phương trình đạo hàm riêng cơ bản phương trình đạo hàm riêng cơ bản phương trình đạo hàm riêng cơ bản phương trình đạo hàm riêng cơ bản phương trình đạo hàm riêng cơ bản phương trình đạo hàm riêng cơ bản phương trình đạo hàm riêng cơ bản phương trình đạo hàm riêng cơ bản
CHƯƠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TỐN §1 PHÂN LOẠI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH CẤP VỚI CÁC BIẾN ĐỘC LẬP Phân loại phương trình: Khi khảo sát tốn vật lí, ta nhận phương trình đạo hàm riêng cấp dạng: n n ∂ 2u ∂u a ( x ) + (1) ∑ i, j ∂x ∂y ∑ bi ( x ) ∂x + c(x )u = d(x ) i , j=1 i = i j i Trong aij(x), bi(x), c(x) d(x) hàm nhiều biến cho x = (x1, x2, xn) u(x) hàm cần xác định Trong thực tế ta thường gặp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp với hai biến độc lập dạng: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u (2) a + 2b + c + d + e + gu = h ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y Trong a, b, c, d, g, h hàm hai biến x y Trong giáo trình ta xét phương trình dạng (2) Để đơn giản ta viết lại (2): ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u a + 2b + c + Φ⎜⎜ x, y, u, , ⎟⎟ = (3) y x ∂ ∂ ∂y ∂x∂y ∂x ⎠ ⎝ Các phương trình phân thành loại sau: Phương trình hyperbolic: ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ 2u = Φ1 ⎜⎜ x, y, u, , ⎟⎟ ∂x ∂y ⎠ ∂x∂y ⎝ Phương trình eliptic: ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ 2u ∂ 2u + = Φ ⎜⎜ x, y, u, , ⎟⎟ ∂x ∂y ⎠ ∂y ∂x ⎝ Phương trình parabolic: ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ 2u ⎜ = Φ , ⎟⎟ x , y , u , ⎜ ∂ ∂y ⎠ ∂x x ⎝ Các tốn phương trình vật lí - tốn: a Bài tốn Cauchy tốn hỗn hợp phương trình truyền sóng: Một phương trình truyền sóng phương trình dạng hyperbolic Phương trình truyền sóng dạng tắc là: ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ∂ u ( x, y, z, t ) 2⎛ ∂ u = a ⎜⎜ + + ⎟⎟ + f1 (x, y, z, t ) ∂z ⎠ ∂y ∂t ⎝ ∂x Giả sử ta cần xác định hàm u(x, y, z, t) miền V t ≥ V giới hạn mặt biên kín trơn S với điều kiện đầu: u ( x, y, z, t ) t =0 = u o ( x, y, z) ∂u = u ∗o ( x , y, z) ∂t t =0 điều kiện biên: 150 u ( x, y, z, t ) ( x ,y ,z )∈S = u1 ( x, y, z) Bài tốn giải phương trình với điều kiện đầu điều kiện biên gọi tốn hỗn hợp phương trình truyền sóng Nếu ta xét toán miền cách xa biên mà điều kiện biên khơng có tác dụng ta gặp tốn Cauchy với điều kiện đầu xét tồn khơng gian b Bài tốn Cauchy tốn hỗn hợp phương trình truyền nhiệt: Cho phương trình truyền nhiệt dạng tắc: ∂u ( x, y, z, t ) ∂ 2u ∂ 2u ⎞ 2⎛ ∂ u = a ⎜⎜ + + ⎟⎟ + f1 (x, y, z, t ) ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x Khi tốn hỗn hợp phương trình truyền nhiệt tốn tìm nghiệm phương trình với điều kiện đầu điều kiện biên: u ( x, y, z, t ) t =0 = u o ( x, y, z) u ( x, y, z, t ) ( x ,y ,z )∈S = u1 ( x, y, z) Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt tốn tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt tồn khơng gian §2 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOLIC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Bài tốn Cauchy - Phương trình sóng dây vơ hạn nửa vơ hạn: Bài tốn Cauchy phương trình hyperbolic trường hợp biến xác định sau: ∂ u ( x, t ) ∂ u =a -∞ ≤ x ≤ ∞ , t ≥ (1) ∂x ∂t với điều kiện ∂u u ( x , t ) t =0 = u o ( x ) ; = u1 ( x ) (2) ∂t t =0 Đây toán dao động tự dây dài vơ hạn Để giải phương trình (1) ta biến đổi cách dùng biến: ξ = x + at (3) η = x − at nghĩa là: ξ−η ξ+η t= x= 2a Ta có: ∂~ u ∂~ u ∂~ u = + ∂x ∂ξ ∂η ⎛ ∂~ ∂~ u⎞ u u ∂~ = a ⎜⎜ − ⎟⎟ ∂t ⎝ ∂ξ ∂η ⎠ ∂ 2~ ∂ 2~ u u ∂ 2~ u ∂ 2~ u = + + 2 2 ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 151 2~ u ∂2~ u⎞ ∂ 2~ ∂ 2~ u 2⎛ ∂ u = a ⎜⎜ − + ⎟⎟ ∂t ∂ξ∂η ∂η ⎠ ⎝ ∂ξ Thay vào (2.1) ta có: ∂ 2~ u⎞ u ∂ ⎛ ∂~ ⎜⎜ ⎟⎟ = = hay ∂ξ∂η ∂η ⎝ ∂ξ ⎠ ∂~ u Suy ra: = ϕ1(ξ) với ϕ1(ξ) hàm tuỳ ý ∂ξ Như vậy: ~ u (ξ, η) = ∫ φ1 (ξ )dξ + ψ(η) với ψ(η) hàm tuỳ ý Từ ta có: ~ u (ξ, η) = ϕ(ξ) + ψ(η) hay: u(x, t) = ϕ(x + at) + ψ(x - at) (3) Trong ϕ ψ hàm tuỳ ý, liên tục khả vi lần Nghiệm (3) gọi nghiệm tổng (1) Từ (3) tính đến điều kiện (2) ta có: (4) ϕ(x) + ψ(x) = uo(x) aϕ(x) - aψ(x) = u1(x) (5) Lấy tích phân hai vế (5) ta có: x a[φ( x ) − φ(0)] − a[ψ( x ) − ψ(0)] = ∫ u1 (θ)dθ Vậy nên: 1x φ( x ) − ψ( x ) = ∫ u1 (θ)dθ + C a0 với C = ϕ(0) - ψ(0) Từ (4) (6) rút ra: ⎧ 1 x C = + + φ ( x ) u ( x ) u ( θ ) d θ o ∫ ⎪ 2a ⎪ ⎨ x ⎪ψ( x ) = u ( x ) − u (θ)dθ − C o ∫ ⎪⎩ 2a Đặt hệ thức vào (3) ta nghiệm: x +at u ( x, t ) = [u o ( x + at ) + u o ( x − at )] + ∫ u1 (θ)dθ 2a x −at Đây cơng thức D’Alembert Ví dụ 1: Giải phương trình: ∂ 2u ∂ u =a -∞ < x < ∞, t ≥ ∂t ∂x với điều kiện: x u ( x , t ) t =0 = = u o (x) 1+ x2 (6) 152 ∂u = sinx = u1 ( x ) ∂t t =0 Áp dụng công thức D’Alembert ta có: ⎡ x + at x + at ⎤ + sinatsinx u ( x, t ) = ⎢ + ⎣1 + ( x + at ) + ( x − at ) ⎥⎦ a Ví dụ 2: Giải phương trình: ∂ 2u ∂ u =a -∞ < x < ∞, t ≥ ∂t ∂x với điều kiện: sin x u ( x , t ) t =0 = = u o (x) x ∂u = = u1 ( x ) ∂t t =0 + x Áp dụng cơng thức D’Alembert ta có: ⎡ ⎤ 2at xsinxcosat − atcosxsinat + arctg ⎢ u ( x, t ) = 2 2⎥ x − (at ) 2a ⎣1 + x − (at ) ⎦ đặt arctg(x + at) - arctg(x - at) = α ta có: tg[arctg( x + at )] − tg[arctg( x − at )] ( x + at ) − ( x − at ) = tgα = + tg[arctg( x + at )]× tg[arctg( x − at )] + ( x + at )( x − at ) 2at = + x − (at ) Ví dụ 3: Giải phương trình: ∂ 2u ∂ u = a -∞ < x < ∞, t ≥ ∂t ∂x với điều kiện: u ( x , t ) t =0 = x = u o ( x ) ∂u = sin x = u1 ( x ) ∂t t =0 u ( x , t ) x =0 = Trước hết để tìm nghiệm tốn ta kéo dài lẻ hàm uo(x) = x2 u1(x) = sin2x hàm: ⎧x x≥0 ∗ uo = ⎨ ⎩− x x < ⎧sin x x≥0 u =⎨ ⎩− sin x x < Áp dụng công thức D’Alembert cho hàm ta có: ∗ 153 u ( x, t ) = [ ] ∗ x +at ∗ u o ( x + at ) + u ∗o ( x − at ) + ∫ u1 (θ)dθ 2a x −at [ ] t≤ x a [ ] t> x >0 a ⎧1 x +at 2 ⎪ ( x + at ) + ( x − at ) + 2a ∫ sin (θ)dθ x −at ⎪ =⎨ x + at ⎪ ( x + at ) − ( x − at ) + ⎡ sin (θ)dθ − sin (θ)dθ ⎤ ∫ ∫ ⎥ ⎪⎩ 2a ⎢⎣ x −at ⎦ t x ⎧ 2 + + − ≤ x a t cos x sin at t ⎪⎪ 4a a =⎨ ⎪2axt + [2 x − sin2 xcos2at ] ⎪⎩ 4a Ví dụ 4: Giải phương trình điện báo: ∂ u RC + LG ∂u RG ∂ 2u + + u − =0 ∂t LC ∂t LC LC ∂x ∂ 2i RC + LG ∂i RG ∂ 2i + + i− =0 ∂t LC ∂t LC LC ∂x Trong trường hợp: - Dây không tổn hao R = G = - Dây không méo RC = LG ) Trường hợp dây khơng tổn hao: Khi phương trình có dạng: ∂ 2u ∂ u a = ∂x ∂t 2 ∂ 2i ∂ i a = ∂x ∂t Trong a = LC Giả sử điều kiện ban đầu biết là: ⎧⎪u ( x , t ) t =0 = u o ( x ) -∞ < x < ∞, y > ⎨ ⎪⎩i( x, t ) t =0 = i o ( x ) Với R = G = ta có điều kiện phương trình điện báo: ∂u = − io(x) ∂t t =0 C ∂i = − u o (x) ∂t t =0 C Từ áp dụng cơng thức D’Alembert ta được: x +at u ( x, t ) = u o ( x + at ) + u o ( x − at ) − ∫ i o (θ)dθ 2aC x −at [ ] 154 (0 ≤ x < l, t > 0), h số cho x thoả mãn x − l π ≤ chứa khoảng 2h (0, l) Như ta cần giải phương trình: ∂ 2u ∂ u = a ∂x ∂t với điều kiện đầu cho điều kiện biên: u ( x , t ) t =0 ≡ ; u ( x , t ) x =l = u ( x , t ) x =l = Như vậy, uo(x) ≡ nên: ak ≡ 4v o l l kπ l kπ kπ h bk = ∫ u1 ( x ) sin l xdx = kπa ∫ v o sin l xdx = k π 2a sin kπa 0 kπ kπ h sin ∞ sin 4v l sin kπat sin kπx và: u ( x, t ) = o ∑ π a k =1 k l l c Bài tốn 2: Giải phương trình ∂ 2u ∂ u + f (x, t ) =a ≤ x ≤ l, ≤ t ≤ T ∂x ∂t với điều kiện: ∂u = u1 ( x ) u ( x , t ) t =0 = u o ( x ); ∂t t =0 u ( x , t ) x =0 = 0; u ( x , t ) x =l = Bài tốn mơ tả q tình truyền sóng dây hữu hạn có tác động lực cưỡng bên với hai đầu dây cố định Dạng ban đầu dây uo(x) vận tốc ban đầu dây cho u1(x) Ta giải toán phương pháp phân ly biến số Fourier Ta tìm nghiệm dạng: ∞ kπx u ( x , t ) = ∑ Tk ( t ) sin (1) l k =1 Ta giả sử hàm uo(x) u1(x) khai triển dạng chuỗi Fourier theo sin khoảng [0, l], ta có: ∞ kπx u o ( x ) = ∑ Tk (0) sin l k =1 l kπ hay: Tk (0) = ∫ u o ( x ) sin xdx l0 l ∞ kπx u1 ( x ) = ∑ Tk′ (0) sin l k =1 l kπ hay: Tk′ (0) = ∫ u o ( x ) sin xdx l0 l Mặt khác lấy đạo hàm hai lần u(x, t) (1) theo x t ta có: 158 ⎧∂ 2u ∞ kπx ⎪ ∂t = ∑ Tk′′( t ) sin l k =1 ⎪ ⎨ 2 ∞ ⎪ ∂ u = − T ( t )⎛⎜ kπ ⎞⎟ sin kπx ∑ k ⎪⎩ ∂x l k =1 ⎝ l ⎠ Khai triển hàm f(x, t) theo sin: ∞ kπx f ( x , t ) = ∑ C k sin l k =1 Trong đó: 2l kπ C k = ∫ f ( x, t ) sin xdx l0 l Đặt điều kiện vào phương trình u(x, t) ta có: ∞ ⎡ ⎤ akπ ⎞ kπx ⎛ ′ ′ + − T ( t ) T ( t ) C ( t ) =0 ⎜ ⎟ ⎥ sin ∑⎢ k k k l l k =1 ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Từ suy Tk(t) (1) nghiệm phương trình tuyến tính cấp hệ số hằng: akπ ⎞ ⎛ Tk′′( t ) + ⎜ ⎟ Tk ( t ) = C k ( t ) ⎝ l ⎠ thoả mãn điều kiện đầu điều kiện biên Ví dụ 1: Giải phương trình ∂ 2u ∂ 2u = +1 ≤ x ≤ 1, ≤ t ∂t ∂x với điều kiện: ∂u =1 u ( x , t ) t =0 = 0; ∂t t =0 u ( x , t ) x =0 = u ( x , t ) x =l = Ta tìm nghiệm dạng (1) Trong ví dụ f(x, t) ≡ Như vậy: 2l kπ C k = ∫ f ( x, t ) sin xdx = 2∫ sin kπxdx = (1 − cos kπ ) l0 l kπ ⎧4 k = 2n − ⎪ hay: C k = ⎨ kπ ⎪⎩0 k = 2n Mặt khác u1(x) ≡ 1, uo(x) ≡ nên ta suy ra: ⎧4 l l k = 2n − ⎪ Tk = ∫ u1 ( x ) sin kπxdx = ∫ sin kπxdx = ⎨ kπ 0 ⎪⎩0 k = 2n Vậy với k chẵn ta phải giải phương trình vi phân thường: T2′′n ( t ) + (2nπ) T2 n ( t ) = với điều kiện: T2n(0) = 0; T2′n (0) = Như T2n(t) ≡ 159 ... nhiệt tồn khơng gian §2 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOLIC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Bài tốn Cauchy - Phương trình sóng dây vơ hạn nửa vơ hạn: Bài tốn Cauchy phương trình hyperbolic trường hợp biến... trình với điều kiện đầu điều kiện biên: u ( x, y, z, t ) t =0 = u o ( x, y, z) u ( x, y, z, t ) ( x ,y ,z )∈S = u1 ( x, y, z) Bài toán Cauchy phương trình truyền nhiệt tốn tìm nghiệm phương trình. .. hợp phương trình truyền nhiệt: Cho phương trình truyền nhiệt dạng tắc: ∂u ( x, y, z, t ) ∂ 2u ∂ 2u ⎞ 2⎛ ∂ u = a ⎜⎜ + + ⎟⎟ + f1 (x, y, z, t ) ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x Khi tốn hỗn hợp phương trình truyền