3.12 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên hyperbol (chỉ xét phương trình chính tắc) đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.
3.13Cho đường bậc hai C : 9x2+ 11y2−2√
3xy−4 = 0. Hãy đưa phương trình
củaC về dạng chính tắc. Từ đó suy ra C là một ellipse và xác định tọa độ các tiêu điểm của nó.
3.14 Tìm quỹ tích những điểm mà từ đó có thể vẽ hai đường thẳng vng góc với nhau và cùng tiếp xúc với đường bậc hai
(a) E : x2+ 9y2 = 36; (b) H :−x2+ 4y2 = 36; (c) P : y2 = 4x. 3.15 Cho ellipse E : x 2 a2 + y 2 b2 = 1.
(a) GọiI(x0, y0) là một điểm trong của E, tức là x 2 0 a2 +y 2 0 b2 < 1. Hai đường thẳng
l1, l2 vng góc với nhau và cùng đi qua I lần lượt cắt E tại A1, B1 và A2, B2. Chứng minh rằng 1
IA1.IB1 +
1
IA2.IB2 có giá trị khơng đổi.
(b) Cho hai điểm A và B thay đổi trênE sao cho OA ⊥OB. Chứng minh rằng đường thẳngAB ln tiếp xúc với một đường trịn cố định.
3.16 Tìm quỹ tích tâm của những đường trịn chắn hai trục Ox, Oy hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2a và 2b.
3.17 Hãy dựng các đường bậc hai có phương trình sau đây. (a) x2+xy+y2+x−y = 0;
(b) 5x2+ 12xy−22x−12y −19 = 0.
3.18 Cho hai đường trịn ngồi nhau. Hãy tìm quỹ tích tâm của tất cả những đường trịn tiếp xúc ngồi với cả hai đường trịn đó.
3.19 Tìm phương trình của đường bậc hai biết tiêu điểm(2,0) và đường chuẩn tương ứng là x= 8 và có tâm sai e= 1
2. Tìm điểm tiêu và đường chuẩn thứ hai. 3.20 Cho đường bậc hai C : 9x2+ 11y2 −2√
3xy−4 = 0. Hãy dùng một phép
quay hệ tọa độ một góc thích hợp để đưa phương trình về dạng chính tắc. Chứng minh rằngC là một đường ellipse và xác định tọa độ của các tiêu điểm.
3.21 Cho ellipse E : x
2
a2 + y
2
b2 = 1 với hai đỉnh là A1(−a,0) và A2(a,0). Gọi l1 và l2 là các đường thẳng lần lượt có phương trình x = −a và x = a. Giả sử l là một tiếp tuyến của E thay đổi và cắt l1 và l2 lần lượt tại B1 và B2.
(b) Tìm quỹ tích các giao điểm M của hai đường thẳng A1B2 và A2B1.
3.22 Cho parabol P : y2 = 2px, p > 0. Tìm độ dài cực tiểu của một dây cung
của P trực giao với P tại một trong hai đầu mút của nó, xem Hình 3.16.
Hình 3.16: Dây cung trực giao của parabol.
3.23 Cho p, q là hai số thực dương và hai parabol P và Q có phương trình
P : y2 = 2px, Q: x2 = 2qy.
Tìm một hoặc các tiếp tuyến chung của P và Q.
3.24 Cho parabol P : y2 = 2px, p >0và một điểm M. Gọi M1, M2, M3 là chân của các pháp tuyến kẻ từ M đến P. Chứng minh rằng O, M1, M2, M3 đồng chu, tức là cùng thuộc một đường tròn.
Chương 4