♥❤ã♠ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝✳ ✭✐✐✮ ◆❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ✭✐✐✐✮ ◆❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ S2 ❧➭ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❝✃♣ ♥➟♥ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝✳ S3 ợ ì ó {e} = G0 {e, (123), (132)} = G1 ⊂ S3 , tr♦♥❣ ➤ã G1 /G0 ❝ã ❝✃♣ ♥➟♥ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ S3 /G1 ❝ã ❝✃♣ ♥➟♥ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✳ ✭✐✈✮ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ S4 ợ ò Sn ợ ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ 5✳ ◆❤ã♠ ●❛❧♦✐s ❝đ❛ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✸✳✸✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ▼ét ➳♥❤ ①➵ f : T K ữ trờ T K ợ ọ ❧➭ ♠ét ➤å♥❣ ❝✃✉ tr➢ê♥❣ ♥Õ✉ f (1) = 1✱ f (a + b) = f (a) + f (b) ✈➭ f (ab) = f (a)f (b) ✈í✐ ♠ä✐ a, b ∈ T ▼ét ➤å♥❣ ❝✃✉ tr➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝✃✉ ✭t♦➭♥ ❝✃✉✱ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✮ T ✈➭ K ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ➤➡♥ ➳♥❤ ✭t♦➭♥ ➳♥❤✱ s♦♥❣ ➳♥❤✮✳ ❍❛✐ tr➢ê♥❣ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ ♥❤❛✉✱ ✈✐Õt ❧➭ T ∼ = K ✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❣✐÷❛ ❝❤ó♥❣✳ ❚❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ♥❤❛✉✳ ❈ã ➤ó♥❣ ❤❛✐ ➤å♥❣ ❝✃✉ tõ ❝✃✉ ➤å♥❣ ♥❤✃t √ √ Q[ 5] ✈➭ Q[ 7] ❦❤➠♥❣ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ C ➤Õ♥ C ❣✐÷ ♥❣✉②➟♥ ❝➳❝ sè t❤ù❝✱ ➤ã ❧➭ ➤å♥❣ 1C ✈➭ ➤å♥❣ ❝✃✉ ϕ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ϕ(a + bi) = a − bi 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✹ ❈❤♦ ✸✳✸✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ♣❤➞♥ r➲ ❝đ❛ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ f (x) ∈ T [x]✳ ●ä✐ F ❧➭ tr➢ê♥❣ f (x) tr➟♥ T ✳ ➜➷t Gal(f ) = {ϕ : F → F | ϕ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tr➢ê♥❣✱ ϕ(a) = a, ∀a ∈ T } ❑❤✐ ➤ã Gal(f ) ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❤ỵ♣ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵✱ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ●❛❧♦✐s ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ✸✳✸✳✸ ❇ỉ ➤Ị✳ q✉② ✈í✐ ✭✐✮ f ❈❤♦ ♥❤ã♠ f (x) tr➟♥ T T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ f (x) ∈ T [x] ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ deg f = n ❑❤✐ ➤ã n ♥❣❤✐Ö♠ ➤➡♥ ♣❤➞♥ ❜✐Öt α1 , , αn ∈ C ❝ã ✭✐✐✮ ◆Õ✉ ϕ ∈ Gal(f ) t❤× ϕ(αi ) ❝ị♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, , n ➜➷❝ ❜✐Öt✱ Gal(f ) ❝ã t❤Ĩ ➤å♥❣ ♥❤✃t ✈í✐ ♠ét ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ Sn ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ●ä✐ ❝❤✉♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ ✭✐✐✮ ❉♦ f (x) ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ f ✳ ❱× f ❜✃t ❦❤➯ q✉② ♥➟♥ ➢í❝ f ✈➭ f ❧➭ ❉♦ ➤ã f ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❜é✐✳ f (αi ) = ✈➭ ϕ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ f ♥➟♥ t❛ ❝ã f (ϕ(αi )) = ϕ(f (αi )) = ❑Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ ♣❤Ð♣ t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝✃♣ ❝đ❛ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s ❝đ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❜é✐✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✳ ✸✳✸✳✹ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ♥❣❤✐Ư♠ ❜é✐✳ ●ä✐ ●❛❧♦✐s ❈❤♦ F T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ f (x) ∈ T [x] ❧➭ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ f tr➟♥ T✳ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❑❤✐ ➤ã ❝✃♣ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ Gal(f ) ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❜❐❝ ❝đ❛ ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ T ⊆ F ❙ư ❞ơ♥❣ ♠Ư♥❤ ➤Ị tr➟♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤Ĩ ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ s❛✉✳ ✸✳✸✳✺ ❱Ý ❞ơ✳ ❳➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ f (x) = x2 − ∈ Q[x] √ f (x) ❧➭ x1,2 = ± ❚r➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ f (x) √ √ tr➟♥ Q ❧➭ Q( 2) = {a + b | a, b ∈ Q} ❈❤ó ý r➺♥❣ f (x) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t √ ❦❤➯ q✉② ❝đ❛ ❱× t❤Õ √ | Gal(f )| = [Q( 2) : Q] = deg f = ❇➭✐ ❣✐➯✐✳ ❈➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✺ Gal(f ) = {1Q(√2) , ϕ}, tr♦♥❣ ➤ã 1Q(√2) ❧➭ tù ➤å♥❣ ❝✃✉ ➤å♥❣ ♥❤✃t ✈➭ ϕ √ ợ ị (a + b 2) = a − b ❱× t❤Õ ✸✳✸✳✻ ❱Ý ❞ơ✳ ❇➭✐ ❣✐➯✐✳ ❳➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ √ i ➜➷t = − + ❈➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) ❧➭ 2 √ √ √ 3 x1 = 2, x2 = , x3 = 2 ❱× t❤Õ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝đ❛ ✸✳✶✳✶✵✱ f (x) = x3 − ∈ Q[x] √ √ √ f (x) ❧➭ F = Q( 2, ) = Q( 2, i 3) ❚❤❡♦ ❱Ý ❞ô [F : Q] = ❱× f (x) ❜✃t ❦❤➯ q✉② ♥➟♥ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❜é✐✱ ✈× t❤Õ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳✹✱ ❝✃♣ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s Gal(f ) ❧➭ ú ý r ỗ tử Gal(f ) t ợ ị ết ❝➳❝ ➯♥❤ ϕ( 2) ✈➭ ϕ(i 3) √ ❱× ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ tr➟♥ Q ❧➭ x3 − ♥➟♥ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✸✳✸ t❛ ❝ã √ √ √ √ √ ϕ( 2) ∈ { 2, 2, 2} ➜❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ i tr➟♥ Q ❧➭ x2 + √ √ √ √ √ ➜❛ t❤ø❝ ♥➭② ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❧➭ i ✈➭ −i ❱× t❤Õ ϕ(i 3) ∈ {i 3, −i 3} ❚õ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ệ t tì ợ tử ủ ó ●❛❧♦✐s Gal(f ) ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ s❛✉ ➤➞②✿ √ √ √ √ ϕ0 = 1F : F −→ F ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ( 2) = ✈➭ ϕ(i 3) = i √ √ √ √ 3 ✷✮ ϕ1 : F −→ F ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ( 2) = ✈➭ ϕ(i 3) = −i √ √ √ √ 3 ✸✮ ϕ2 : F −→ F ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ( 2) = ✈➭ ϕ(i 3) = i √ √ √ √ 3 ✹✮ ϕ3 : F −→ F ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ( 2) = ✈➭ ϕ(i 3) = −i √ √ √ √ 3 ✺✮ ϕ4 : F −→ F ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ( 2) = 2 ✈➭ ϕ(i 3) = i √ √ √ √ 3 ✻✮ ϕ5 : F −→ F ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ( 2) = 2 ✈➭ ϕ(i 3) = −i ✶✮ f (x) = x4 − 5x2 + ∈ Q[x] √ √ ❇➭✐ ❣✐➯✐✳ f (x) ❝ã ✹ ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ ± 2, ± ❚r➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ f (x) ❧➭ √ √ F = Q( 2, 3) ❚❛ ❝ã √ √ √ √ [F : Q] = [Q( 2, 3) : Q( 2)][Q( 2) : Q] = ✸✳✸✳✼ ❱Ý ❞ơ✳ ❱× ❳➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s ❝đ❛ f (x) ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❜é✐ ♥➟♥ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳✹✱ ❝✃♣ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s Gal(f ) ú ý r ỗ tử ϕ ∈ Gal(f ) ❤♦➭♥ t♦➭♥ ➤➢ỵ❝ ①➳❝ 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✻ √ √ √ ϕ( 2) ✈➭ ϕ( 3) ➜❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ tr➟♥ √ Q ❧➭ x2 − ➜❛ t❤ø❝ ♥➭② ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ ± 2✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✸✳✸ t❛ ❝ã √ √ √ √ ϕ( 2) ∈ { 2, − 2} ➜❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ tr➟♥ Q ❧➭ x2 − ➜❛ √ √ √ √ t❤ø❝ ♥➭② ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❧➭ ± 3✳ ❱× t❤Õ ϕ( 3) ∈ { 3, − 3} ❚õ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ➤Þ♥❤ ❦❤✐ ết ệ t tì ợ ✷✮ ϕ1 ✸✮ ϕ2 ✹✮ ϕ3 ✸✳✹ ♣❤➬♥ tö ❝ñ❛ Gal(f ) ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ s❛✉ ➤➞②✿ √ √ √ √ = 1F : F −→ F ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ( 2) = ✈➭ ϕ( 3) = √ √ √ √ : F −→ F ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ( 2) = ✈➭ ϕ( 3) = − √ √ √ √ : F −→ F ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ( 2) = − ✈➭ ϕ( 3) = √ √ √ √ : F −→ F ❝❤♦ ❜ë✐ ϕ( 2) = − ✈➭ ϕ( 3) = − ợ tứ ị ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ f (x) ∈ T [x]✳ ❚❛ ♥ã✐ r➺♥❣ f (x) ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝ tr➟♥ T ♥Õ✉ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ f (x) tr➟♥ T ♥➺♠ tr♦♥❣ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❝➝♥ ♥➭♦ ➤ã ❝đ❛ T ◆ã✐ t❤❡♦ ❝➳❝❤ ❞Ơ ❤✐Ĩ✉ ❤➡♥✱ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❝➝♥ t❤ø❝ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝đ❛ ❝đ❛ f (x) ∈ T [x] ❧➭ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ f (x) ➤➢ỵ❝ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤❡♦ ❝➳❝ ❤Ư sè f (x) t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝é♥❣✱ trõ✱ ♥❤➞♥✱ ❝❤✐❛ ✈➭ ❦❤❛✐ ❝➝♥✳ ❇➞② ❣✐ê ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ 1, 2, 3, ❧➭ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ✸✳✹✳✷ ❱Ý ❞ơ✳ ✭✐✮ ❈❤♦ f (x) = ax + b ∈ T [x] ✈í✐ a = ◆❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) ❧➭ x = −b/a ❱× t❤Õ T ❧➭ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝đ❛ f (x) tr➟♥ T ✳ ❘â r➭♥❣ T ⊆ T ❧➭ ♠ë ré♥❣ t❤✉➬♥ tó② ❦✐Ĩ✉ 1✱ ❞♦ ➤ã ♥ã ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝➝♥✳ ❱× t❤Õ ♠ä✐ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ♥❤✃t ➤Ị✉ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ √ ✭✐✐✮ ❈❤♦ f (x) = x2 + bx + c ∈ T [x]✳ ➜➷t F = T (α), tr♦♥❣ ➤ã α = b2 − 4c ❑❤✐ ➤ã F ❧➭ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ f (x) tr➟♥ T ❚❛ ❝ã T ⊆ F ❧➭ ♠ë ré♥❣ t❤✉➬♥ tó② ❦✐Ĩ✉ ❦❤➠♥❣ q✉➳ 2✳ ❱× t❤Õ T ⊆ F ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝➝♥✳ ❉♦ ➤ã f (x) ❧➭ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝ tr➟♥ T 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✼ ✸✳✹✳✸ ❱Ý ❞ô✳ ❈❤♦ f (x) = x3 + qx + r ∈ T [x] ➜➷t B1 = T (α), tr♦♥❣ ➤ã 4q ❑❤✐ ➤ã T ⊆ B1 ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ t❤✉➬♥ t✉ý ❦✐Ó✉ ❦❤➠♥❣ q✉➳ 2✳ 27 4q 3 ➜➷t B2 = B1 (y), tr♦♥❣ ➤ã y = (−r + r + ) ❑❤✐ ➤ã B1 ⊆ B2 ❧➭ ♠ë 27 ré♥❣ t❤✉➬♥ t✉ý ❦✐Ó✉ ❦❤➠♥❣ q✉➳ 3✳ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❝❤♦ √ t❛ i ❧➭ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) ❧➭ y + z, y + z, y + z, tr♦♥❣ ➤ã = − + 2 ❝➝♥ ♥❣✉②➟♥ t❤✉û ❜❐❝ ❝đ❛ ➤➡♥ ✈Þ ✈➭ z ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö t❤♦➯ ♠➲♥ yz = −q/3 r2 + α= ❈❤ó ý r➺♥❣ z = −q/3y ∈ B2 ➜➷t B3 = B2 ( )✳ ❑❤✐ ➤ã B2 ⊆ B3 ❧➭ ♠ë ré♥❣ t❤✉➬♥ t✉ý ❦✐Ĩ✉ ❝đ❛ 3✳ ●ä✐ E ❧➭ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ f (x) tr➟♥ T ✳ ❱× ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ f (x) ➤Ị✉ ❝❤ø❛ tr♦♥❣ B3 ♥➟♥ E ⊆ B3 ❱× T ⊆ B3 ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝➝♥ ♥➟♥ f (x) ❧➭ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ✸✳✹✳✹ ❱Ý ❞ô✳ ❈❤♦ f (x) = x4 + qx2 + rx + s ∈ T [x] ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ❜➭♥ ❜➵❝ ✈Ị ❝➠♥❣ t❤ø❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ñ❛ ❉❡s❝❛rt❡s ë ❝✉è✐ ❈❤➢➡♥❣ ✷✱ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✃② r➺♥❣ ❝❤Ø ❝➬♥ t×♠ ❝➳❝ sè ❝đ❛ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ k, l, m ❧➭ ➤đ✳ ❱× k ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ T [x] ♥➟♥ t❤❡♦ ✈Ý ❞ô tr➟♥✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❝➝♥ T ⊆ B1 ⊆ B2 ⊆ B3 s❛♦ ❝❤♦ k ∈ B3 ➜➷t B4 = B3 (k) ❑❤✐ ➤ã B3 ⊆ B4 ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ t❤✉➬♥ t✉ý ❦✐Ó✉ ❦❤➠♥❣ q✉➳ ❱× 2m = k + q + r/k ✈➭ 2l = k + q − r/k ♥➟♥ l, m ∈ B4 ✳ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❝❤♦ t❛ f (x) ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ (x2 +kx+k)(x2 −kx+m) √ √ ➜➷t B5 = B4 ( k − 4l) ✈➭ B6 = B5 ( k − 4m) ❑❤✐ ➤ã B4 ⊆ B5 ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❝đ❛ B5 ⊆ B6 ❧➭ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ t❤✉➬♥ t✉ý ❦✐Ó✉ ❦❤➠♥❣ q✉➳ 2✳ ❉♦ ➤ã T ⊆ B6 ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❝➝♥✳ ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❜❐❝ 4✱ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) ➤Ò✉ t❤✉é❝ B6 ✳ ●ä✐ E ❧➭ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ r➲ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ f (x) tr➟♥ T ❑❤✐ ➤ã E B6 ì f (x) ợ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ❑Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞②✱ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ị í ủ s t ữ t ❝❤✉➮♥ ❤♦➭♥ ❤➯♦ ♥❤✃t ✈Ị tÝ♥❤ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝✳ ✸✳✹✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ r➲ ❝đ❛ ✭✐✮ ❈❤♦ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ f (x) ∈ T [x] ●ä✐ F ❧➭ tr➢ê♥❣ ♣❤➞♥ f (x) tr➟♥ T ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ f (x) ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✽ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ Gal(f ) ❧➭ ♥❤ã♠ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝✳ T ⊆F ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝➝♥✳ ◆❤➢ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ tr➟♥✱ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ✶✱✷✱✸✱✹ ❧✉➠♥ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ P❤➬♥ ❝✉è✐ ❝đ❛ t✐Õt ♥➭② ♥❤➺♠ ❝❤Ø r❛ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ✈Ị ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ➜Ĩ ❧➭♠ ➤✐Ị✉ ♥➭②✱ t❛ ❝➬♥ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❜ỉ trỵ s❛✉ ➤➞②✳ ✸✳✹✳✻ ❇ỉ ➤Ị✳ ✭❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❊✐s❡♥st❡✐♥✮ ✳ ❈❤♦ f = an xn + + a1 x + a0 ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ư sè ♥❣✉②➟♥✳ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ ❝đ❛ an , ❝➳❝ ❤Ư sè an−1 , , a0 ➤Ò✉ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p s❛♦ ❝❤♦ p ❦❤➠♥❣ p ✈➭ p2 ❦❤➠♥❣ ❧➭ ➢í❝ a0 ❑❤✐ ➤ã f (x) ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr♦♥❣ Q[x] ✸✳✹✳✼ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ ❦❤➯ q✉② ✈í✐ ❜❐❝ T ⊆R ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ f (x) ∈ T [x] ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t n ≥ ◆Õ✉ n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ f (x) ❝ã ➤ó♥❣ n − ♥❣❤✐Ư♠ t❤ù❝ t❤× ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s Gal(f ) ❝đ❛ f (x) tr➟♥ T ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ Sn ❇➞② ❣✐ê t❛ ❝ã t❤Ó ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ✸✳✹✳✽ ❱Ý ❞ô✳ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜❛ t❤ø❝ ➜➷t sè ♥❣✉②➟♥ tè x5 − 4x2 + ∈ Q[x] ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ f (x) = x5 − 4x2 + ❚❤❡♦ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❊✐s❡♥st❡✐♥ ➳♣ ❞ơ♥❣ ✈í✐ p = t❛ s✉② r❛ f (x) ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Q✳ ❚❛ ❝ã f (−1) = −3; f (0) = 2; f (1) = −2; f (2) = 18 ❱× f (x) ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ R ♥➟♥ f ❝ã Ýt ♥❤✃t ❜❛ ♥❣❤✐Ö♠ ♥➺♠ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦❤♦➯♥❣ (−1, 0), (0, 1), (1, 2) ❚❛ ❝ã f (x) = 5x4 − 8x = x(5x3 − 8) ❉♦ ➤ã f (x) ❝ã ✳ ❱× t❤Õ f (x) ❝❤Ø ❝ã ➤ó♥❣ ♠ét ➤ó♥❣ ❤❛✐ ♥❣❤✐Ư♠ t❤ù❝ ❧➭ x1 = ✈➭ x2 = ❣✐➳ trÞ ❝ù❝ ➤➵✐ ✈➭ ♠ét ❣✐➳ trÞ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ tr➟♥ R✳ ❚õ sù ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ f (x)✱ t❛ s✉② r❛ tr➟♥ f (x) ❝ã ➤ó♥❣ ♥❣❤✐Ư♠ t❤ù❝✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị tr➟♥✱ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s Gal(f ) Q ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ S5 ✳ ❱× S5 ❧➭ ♥❤ã♠ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ♥➟♥ 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✾ Gal(f ) ó ợ ị í ủ ●❛❧♦✐s✱ ➤❛ t❤ø❝ f (x) ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ✸✳✹✳✾ ❱Ý ❞ô✳ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ x5 − 6x2 + ∈ Q[x] ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ➜➷t f (x) = x5 − 6x2 + ❑❤✐ ➤ã f (x) ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② t❤❡♦ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❊✐s❡♥st❡✐♥ ➳♣ ❞ơ♥❣ ✈í✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè p = ◆❤×♥ ✈➭♦ ➤å t❤Þ ❝đ❛ f (x) t❛ t❤✃② r➺♥❣ f (x) ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ t❤ù❝ ✭①✃♣ ①Ø −1, 7; 0, 5; 1, 4✮ ✈➭ ✷ ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤ø❝ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣✿ f t➝♥❣ tõ −∞ ➤Õ♥ ➤✐Ĩ♠ ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐ t➵✐ x0 = ✈í✐ f (x0 ) > 0✱ s❛✉ ➤ã ❣✐➯♠ ➤Õ♥ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ t➵✐ x1 = − ✈í✐ f (x1 ) < ❚❛ ❝ß♥ ❝ã f (−2) < 0; f (−1) > 0; f (1) < ❱× t❤Õ ♥❤ã♠ ●❛❧♦✐s Gal(f ) tr➟♥ Q ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❧í♥ ❝đ❛ ●❛❧♦✐s✱ S5 ✳ ❱× t❤Õ Gal(f ) ❧➭ ♥❤ã♠ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝✳ ❚❤❡♦ f (x) ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ❇➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ t➢➡♥❣ tù✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ ➤❛ t❤ø❝ s❛✉ ➤➞② ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ✸✳✹✳✶✵ ❱Ý ❞ơ✳ x5 − 35x4 + ∈ Q[x] ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉ t❤ø❝ t❤× ✈í✐ ♠ä✐ f (x) ∈ T [x] ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ n ≥ 5, ➤❛ t❤ø❝ (x − 1)n−deg f f (x) ∈ T [x] ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ n ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ ◆❤➢ ỗ tứ n tồ t➵✐ ➤❛ n ❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➝♥ t❤ø❝✳ 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬❚r❪ ◆❣➠ ❱✐Öt ❚r✉♥❣✱ ▲ý t❤✉②Õt ●❛❧♦✐s✱ ◆❳❇ ➜❍◗● ❍➭ ◆é✐ ✭✷✵✵✻✮✳ ❬❆r❪ ❊✳ ❆rt✐♥✱ ●❛❧♦✐s ❚❤❡♦r②✱ ❉♦✈❡ P✉❜❧✐❝❛t✐♦♥s ✭✶✾✾✽✮✳ ❬❊s❝❪ ❏✳ P✳ ❊s❝♦❢✐❡r✱ ●❛❧♦✐s ❚❤❡♦r②✱ ❙♣r✐♥❣❡r ✭✷✵✵✹✮✱ ❚❤✐r❞ ❊❞✐t✐♦♥✳ ❬❘♦t❪ ❏✳ ❘♦t♠❛♥✱ ●❛❧♦✐s ❚❤❡♦r②✱ ❙♣r✐♥❣❡r ✭✷✵✵✶✮✱ ❙❡❝♦♥❞ ❊❞✐t✐♦♥✳ ❬❙t❪ ■✳ ❙t❡✇❛rt✱ ●❛❧♦✐s ❚❤❡♦r②✱ ❈❤❛♣♠❛♥ ❛♥❞ ❍❛❧❧ ✭✶✾✽✾✮✳ ✹✵ 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✶ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❜➯♦ ✈Ư tr➢í❝ ❤é✐ ➤å♥❣ ❝❤✃♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❣➭② ✵✾ t❤➳♥❣ ✾ ♥➝♠ ✷✵✶✶ ✈➭ ➤➲ ❝❤Ø♥❤ sư❛ ✈í✐ ❝➳❝ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝đ❛ ❝➳❝ t❤➬②✱ ❝➠ tr♦♥❣ ❤é✐ ➤å♥❣✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ♥❣➭② ✶✵ t❤➳♥❣ ✾ ♥➝♠ ✷✵✶✶ ❳➳❝ ♥❤❐♥ ❝đ❛ ❝➳♥ ❜é ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝ P●❙✳❚❙ ▲➟ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ▼ë ➤➬✉ ▲ý t❤✉②Õt trì số ó ị sử từ rt ❧➞✉ ➤ê✐✳ ❚õ tr➢í❝ ❝➠♥❣ ♥❣✉②➟♥✱ ❝➳❝❤... ♠ét ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❦❤➳❝ ✭✶✻✸✼✮✱ ➤ã sử ụ ệ số t ị ét trì ❜❐❝ ❜è♥ X + aX + bX + cX + d = ❚❤❛② a X = x t ợ trì x4 + px2 + qx + r = 2 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn... ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè trì ụ tể ợ ❝➝♥ t❤ø❝✳ 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ▼ét sè ✈✃♥ ề tr ị sử trì tứ ▼ét sè ✈✃♥ ➤Ị ✈Ị ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣