MẶT BẬC HA
4.4 Mặt bậc hai trong không gian với mục tiêu affine
Phương trình chính tắc của mặt trụ parabolic có dạng
Y2 = 2pX.
Hình 4.18: Mặt trụ parabolic.
Như vậy, ta cũng có thể xem cặp mặt phẳng cắt nhau, song song hay trùng nhau là những mặt trụ bậc hai có đường chuẩn là cặp đường thẳng cắt nhau, song song hay trùng nhau.
4.4 Mặt bậc hai trong không gian với mục tiêu affine
Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu về phương trình chính tắc của các mặt bậc hai với phương trình tổng quát trong không gian với mục tiêu affine, tức là các mặt được xác định bởi các phương trình bậc hai theo ba biến x, y, z. Sau đó, chúng ta sẽ tìm hiểu về các chủ đề như giao điểm của mặt bậc hai và đường thẳng, tâm, mặt kính liên hợp và giao của mặt bậc hai và mặt phẳng.
Định nghĩa 4.4.1. Trong không gian với mục tiêu affine Oxyz, tập hợp (S) gồm những điểm M có tọa độ (x, y, z) thỏa mãn phương trình
f(x, y, z) =a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy+ 2a23yz+ 2a13xz
+ 2a1x+ 2a2y + 2a3z+a0 = 0, (4.13)
trong đó các hệ số a11, a22, a33, a12, a23 và a13 không đồng thời bằng không, được gọi là một mặt bậc hai. Phương trình (4.13) được gọi là phương trình của mặt bậc hai (S) đối với mục tiêu Oxyz (ta cũng nói mặt bậc hai (S) có phương trình (4.13)).
Ví dụ 4.4.2. Các phương trình x2−3y2+xy−yz+ 5x−z = 0, xy−3yz+ 1 = 0
là các phương trình bậc hai và chúng cũng xác định các mặt bậc hai.
Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu làm thế nào để chọn được các mục tiêu thích hợp để một mặt bậc hai có phương trình (4.13) sẽ có dạng đơn giản hơn cũng như phương trình (4.13) sẽ có những dạng đơn giản nào?