MẶT BẬC HA
4.2 Mặt tròn xoay bậc hai
Giải.
* Quay quanh trục Ox. Ta có l : y = 1−2x z =−x. Do đó, phương trình của mặt cần tìm là y2+z2 = (1−2x)2+x2 ⇔ 5x2−y2−z2−4x+ 1 = 0.
* Các trường hợp còn lại xem như bài tập.
(2) Cho đường tròn trong mặt phẳng Oxz có phương trình
(x−a)2+z2 =r2 (0 < r < a),
quay quanh trục Oz ta được mặt xuyến, xem Hình 4.2, có phương trình
(±»x2+y2−a)2+z2 =r2 ⇔ x2+y2+a2±2a»x2+y2+z2 =r2
⇔ (x2+y2+z2+a2−r2)2 = 4a2(x2+y2)
Hình 4.2: Mặt xuyến.
4.2 Mặt trịn xoay bậc hai
Ở mục trước, ta đã nghiên cứu sơ lược về mặt tròn xoay tổng quát. Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu kĩ về các mặt tròn xoay bậc hai, tức là các mặt trịn xoay có đường sinh là các đường bậc hai. Cụ thể, ta sẽ tìm hiểu về các mặt ellipsoid, hyperboloid, paraboloid, mặt nón bậc hai và mặt trụ bậc hai,... trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz. Ta có định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 4.2.1. Mặt trịn xoay bậc hai là mặt tạo nên bởi một đường bậc hai quay một vòng xung quanh một trục đối xứng của nó.
4.2.1 Mặt cầu
Ta có thể xem mặt cầu là mặt tạo nên bởi một đường tròn quay một vòng xung quanh một đường kính của nó. Trong khơng gianOxyz, xét đường trịn nằm trong mặt phẳng Oxy, tâm O, bán kính a có phương trình
x2+y2 =a2 z = 0.
Quay đường trịn ấy một vòng quanh trục Ox, ta nhận được mặt cầu tâm O, bán kính a. Ta có y2 =a2−x2 z2 = 0.
Cộng hai phương trình này vế với vế, ta được z2+y2 =a2−x2 hay
x2+y2+z2 =a2.
Đó là phương trình của mặt cầu tâm O, bán kính a, xem Hình 4.3. Ta đã biết phương trình của mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R là
(x−a)2+ (y −b)2 + (z−c)2 =R2.
Hình 4.3: Mặt cầu.