Slide 1 1 Chương 4 Tích phân số Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM

Slide 1 1 Chương 4 Tích phân số Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí IUH 2022 ThS Hồ Thị Bạch Phương Tích phân 2 Tích phân không xác định Tích phân không xác định khác nhau ở giá trị.

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí Chương 4: Tích phân số ThS Hồ Thị Bạch Phương IUH - 2022 Tích phân Tích phân khơng xác định Tích phân xác định x  x dx   c Tích phân khơng xác định khác giá trị c x 0 xdx   Tích phân xác định số cụ thể Nếu f liên tục khoảng [a,b] F nguyên hàm f  b a f(x)dx  F(b)  F(a) Tích phân = diện tích (A) đường cong b A   f(x)dx f(x) a Cơng thức hình chữ nhật Khoảng [a,b] chia thành khoảng nhỏ P  a  x  x1  x   x n  b Định nghĩa: mi  f (x) : x i  x  x i1 A a b f(x) M i  max f (x) : x i  x  x i1 n 1 Tổng L(f ,P)   m i  x i1  x i  i 0 n 1 Tổng U(f ,P)   M i  x i1  x i  i 0 x0 x1 x2 x3 a b n 1 L(f ,P)   m i  x i1  x i  Tổng i 0 n 1 Tổng U(f ,P)   M i  x i1  x i  f(x) i 0 Ước tính tích phân  L  U UL  Sai số Ví dụ 1:  a b x0 x1 x2 x3 x dx   P  0, , , ,1 n = 4: Chia khoảng  4  1 , m  , m3  16 16 1 M  , M1  , M  , M3  16 16 m0  0, m1  x i1  x i  cho i  0,1,2,3 4TS Lê T P Nam Tổng L(f ,P)  n 1 m x i 0 i i 1  xi  1 1  14 L(f ,P)  0       16 16  64 Tổng U(f ,P)  n 1 M x i 0 i i 1  xi  1 1  30 U(f ,P)      1  16 16  64 4   Ước tính tích phân       0.34375  64 64  32 30 14 11  30 14       64 64  Sai số • Ước tính dựa tổng hình chữ nhật dễ để đạt cho hàm đơn điệu (luôn tăng luôn giảm) • Hàm khơng đơn điệu, tìm cực trị hàm khó khăn phương pháp khác khả thi Phương pháp Newton-Cotes  Phương pháp Newton-Cotes, hàm xấp xỉ đa thức n  Tính tích phân đa thức dễ dàng  b  b a a f ( x)dx   b a a  n  a x   a x dx n (b  a ) (b n 1  a n 1 ) f ( x)dx a0 (b  a)  a1   an n 1  Phương pháp Trapezoid (Đa thức bậc dùng)  b a f (x)dx   b a  a  a1x  dx  Qui tắc 1/3 Simpson (Đa thức bậc dùng)  b a f (x)dx   b a a  a x  a x   dx Phương pháp Trapezoid (Cơng thức hình thang) b f (b)  f (a) f (a)  ( x  a) ba f(x) I   f ( x)dx a f (b)  f (a )   I    f (a)  ( x  a ) dx a ba   b b f (b)  f (a )     f (a)  a x ba   a  a b b f (b)  f (a ) x ba a f (b)  f (a )  b  a  Phương pháp Trapezoid f(x) f (b) f (a) ba A  f (a)  f (b)  a b Phương pháp Trapezoid Khoảng [a,b] chia thành n khoảng nhỏ f (x )  f (x1 ) A2  x  x1   f(x) a  x  x1  x   x n  b  b a f (x)dx  Tổng diện tích trapezoid x x0 a x1 x2 x3 b Phương pháp Trapezoid Công thức tổng quát trường hợp đặc biệt Nếu khoảng chia thành n phần (không cần thiết chia đều) a  x  x1  x   x n  b  b a n 1 f (x)dx    x i1  x i  f (x i1 )  f (x i )  i 0 Trường hợp đặc biệt (Chia khoảng) x i1  x i  h for all i  10 b a n 1 1  f (x)dx  h  f (x )  f (x n )    f (x i )  i 1 2  Khi ba d ba ba x t 2 ba dx  dt Thay giá trị x, dx vào tích phân b  a 32 baba ba f ( x )dx   f  t dt  2  1  Ví dụ 7: Dùng tích phân Gauss với điểm để tính tích phân: e Giải:  x2 dx Đổi khoảng từ [0, 2] đến [-1, 1] b  a baba ba f ( x )dx   f  t dt  2  1  e  (t 1)2 dt 1  f (t)dt  c f (t )  c f (t 1 2 ) 1  1 f (t) dt  1* e  ( 0.577531)2 = 0.9195 33  1* e  (0.577531)2 Ví dụ 8: Tính tích phân f(x) từ a = tới b = 0.8 với tích phân Gauss điểm f (x)  0.2  25x  200x  675x  900x  400x Giá trị xác: 1.64053 Giải: - Biến đổi từ [0, 0.8] tới [-1, 1] baba ba f ( x )dx   f  t dt  2  1  b  a I 0.8 (0.8  0)  (0.8  0)t  0.8   f (x)dx  f dt   1 2    0.4  f  0.4t  0.4 dt 1 34 Hoặc thay x = 0.4t + 0.4 vào tích phân I  0.4  f  0.4t  0.4 dt 1 0.2  25(0.4t  0.4)  200(0.4t  0.4)   0.4   dt  1  675(0.4t  0.4)  900(0.4t  0.4)  400(0.4t  0.4)  Chọn công thức điểm: I  0.4  f  t dt t  0.57735, c  1 1 I  0.51674  1.30583  1.82257 Sai số: (|1.64053 – 1.82257|/1.64053)*100 = 11.096% Vì điểm xác đến bậc 35  f (t)dt  c f (t )  c f (t I  0.4  f  0.4t  0.4 dt 1 Công thức điểm: 1 2 )  c3f (t ) 1 0.2  25(0.4t  0.4)  200(0.4t  0.4)   0.4   dt 5 1  675(0.4t  0.4)  900(0.4t  0.4)  400(0.4t  0.4)  n ti ci ±0.77459 0.88889 0.55556 I  0.28130  0.87325  0.48600  1.64055 Sai số: (|1.64053 – 1.64055|/1.64053)*100 = 0.0012% 36 Tích phân chiều  1    ,  3  y  1   ,  3   x I  1 1 f (x, y) dxdy  1    ,  3  I  1 1  1   ,  3  f (x, y) dxdy  n      c jf (x, y j )  dx 1  j1  n n   ci c jf (x i , y j ) i 1 j1 n 37 Dùng cơng thức tích phân Gauss chiều cho x Dùng cơng thức tích phân Gauss chiều cho y n   cijf (x i , y j ) i 1 j1 Mà cij =cicj TS Lê T P Nam Với tích phân Gauss cho điểm n=2 2 I   cijf (x i , y j ) cij =ci cj=1 i 1 j1 1 1 1 1  f( , )  f ( , )  f ( , )f( , ) 3 3 3 3 Số điểm tích phân (n x n) Gauss IP=1,2,3,4 I  1 1 f (x, y) dxdy   c IPf IP IP 1 Công thức I  1 1 2 f (x, y) dxdy   cijf (x i , y j ) i 1 j1 Một n2 tính xác cho đa thức bậc (2n-1) 38 Thu gọn hệ lực phân bố Chúng ta giả sử có lực áp suất phân bố mặt phẳng sau: Trị số lực tổng FR FR   F FR   w(x)dx   dA  A L Vị trí FR A : Diện tích A  M R O   MO  xFR    xw(x)dx L x 39  xw(x)dx  xdA L  w(x)dx L  A  dA A Ví dụ 9: Xác định trị số lực tổng FR: Giải Khi hàm w = w(x) cho trước, toán giải cách lấy tích phân FR   F Diện tích dA = wdx = 60x2dx x  FR   w(x)dx   dA  A   60x dx  60    0 L A Tính xác: 40  23 03   60     160N 3 3 Tính với pp Gauss: 2 FR   w(x)dx   dA  A   60x dx  60  x 2dx L A Biến đổi khoảng [0, 2] thành [-1,1] theo công thức b  a baba 2020 ba 20 f ( x )dx   f  t dt  f t  dt     2  2  1  1  1    t  1 dt 1 Chọn điểm ci ti từ bảng giá trị Gauss n 1 i 1 c1 = 1.00000 c2 = 1.000000 x1 = -0.577350269 x2 = 0.577350269 = 60*[1*(-0.577350269 + 1)2 + 1*(0.577350269 + 1)2] f (t)dt  c f (t )  i i  = 159.9930 Sai số = ((160 – 159.9930)/160 )*100= 0.004375% 41 Bài tập: Tích tính phân  x 3dx Bằng cơng thức hình chữ nhật hình thang Chia khoảng [1,2] khoảng Δx = h = 0.25 Đáp án: Cơng thức hình chữ nhật 3.725 hình thang 3.8 Dùng cơng thức hình thang tính tích phân  1  e  dx 2x Với đoạn [0, 4] chia thành khoảng Tính sai số cho trường hợp biết giá trị xác 3.500168 Đáp án: 42 n  2; 2.963033  t  15.35% n  4;3.343703  t  4.47% Dùng cơng thức hình thang tính tích phân   /2 (6  3cos x) dx Với đoạn [0, π/2] chia thành (n =2) (n =4) khoảng Tính sai số cho trường hợp biết giá trị xác 12.42478 Đáp án: n  2; 12.26896 n  4;12.38613  t  1.254%  t  0.311% Dùng cơng thức hình thang tính tích phân từ bảng liệu sau 43 Dùng cơng thức tích phân Gauss điểm để tích tích phân sau Và tính sai số trường hợp 3  I    2x   ; chinh xac 25.83333 x  Đáp án: điểm 25.8067 sai số 0.103% điểm 25.8322 sai số 0.0044% I   xe x dx; chinh xac 41.17107 Đáp án: điểm điểm 44 39.6075 41.1313 sai số sai số 3.7977% 0.09657% Cho dầm chịu lực phân bố hình, lực phân bố thu gọn thành lực tổng dùng tích phân Gauss điểm để xác định giá trị lực tổng (Các trọng số c1 = 0.5556, c2 = 0.8889, c3 = 0.5556 điểm x1= - 0.7746, x2 = , x3 = 0.7746 ) Tính vị trí lực tổng tính từ A Đáp án: Lực tổng 10.6667kN, vị trí ≈ 1m 45 Cho dầm chịu lực phân bố hình, lực phân bố thu gọn thành lực tổng dùng tích phân Gauss điểm để xác định giá trị lực tổng (Các trọng số c1 = 0.5556, c2 = 0.8889, c3 = 0.5556 điểm x1= - 0.7746, x2 = , x3 = 0.7746 ) Tính vị trí lực tổng tính từ A = Đáp án: Lực tổng ≈ 36kN, vị trí ≈ 2.16m 46 ... 0.7 745 96669 c1 c2 c3 c4 = = = = 0. 347 8 548 45 0.65 2 14 515 5 0.65 2 14 515 5 0. 347 8 548 45 x1 = -0.8 611 36 312 x2 = -0.3399 810 44 x3 = 0.3399 810 44 x4 = 0.8 611 36 312 c1 c2 c3 c4 c5 = = = = = 0.236926885 0 .47 8628670 0.568888889... 0 .46 7 913 935 0.3607 615 73 0 .17 13 244 92 x1 = -0.93 246 9 5 14 x2 = -0.6 612 09386 x3 = -0.238 619 1860 x4 = 0.238 619 1860 x5 = 0.6 612 09386 x6 = 0.93 246 9 5 14 i c1  c  fx  f  1/   f 1/  x1    0.5773... 0.568888889 0 .47 8628670 0.236926885 x1 = -0.90 617 9 846 x2 = -0.53 846 9 310 x3 = 0.000000000 x4 = 0.53 846 9 310 x5 = 0.90 617 9 846 c1 c2 c3 c4 c5 c6 = = = = = = 0 .17 13 244 92 0.3607 615 73 0 .46 7 913 935 0 .46 7 913 935