MẶT BẬC HA
4.4.3 Giao của mặt bậc hai và mặt phẳng
Định lí 4.4.5. Giao của một mặt phẳng và một mặt bậc hai là một đường bậc hai, hoặc một đường thẳng, hoặc một mặt phẳng, hoặc rỗng.
Chứng minh. Xét mặt bậc hai(S) và mặt phẳng P. Khi đó, có thể chọn được một mục tiêu affine Oxyz sao cho mặt phẳng Oxy là mặt phẳng P. Do đó, phương trình của P đối với mục tiêu Oxyz là z = 0. Giả sử phương trình của (S) trong mục tiêu Oxyz là
Suy ra giao của P và (S) gồm những điểm có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình a11x2+a22y2+ 2a12xy+ 2a1x+ 2a2y+a0 = 0 z = 0. Ta có các trường hợp sau
• a11, a22, a12 khơng đồng thời bằng khơng. Khi đó, giao của P và (S) là một đường bậc hai trong mặt phẳng Oxy.
• a11 =a22 =a12 = 0, và a1, a2 khơng đồng thời bằng khơng. Khi đó, giao của
P và (S) là một đường thẳng trong mặt phẳng Oxy.
• a11 =a22 = a12 =a1 =a2 =a0 = 0. Khi đó, giao của P và (S) là mặt phẳng
P.
• a11 = a22 = a12 = a1 = a2 = 0 và a0 6= 0. Khi đó, giao của P và (S) là một tập rỗng.
Ví dụ 4.4.6. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x−y = 0 và mặt bậc hai
(S) :x2+y2−2xy−3x−4z+ 1 = 0.
Hãy xác định giao của P và (S). Giải.
Giao của P và (S) là những điểm cóa tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
x2 +y2−2xy−3x−4z+ 1 = 0 x−y = 0 ⇔ 3x−4x+ 1 = 0 x−y = 0.
Vậy, giao của P và (S) là một đường thẳng có phương trình tổng quát là
3x−4x+ 1 = 0
x−y = 0.