của (C).
Chứng minh. Giả sửI có tọa độ là (x0, y0). Phương trình tham số của đường thẳng
l qua I và có vectơ chỉ phương −→u = (a, b) là
x =x0+at y =y0+bt.
Các điểm M1, M2 được xác định bởi hai nghiệm t1, t2 của phương trình
P t2+ 2Qt+R = 0.
Điểm I là trung điểm của M1, M2 khi và chỉ khi t1+t2 = 0 hay Q= 0. Theo cách
xác định của Q, trong trường hợp này, ta có
Q=a(a11x0+a12y0+a1) +b(a12x0+a22y0+a2) = 0,
hay
(a11a+a12b)x0+ (a12a+a22b)y0+a1a+a2b = 0.
Nói cách khác, tọa độ của I là nghiệm của phương trình
(a11a+a12b)x+ (a12a+a22b)y+a1a+a2b= 0. (3.27) Ta chứng minh rằng (3.27) là phương trình của đường thẳng, tức là
(a11a+a12b)2+ (a12a+a22b)2 6= 0. Thật vậy, nếu a11a+a12b =a12a+a22b= 0, thì
a11a2+a12ab= 0 và a12ab+a22b2 = 0.
Suy ra P =a11a2+ 2a12ab+a22b2 = 0, trái với giả thiết −→u không là phương tiệm cận của (C) (hay P 6= 0).
Vậy, đường kính liên hợp với phương −→u = (a, b) của (C) là một đường thẳng có phương trình
(a11a+a12b)x+ (a12a+a22b)y+a1a+a2b= 0. (3.28)
hay afx0(x, y) +bfy0(x, y) = 0.
Hơn nữa, tâm I (nếu có) của đường bậc hai (C) có tọa độ (x, y) là nghiệm của hệ phương trình a11x+a12y+a1 = 0 a12x+a22y+a2 = 0.
Từ đó suy ra (x, y) là nghiệm của (3.28). Hay đường kính liên hợp với phương −
→u = (a, b) của (C) đi qua tâm của (C) (nếu có).
Ví dụ 3.2.17. (1) Cho đường ellipse có phương trình E : x2 +y2 = 1. Ở đây có
a11 =a22 = 1, a12 =a1 =a2 = 0, a0 =−1. Khi đó, khơng có vectơ−→u = (a, b) 6=−→0
nào thỏa mãn điều kiệnP =a2+b2 = 0. Vậy, mọi vectơ−→u = (a, b) 6=−→0 đều không phải là phương tiệm cận. Do đó, đường kính liên hợp với phương −→u = (a, b) 6=−→0 là đường thẳng