Bài giảng Hình học 11 chương 3 bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

TaiLieu.VN Kiểm tra kiến thức cũ: 1) Tìm mệnh đề SAI mệnh đề sau: uuuu r uuur r a)Vì NM + NP = nên N trung điểm đoạn MP b)Vì I trung điểm đoạn AB,nên từ điểm uur uuu r uur ta có: 0I = (0A + 0B) uuu r uuur uuur c)Từuu hệ u r uthức uuu r uuurAB = 2AC − 8AD ta suy véc tơ sau AB, AC,AD đồng phẳng uuu r uuu r uuur uuur r d) d) Vì AB + BC + CD + DA = nên điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng TaiLieu.VN Kiểm tra kiến thức cũ: 2)Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Tính tích r uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu vô hướng véc tơ sau: AB.AC ; AC.CB ; GA.BC Lờiuugiải: u r uuur uuur uuur uuu r uuur a) AB.AC = AB AC COS(AB, AC) = a.ac os60 = a2 uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r B b) AC.CB = AC CB COS(AC, CB) Để giải toán − axác định = a.hãy ac os120 Một em nhắc lại=cách 2urvà uuu r uuu r uGóc uu r uugiữa u r uuu r utơ u véc c) GA.BC = GA BC COS(GA, BC) Cơng thức: tích vơ hướng véc tơ TaiLieu.VN 2a = ac os90 = A G C Ơn tập kiến thức: Tích vơ hướng véc tơ r Góc véc tơ: r b r r r r a A 0 (a, b) = ∠A0B (0 ≤ (a, b) ≤ 180 ) Tích vơ hướng véc tơ: rr r r r r r r r a.b = a b cos(a, b) (a, b ≠ 0) rr r r r r Nếu:r a = r0 hay br= r Thì ta quy ước a.b = *u au ⊥ b ⇔ a b = r rr r2 * a = a.a = a rr rr 3.Tính chất: 1) a.b = b.a r r r rr rr 2) a.(b + c) = a.b + a.c r r r r rr 3) (k.a).b = a.(kb) = k(a.b) TaiLieu.VN B * Cho hình lập phương (hình bên) Cặp đường thẳng khơng vng góc với nhau? a) AC & b) AB & c) AC & d) AC’ & BD B’C’ B’C’ BD B C D A C' B' A' D' Cơ sở biết được? Đó nội dung học hơm TaiLieu.VN §2.Hai đường thẳng vng góc I.TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Góc hai véc tơ không gian: r r (u, v) = ∠A0B r r 0 (0 ≤ (u, v) ≤ 180 ) Tích vơ hướng hai véc tơ không gian: r rr r rr r r r r uv = u v cos(u, v) (u ≠ 0,v ≠ 0) Nếu: r r r r rr u = hay v = Thì ta quy ước uv= TaiLieu.VN r u A B r v Ví dụ1:Cho tứ diện ABCD có H trung điểm AB Hãy tính góc cặp véc tơ sau: A uuu r uuu r a) AB & BC uuur uuur b) CH & AC H Lời giải: B D Với tứ diện đều, ta có: uuu r uuu r a) (AB, BC) = 1200 uuur uuur b) (CH, AC) = 1500 C B’ A’ TaiLieu.VN Ví dụ2:Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = Gọi M uuulà u r trung uuu r điểm cạnh AB Tính góc véc tơ OM & BC Lời giải: Ta có: uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r OM.BC OM.BC cos(OM, BC) = uuuur uuur = OM BC C 2 uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuur Mặt :(OM.BC) = (OA + OB).(OC − OB) 2uuu u u u r u u u r u u u r r uuu r uuur uuu r2 = (OA.OC − OA.OB + OB.OC − OB ) ≠ A O B M Vì OA, OB, OC đơi vng góc OB = nên: uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r2 OA.OC = OA.OB = OB.OC = & OB = uuuu r uuu r uuuu r uuu r Do đó: COS(OM, BC) = − Vậy: (OM, BC) = 1200 TaiLieu.VN Ví dụ 3:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ uuu r uuur uuur uuuu r uu ur a)Hãy phân tích uu r tơ: uuurAB, AD, AA ' uuuu rvéc uuur tơ AC '& BD theo 3uuvéc b)Tính: COS(AC ', BD) & từ suy AC ' ⊥ BD B C Lời giải: uuuur uuur uuur uuur a) Ta có: AC AB AD uuur' = u uur + u uu r + AA ' BD = AD − AB D A b) Ta có: uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AC '.BD AC '.BD COS(AC ', BD) = uuuu r uuur = AC ' BD a 3.a uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Mà: AC '.BD = (AB + AD + AA ')(AD − AB) uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuurA' uuur uuu r = AB.AD - AB + AD − AB.AD + AA '.AD − AA '.AB uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur Mặt khác: AA '.AD=AA '.AB=0 & AB =AD =1 uuuu r uuur uuuu r uuur Vậy COS(AC ', BD) = (AC ', BD) = 900 TaiLieu.VN ⇒ C' B' D' ⇒ uuuu r uuur AC ' ⊥ BD * r b r a r r c d II.VÉC TƠ CHỈ CỦA ĐƯỜNG THẲNG r PHƯƠNG r Véc tơ véc tơ *ĐN:chỉ a ,được gọi véc tơ ≠ phương phương đường rthẳng đường (d) ?thẳng (d) giá véc tơ a song song trùng với đường thẳng (d) TaiLieu.VN III.Góc hai đường thẳng a b’ b a’ Vậy góc đường ĐN: Góc đường thẳng a & b k0 gian góc đường thẳng a’ & b’ qua thẳng điểmkhông giansong song với a & b r xác r đượcu Chú ý: Nếu , v véc tơ phương định thẳng a, b củanhư rđường r r r 0 nào? (u, v) ≤ (u, v) ≤ 90 Thì: (a, b) =  TaiLieu.VN rr rr 0 180 − (u, v); 90 < (u, v) ≤ 180 Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc cặp đường thẳng sau: a) AB B’C’ ; b) AC B’C’ ; c) A’C’ B’C Lời giải: a) Góc đường thẳng: AB B’C’ là: 900 b) Góc đường thẳng: AC B’C’ là: 450 c) Góc đường thẳng: A’C’ B’C là: 600 B D A C' B' A' TaiLieu.VN C D' Ví dụ5:Cho h.chóp S.ABC có SA =SB =SC =AB =AC =a & BC = a 2.Tính góc đường thẳng AB SC S uur uuur uuu r uur uuu r Lời giải: uur uuur (SA + AC).AB SC.AB Ta có: cos(SC, AB) = uur uuur = a.a SC AB uur uuu r uuur uuu r uur uuu r SA.AB + AC.AB cos(SC, AB) = a2 2 2 auu 2) = a + a Vì: BC2uu=ur(u = AC + AB r B A *Nên AC.AB = uur uuu r (S A , AB ) = 120 Tam giác SAB nên a C uur uuu r a os120 = − *và SA.AB = a.ac 2 a uur uuu r uur uuu r − ( SC , AB ) = 120 Do đó: Vậy: cos(SC, AB) = = − a Ta suy góc đường thẳng AB & SC =1800 -1200 =600 TaiLieu.VN IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC * * 1.ĐN: a ⊥ b ⇔ (a, b)r= 90 r Nhận xét: * Nếu u, v véc tơ phương rr =0 đường thẳng a, b thì:a ⊥ b ⇔ uv * a // b , c ⊥ a c ⊥ b *a ⊥ b ⇒ Có thể cắt chéo Nếu góc đường thẳng 900 đường thẳng nào? TaiLieu.VN Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC AB ⊥BD Gọi P Q trung điểm AB CD CMR: AB PQ đường thẳng vng góc với uuur uuu r uuur uuur A Lời giải: Ta có: PQ = PA + AC + CQ uuur uuu r uuur uuur Muốn CM 2+ BD + DQ và: PQ = PB uuur uuur uuur đường thẳng ⇒ 2PQ = AC + BD P uuur uuu r uuur uuur uuu r góc ta 2PQ.AB = (AC + BD).AB Vậy:vuông uuur uuu r uuur uuu r B c = AC AB + BD AB làm ntn u uur uu u r ? hay : PQ.AB = Tức là: AB ⊥ PQ TaiLieu.VN Q D Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy nêu đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương cho vng góc với: D A a)Đường thẳng AB b) Đường thẳng AC B C Lời giải: a) Các đường thẳng qua đình hlp vuông với AB là: BC, AD, B’C’, A’D’, AA’,BB’ CC’, DD’, AD’,A’D, BC’, B’C b) Các đường thẳng qua đình hlp vng với AC là: AA’,BB’ CC’, DD’, BD, B’D’, B’D, BD’ TaiLieu.VN D' A' C' B' Củng cố: 1) Cách xác định & tính góc véc tơ góc đường thẳng khơng gian 2) Biết dùng tích vơ hướng để giải toán: rr rr r r r r *uv = u v cos(u, v) r r rr *u ⊥ v ⇔ uv =0 rr uv *cos(u, v) = r r u v 3) Góc đường thẳng (a, b) = (a’, b’) r r r r (u, v) 00 ≤ (u, v) ≤ 900 (a, b) =  r r r r 0 180 − (u, v); 90 < (u, v) ≤ 180 4) a ⊥ b ⇔ (a, b) = 90 TaiLieu.VN Bài hay rr a ⊥ b ⇔ uv =0 tập nhà: 1, 2,3,4,5,6,7,8,trang 97 SGK ... 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy nêu đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương cho vng góc với: D A a )Đường thẳng AB b) Đường thẳng AC B C Lời giải: a) Các đường thẳng qua đình hlp vuông. .. đường thẳng a b’ b a’ Vậy góc đường ĐN: Góc đường thẳng a & b k0 gian góc đường thẳng a’ & b’ qua thẳng điểmkhông giansong song với a & b r xác r đượcu Chú ý: Nếu , v véc tơ phương định thẳng. .. CỦA ĐƯỜNG THẲNG r PHƯƠNG r Véc tơ véc tơ *ĐN:chỉ a ,được gọi véc tơ ≠ phương phương đường rthẳng đường (d) ?thẳng (d) giá véc tơ a song song trùng với đường thẳng (d) TaiLieu.VN III .Góc hai đường