Phân tích phi tuyến ổn định và sau ổn định của dầm FGM theo lý thuyết dầm euler–bernoulli có xét đến yếu tố mặt trung hòa

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, ĐHXDHN, 2021, 15 (5V): 28–43 PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỔN ĐỊNH VÀ SAU ỔN ĐỊNH CỦA DẦM FGM THEO LÝ THUYẾT DẦM EULER–BERNOULLI CĨ XÉT ĐẾN YẾU TỐ MẶT TRUNG HỊA Nguyễn Văn Longa,∗, Trần Minh Túa a Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội, 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 19/5/2021, Sửa xong 28/7/2021, Chấp nhận đăng 13/8/2021 Tóm tắt Bài báo phân tích phi tuyến ổn định sau ổn định dầm vật liệu FGM chịu tác dụng tải trọng nén dọc trục Các hệ thức quan hệ hệ phương trình chủ đạo xây dựng sở lý thuyết dầm EulerBernoulli hệ tọa độ quy chiếu gắn với mặt trung hịa Lời giải giải tích dạng hiển thiết lập cho dạng điều kiện biên khác dầm Ví dụ kiểm chứng thực qua so sánh với công bố tác giả khác sử dụng hệ tọa độ quy chiếu gắn với mặt trung bình Ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học điều kiện biên đến tải trọng tới hạn đường cong tải trọng - độ võng dầm FGM khảo sát cụ thể qua ví dụ số Từ khố: phân tích phi tuyến ổn định; lý thuyết dầm Euler-Bernoulli; dầm FGM; mặt trung hòa NONLINEAR BUCKLING AND POST-BUCKLING ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED EULERBERNOULLI BEAM CONSIDERING NEUTRAL SURFACE POSITION Abstract In this paper, the buckling and post-buckling analysis of functionally graded (FG) beam under axially compressive load is presented Basic relationship and governing equations are derived based on Euler-Bernoulli beam theory and neutral surface position A closed-form solution for critical buckling loads is obtained for FG beams under various boundary conditions The validated examples are conducted by comparing with the available results calculated by using a conventional coordinate system that coincided with the middle surface The effects of material, geometric parameters, and boundary condition on critical loads, the compressive-deflection curve of FG beams are investigated in detail Keywords: nonlinear post-buckling analysis; Euler-Bernoulli beam theory; functionally graded beam; neutral surface position https://doi.org/10.31814/stce.huce(nuce)2021-15(5V)-03 © 2021 Trường Đại học Xây dựng Hà Nội (ĐHXDHN) Mở đầu Vật liệu FGM (functionally graded materials) với đặc trưng học thay đổi theo tọa độ không gian kết cấu, thu hút ý đặc biệt giới chuyên môn kể từ thời điểm phát kiến nhà khoa học Nhật Bản vào cuối kỷ 20 Vật liệu FGM điển hình thường cấu thành từ hai vật liệu thành phần gốm kim loại Sở hữu tính kháng nhiệt bật gốm, tính bền dẻo kim loại, với tính biến đổi trơn nên tránh bong tách, tập trung ứng suất ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: longnv@nuce.edu.vn (Long, N V.) 28 Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng pha vật liệu, chúng thường sử dụng để chế tạo chi tiết khí, cấu kiện cơng trình làm việc mơi trường nhiệt độ cao Kết cấu vật liệu FGM sử dụng rộng rãi nhiều ngành công nghiệp như: hàng khơng, điện hạt nhân, tơ, đóng tàu, xây dựng dân dụng, Sự gia tăng ứng dụng kết cấu vật liệu FGM kỹ thuật khí kết cấu cơng trình, cần đơi với việc phát triển mơ hình phương pháp tính phục vụ cơng tác tối ưu hóa thiết kế Chính vậy, số lượng lớn cơng trình liên quan đến ứng xử học kết cấu dầm FGM công bố thời gian gần Nghiên cứu tổng quan lý thuyết dầm ứng dụng tính tốn kết cấu Wu Chen trình bày [1] dầm sandwich dầm composite lớp, Thai Vo trình bày [2], Simsek [3], Pradhan Chakraverty [4] dầm FGM Các nghiên cứu sau ứng xử uốn, ổn định dao động dầm vật liệu FGM hồn hảo (khơng có lỗ rỗng) cơng bố nhiều tác giả [5–10] Các phân tích ứng xử uốn dao động riêng dầm FGM có vi bọt rỗng thực Atmane cs [11, 12], Kaddari cs [13], Akbas [14], Wattanasakulpong Chaikittiratana [15], Phuong cs [16] Nghiên cứu ổn định sau ổn định kết cấu dầm cột vấn đề tính tốn thiết kế kết cấu FGM Long Hường [17] phân tích ổn định dầm FGM có vi lỗ rỗng với điều kiện biên khác phương pháp giải tích She cs [18] trình bày ổn định sau ổn định nhiệt dầm FGM phương pháp hàm phạt, sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Timoshenko Akbas [19] nghiên cứu ứng xử sau ổn định dầm FGM có vi bọt rỗng phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình dầm Timoshenko Lei cs [20] phân tích sau ổn định dầm FGM có vi bọt rỗng phương pháp cầu phương vi phân tổng quát (GDQM) Daneshmehra cs [21] khảo sát ứng xử sau ổn định dầm FGM sử dụng lý thuyết dầm khác Zhang Zheng [22] nghiên cứu ổn định đàn dẻo dầm FGM môi trường nhiệt Li Batra [23] thiết lập quan hệ tải trọng tới hạn dầm FGM theo lý thuyết dầm Timoshenko Euler-Bernoulli tải trọng tới hạn dầm Euler-Bernoulli vật liệu nhất, đẳng hướng Trong nghiên cứu tác giả tính tốn mặt trung bình vị trí mặt trung hịa xét đến xác định vị trí điểm đặt lực nén dọc trục; vật liệu FGM với quy luật hàm lũy thừa (P-FGM) quy luật hàm e-mũ (E-FGM) khảo sát Có thể thấy toán ổn định sau ổn định dầm FGM số tác giả đề cập đến với nhiều phương pháp khác nhau, nhiên việc tiếp tục tìm tịi, khám phá thêm cách tiếp cận động lực thúc đẩy tính sáng tạo nhà khoa học Trong báo này, nhằm mục đích xây dựng lời giải giải tích dạng hiển phục vụ cơng tác tính tốn, thiết kế sơ cấu kiện dầm FGM chịu nén dọc trục, mơ hình dầm Euler-Bernoulli với hệ tọa độ quy chiếu qua mặt trung hòa lựa chọn Kỹ thuật tính tốn với hệ tọa độ quy chiếu gắn với mặt trung hòa Zhang đề xuất cho kết cấu FGM, sau ơng số tác giả khác áp dụng cho kết cấu dầm FGM [24–28] Với cách tiếp cận này, tương tác màng - uốn quan hệ nội lực – biến dạng bị triệt tiêu, giá trị lực tới hạn quan hệ tải nén - chuyển vị ngang dầm Euler-Bernoulli vật liệu FGM với điều kiện biên khác nhận dạng biểu thức hiển Để kiểm chứng độ tin cậy biểu thức nhận được, ví dụ kiểm chứng thực qua so sánh với kết số tác giả khác với cách tính tốn hệ tọa độ quy chiếu qua mặt trung bình Mơ hình hóa dầm vật liệu FGM Xét dầm vật liệu FGM có chiều dài L, mặt cắt ngang chữ nhật với bề rộng b, chiều cao h Hình Tỷ phần thể tích vật liệu thành phần của vật liệu FGM giả thiết biến thiên dọc theo chiều cao tiết diện theo quy luật hàm lũy thừa (P-FGM), mô đun đàn hồi E biểu 29 Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng diễn dạng [29, 30]: z + h E(z) = Em + (Ec − Em ) k (1) với Ec , Em tương ứng mô đun đàn hồi kéo (nén) ceramic, kim loại; k ≥ số tỷ lệ thể tích Hệ số Poisson coi khơng đổi theo tọa độ chiều cao dầm (ν = const) Hình Vị trí mặt trung bình mặt trung hịa dầm FGM Do mô đun đàn hồi E vật liệu FGM hàm tọa độ chiều cao tiết diện dầm, vị trí mặt trung hịa trường hợp tổng qt khơng trùng với mặt trung bình hình học Tọa độ điểm theo phương chiều cao dầm xác định theo hai hệ tọa độ: qua mặt trung bình mặt trung k hòa ký hiệu z z0 Vị trí mặt trung hịa dầm FGM xác định từ điều kiện [12, 27]: h/2 zE(z)dz h/2 (z − C) E(z)dz = ⇒C= −h/2 = h/2 E(z)dz −h/2 h (Ec − Em ) k (k + 2) (kEm + Ec ) (2) −h/2 Như vậy, với dầm FGM, mô đun đàn hồi hệ tọa độ gắn với mặt trung hòa biểu diễn sau: E(z0 ) = Em + (Ec − Em ) z0 + C + h k (3) Các phương trình lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Đối với hệ trục tọa độ qua mặt trung hòa, trường chuyển vị theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli biểu diễn dạng [31]: ∂w0 (x) (4a) u(x, z0 ) = u0 (x) − z0 ∂x w(x, z0 ) = w0 (x) (4b) u0 , w0 tương ứng chuyển vị màng độ võng điểm mặt trung hòa theo phương trục x, z0 Các thành phần biến dạng có kể đến thành phần phi tuyến hình học xác định thơng qua thành phần chuyển vị: εx = ∂u ∂w + ∂x ∂x γ xz0 = = ∂u0 ∂w0 + ∂x ∂x − z0 ∂2 w0 = ε0x + z0 κ x ∂x2 ∂w ∂u ∂w0 ∂w0 + = − =0 ∂x ∂z0 ∂x ∂x 30 (5a) (5b) Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Ứng suất pháp liên hệ với biến dạng dài theo định luật Hooke: σ x = E(z0 )ε x = E(z0 ) ε0x + z0 κ x (6) Các thành phần lực dọc trục mô men uốn nội lực dầm định nghĩa qua ứng suất, sau biểu diễn qua thành phần biến dạng dài, độ cong: h/2−C E(z0 ) ε0x + z0 κ x dz0 = A11 ε0x + B11 κ x (7a) z0 E(z0 ) ε0x + z0 κ x dzns = B11 ε0x + D11 κ x (7b) σ x dA = b Nx = A −h/2−C h/2−C z0 σ x dA = b Mx = A −h/2−C Các số độ cứng dầm (7a) (7b) xác định bởi: h/2−C E(z0 )dz0 A11 = b (8a) −h/2−C h/2−C h/2 z0 E(z0 )dz0 = b B11 = b −h/2−C (z − C) E(z)dz = (8b) −h/2 h/2−C z20 E(z0 )dz0 D11 = b (8c) −h/2−C Từ (5) (7)–(8), thành phần nội lực biểu diễn qua chuyển vị có dạng đơn giản đây:    ∂w0   N x = A11 ε x = A11 u0,x + (9a)  ∂x  ∂2 w0 (9b) ∂x2 Các phương trình cân cho dầm FGM xây dựng dựa nguyên lý toàn phần cực tiểu: δU + δV = (10) M x = D11 κ x = −D11 đó: δU biến phân biến dạng đàn hồi dầm, δV biến phân tải trọng Biến phân biến dạng đàn hồi dầm xác định bởi: L L δU = σ x δε x dAdx = A Nx ∂δu0 ∂w0 ∂δw0 ∂2 δw0 + − Mx dx ∂x ∂x ∂x ∂x2 (11) Biến phân tải trọng dọc trục P biểu diễn dạng: δV = −P δ u0 | x=L − δu0 | x=0 = −Pδ u0 |0L 31 (12) Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Thay (11) (12) vào (10), sau tiến hành tích phân phần, ta được: ∂δw0 = (N x − P) δu0 − M x + V xz δw0 ∂x L L − ∂ ∂w0 ∂2 M x ∂N x δw0 dx (13) δu0 + Nx + ∂x ∂x ∂x ∂x2 ∂w0 ∂M x + ∂x ∂x Để (13) thỏa mãn, cho hệ số biến phân chiều dài dầm L khơng, ta thu hệ phương trình cân dạng: ∂N x =0 (14a) ∂x ∂ ∂2 M x ∂w0 =0 (14b) Nx + ∂x ∂x ∂x2 đó, lực cắt hiệu dụng định nghĩa: V xz = N x Đây hệ phương trình cân chủ đạo để phân tích tốn phi tuyến tĩnh dầm FGM theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Thay liên hệ thành phần nội lực theo chuyển vị (9) vào (14), ta hệ phương trình cân theo chuyển vị: ∂2 u0 ∂w0 ∂2 w0 + =0 (15a) A11 ∂x ∂x2 ∂x2    ∂u0 ∂w0  ∂2 w0 ∂4 w0 =0 (15b) − D11 + A11  +  ∂x ∂x  ∂x2 ∂x Các ràng buộc điều kiện biên thu biểu thức (13) hoàn toàn thỏa mãn, nghĩa số hạng biểu thức phải đồng thời không Do vậy, tham số điều kiện biên động học tĩnh học thể biểu diễn cụ thể cho liên kết xác định: (u0 , N x ) ; (w0 , V xz ) ; ∂w0 , Mx ∂x (16) Phân tích ổn định Trong phân tích ổn định, bỏ qua thành phần biến dạng phi tuyến (5a)–(5b), hệ phương trình cân thu sau áp dụng tiêu chuẩn cân lân cận có dạng sau [32]: ∂N x =0 ∂x (17a) ∂2 M x ∂ w0 + N =0 x ∂x2 ∂x2 (17b) đó, N x0 = P = −N0 lực dọc màng; N0 tải trọng nén dọc trục đặt mặt trung hòa Biểu diễn nội lực qua biến dạng biến dạng qua chuyển vị, ta thu hệ phương trình cân theo chuyển vị dạng: ∂2 u0 A11 = (18a) ∂x ∂4 w0 ∂2 w0 D11 + N0 = (18b) ∂x ∂x 32 Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Phương trình (18a) chứa ẩn u0 , nghiệm phương trình có dạng: u0 = B1 x + B0 ; (19) 0≤x≤L đó: B0 , B1 số tích phân, xác định theo điều kiện biên cụ thể Liên quan đến thành phần chuyển vị theo phương dọc trục u0 , liên kết sau xem xét: Tại x = 0: u0 = 0, N x Tại x = L: u0 (dầm tự dịch chuyển dọc trục) (20a) 0, N x = −N0 (dầm tự dịch chuyển dọc trục) (20b) Từ đây, ta thu kết quả: B0 = 0; B1 = − N0 ; A11 u0 = − N0 x A11 (21) Để xác định độ võng w0 ta tiến hành giải phương trình (18b), với điều kiện biên xem xét liên quan đến độ võng dầm Dưới đây, báo nghiên cứu xem xét bốn dạng điều kiện biên thường gặp: dầm hai đầu khớp (SS), dầm hai đầu ngàm (CC), dầm đầu ngàm - đầu khớp (CS), dầm đầu ngàm - đầu tự (CF); biểu thức điều kiện biên độ võng trình bày Bảng Bảng Một số dạng điều kiện biên độ võng cho dầm Euler-Bernoulli Điều kiện biên Tại x = SS: w0 = 0; M x = hay CC: w0 = 0; CS: CF: Tại x = L ∂2 w0 =0 ∂x2 ∂2 w0 =0 ∂x2 ∂w0 =0 ∂x ∂2 w0 w0 = 0; M x = hay =0 ∂x2 ∂3 w0 ∂w0 + D11 = 0; V xz = hay N0 ∂x ∂x ∂2 w0 M x = hay =0 ∂x2 ∂w0 =0 ∂x ∂w0 w0 = 0; =0 ∂x w0 = 0; w0 = 0; M x = hay w0 = 0; ∂w0 =0 ∂x Phương trình (18b) viết lại thành: ∂2 w0 + λ2 w0 = K1 x + K2 ∂x2 (22) N0 K1 , K2 số Đây phương trình vi phân cấp với hệ số D11 số, nghiệm có dạng: đó: λ2 = w0 (x) = C1 sin λx + C2 cos λx + C3 x + C4 ; C3 = K2 K1 , C4 = 2 λ λ (23) Các số C1 , C2 , C3 , C4 phụ thuộc vào điều kiện biên (xem Bảng 1); ba bốn số λ xác định thơng qua bốn phương trình điều kiện biên Điều kiện để dầm ổn định số C1 , C2 , C3 , C4 không đồng thời không Biết λ ta xác định lực ổn định N ∗ = D11 λ2 xác định lực tới hạn Nth = N ∗ Dưới đây, ta xét số dạng điều kiện biên dầm cụ thể sau: 33 Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 4.1 Dầm liên kết hai đầu khớp (SS) Bốn phương trình điều kiện biên cho ta kết quả: C2 = C3 = C4 = (24a) C1 sin λL = (24b) Điều kiện để dầm ổn định dẫn đến C1 sin λL = 0; từ suy ra: ⇒ λL = mπ; m = 1, 2, 3, (25) Qua đó, ta thu lực ổn định, lực nén tới hạn nghiệm độ võng dầm: N∗ = m2 π2 D11 L2 (26a) π2 D11 L2 mπx ; W = C1 w0 (x) = W sin L Nth = (26b) (26c) 4.2 Dầm liên kết hai đầu ngàm (CC) Bốn phương trình điều kiện biên cho ta kết quả: C4 = −C2 (27a) C3 = −λC1 (27b) C1 (sin λL − λL) + C2 (cos λL − 1) = (27c) C1 (cos λL − 1) − C2 sin λL = (27d) Điều kiện để dầm ổn định: C1 , C2 không đồng thời không; từ suy ra: sin λL λL λL λL sin =0 − cos 2 2 (28) Nghiệm phương trình (28) gồm hai trường hợp: - Trường hợp (CC-1), λ nghiệm phương trình lượng giác: sin λL =0 ⇒ λL = 2mπ; m = 1, 2, 3, (29) Từ đây, ta thu lực ổn định dạng nghiệm độ võng dầm: 4m2 π2 D11 L2 mπx w0 (x) = Wsin2 ; W = −2C2 L - Trường hợp (CC-2), λ nghiệm phương trình phi tuyến: N∗ = tan λL λL = 2 34 (30a) (30b) (31) Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Nghiệm phương trình phi tuyến (31) xác định theo phương pháp giải lặp NewtonRaphson Kết là: λL = 4,49341; 7,72525; 10,90412; (32a) D11 (32b) N ∗ = 8,986822 ; 15,450502 ; 21,808242 ; L Hàm độ võng dầm đó: λL λL ; cos λx − λx + 2 w0 (x) = W sin λx − W = C1 (33) Từ hai trường hợp đây, ta thu lực ổn định lực nén tới hạn: N∗ = D11 4π2 ; 8,986822 ; 16π2 ; 15,450502 ; 36π2 ; 21,808242 ; L2 (34a) 4π2 D11 L2 (34b) Nth = 4.3 Dầm liên kết đầu ngàm-đầu khớp (CS) Bốn phương trình điều kiện biên cho ta kết quả: C2 = −λLC1 (35a) C3 = −λC1 (35b) C4 = λLC1 (35c) C1 (sin λL − λL cos λL) = (35d) Điều kiện để dầm ổn định dẫn đến C1 0; từ suy ra: (36) tan λL = λL Nghiệm phương trình phi tuyến xác định theo phương pháp giải lặp NewtonRaphson Kết thu được: (37) λL = 4,49341; 7,72525; 10,90412; Từ đây, ta thu lực ổn định N ∗ lực nén tới hạn Nth : N∗ = D11 4, 493412 ; 7, 725252 ; 10, 904122 ; L2 (38a) 4, 493412 D11 L2 (38b) Nth = Hàm độ võng dầm đó: w0 (x) = W (sin λx − λL cos λx − λx + λL) ; 35 W = C1 (39) Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 4.4 Dầm liên kết đầu ngàm-đầu tự (CF) Bốn phương trình điều kiện biên CF cho ta kết quả: Điều kiện để dầm ổn định: C2 cos λL = C1 = C3 = (40a) C4 = −C2 (40b) C2 cos λL = (40c) 0; từ suy ra: ⇒ λL = (2m − 1) π ; m = 1, 2, 3, (41) Qua đó, ta thu lực ổn định, lực nén tới hạn nghiệm độ võng dầm: N∗ = (2m − 1)2 π2 D11 4L2 π2 D11 4L2 (2m − 1) πx ; w0 (x) = Wsin2 4L (42a) (42b) Nth = W = −2C2 (42c) Phân tích sau ổn định Trong phân tích sau ổn định, thành phần chuyển vị xác định thơng qua hệ phương trình vi phân phi tuyến (15a)–(15b) Từ phương trình (15a), ta suy ra: ∂u0 ∂w0 + ∂x ∂x x = D1 ∂w0 dx + D1 x + D2 ∂x u0 = − (43a) (43b) với D1 , D2 số, xác định dựa vào điều kiện biên toán Cụ thể là, chuyển vị màng u0 : Tại x = 0: u0 = Tại x = L: u0 = − (44a) N0 L A11 (44b) Từ điều kiện (44a), ta thu kết D2 = cho tất trường hợp điều kiện biên dầm; theo đó, từ điều kiện thứ hai (44b) ta được: L N0 ∂w0 N0 dx − = D∗1 − ∂x A11 A11 D1 = 2L 36 (45) Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Thay kết xác định D1 D2 vào phương trình (15b), ta được: − D11 N0 ∂2 w0 ∂4 w0 ∗ + A =0 D − 11 A11 ∂x2 ∂x4 (46) Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp bốn theo w0 , giải phương trình này, ta liên hệ w0 N0 Lưu ý cách giải phương trình (46) tương tự phương trình (18b) trình bày phần 4; dạng nghiệm độ võng thu biểu thức (26), (30), (33), (39) (42) tương ứng với điều kiện biên SS, CC-1, CC-2, SC CF Sau số kết cụ thể cho điều kiện biên: 5.1 Dầm liên kết hai đầu khớp (SS) D∗1 = N0 = D11 m2 π2 W 4L2 m2 π2 m2 π2 m2 π2 ∗ + A W = N + A W 11 11 L2 4L2 4L2 (47a) (47b) 5.2 Dầm liên kết hai đầu ngàm (CC) - Trong trường hợp (CC-1): D∗1 = N0 = D11 m2 π2 W 4L2 4m2 π2 m2 π2 m2 π2 ∗ + A W = N + A W 11 11 L2 4L2 4L2 (48a) (48b) - Trong trường hợp (CC-2): D∗1 = N0 = D11 λ2 + A11 Khi D¯ W 2L2 D¯ D¯ W = N ∗ + A11 W 2 2L 2L (49a) (49b) λL = 4,49341; 7,72525; 10,90412; thì: D¯ = 815,33; 7123,29; 28274,36, 5.3 Dầm liên kết đầu ngàm-đầu khớp (CS) D∗1 = D¯ W 2L2 D¯ D¯ W = N ∗ + A11 W 2 2L 2L Khi λL = 4,49341; 7,72525; 10,90412; thì: D¯ = 203,83; 1780,82; 7068,59; N0 = D11 λ2 + A11 37 (50a) (50b) Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 5.4 Dầm liên kết hai đầu ngàm (CF) D∗1 = N0 = D11 (2m − 1)2 π2 W 64L2 (51a) (2m − 1)2 π2 (2m − 1)2 π2 (2m − 1)2 π2 ∗ + A W = N + A W 11 11 4L2 64L2 64L2 (51b) Các kết thu (47)–(51), tương ứng với trường hợp điều kiện biên SS, CC-1, CC-2, SC CF, phương trình dùng để nghiên cứu ổn định phi tuyến, bao gồm xác định tải trọng ổn định đường cong tải nén-độ võng dầm vật liệu FGM Như vậy, dầm FGM hồn hảo (về hình dạng hình học ban đầu), hàm N0 đạt cực tiểu W = giá trị N ∗ = N0 W=0 , điểm thấp đồ thị tải nén-độ võng giá trị tải vồng theo kiểu rẽ nhánh Kết số thảo luận Xét dầm vật liệu P-FGM với vật liệu thành phần gốm (Al2 O3 ) kim loại (Al) đó: Ec = 380 GPa, Em = 70 GPa νc = νm = 0,3 6.1 Ví dụ kiểm chứng Xét dầm tiết diện chữ nhật, vật liệu P-FGM (Al/Al2 O3 ) Bảng trình bày kết tính tốn lực 12L2 cho dầm với trường hợp điều kiện biên bao gồm: CC, CS, tới hạn không thứ nguyên N¯ = Nth Em h3 SS CF; số tỷ lệ thể tích k khác Kết báo so sánh với kết Li Batra [23] Có thể thấy kết nhận hoàn toàn trùng khớp Li Batra [23] sử dụng mơ hình dầm Euler-Bernoulli, tính tốn coi điểm đặt lực nén dọc trục nằm mặt trung hòa Bảng Kiểm chứng lực tới hạn không thứ nguyên N¯ dầm FGM Điều kiện biên Nguồn CC k 0,5 ∞ Li Batra [23] Bài báo 214,3100 214,3114 138,9300 138,9256 106,8200 106,8215 70,4910 70,4909 39,4780 39,4784 CS Li Batra [23] Bài báo 109,6100 109,6068 71,0530 71,0517 54,6330 54,6325 36,0520 36,0516 20,1900 20,1907 SS Li Batra [23] Bài báo 53,5780 53,5779 34,7310 34,7314 26,7050 26,7054 17,6230 17,6227 9,8696 9,8696 CF Li Batra [23] Bài báo 13,3940 13,3945 8,6829 8,6828 6,6763 6,6763 4,4057 4,4057 2,4674 2,4674 Từ kết tính tốn kiểm chứng trên, thấy lời giải giải tích chương trình máy tính sử dụng báo có độ tin cậy 38 Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 6.2 Khảo sát ảnh hưởng số tỷ lệ thể tích vật liệu điều kiện biên lên tải trọng tới hạn dầm FGM Xét dầm tiết diện vuông, vật liệu P-FGM (Al/Al2 O3 ): h = b = 0,1 m, tác dụng tải trọng nén dọc trục Dầm FGM (k = 2, L/h = 50), với bốn trường hợp liên kết xem xét bao gồm: liên kết đầu ngàm - đầu tự (CF); hai đầu khớp (SS), đầu ngàm - đầu khớp (CS), hai đầu ngàm (CC) Tải trọng ổn định N ∗ ứng với dạng ổn định có m = 1, 2, tương ứng trình bày Hình Hình Dạng ổn định dầm FGM với điều kiện biên khác 39 Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Các kết số cho thấy, với dầm FGM: Lực tới hạn Nth ln ứng với dạng ổn định có m = 1; trị số lực nén nhỏ làm cho dầm ổn định, mang ý nghĩa kỹ thuật Về ảnh hưởng điều kiện biên: với kích thước hình học vật liệu làm dầm, điều kiện biên CC có lực tới hạn lớn (kết nghiệm theo trường hợp đầu tiên, CC-1 có lực tới hạn nhỏ so với trường hợp thứ hai, CC-2; đó, phân tích đây, kết tính tốn lấy theo trường hợp CC-1), sau đến điều kiện biên CS, SS CF Cụ thể, trị số lực tới hạn, so với trường hợp điều kiện biên SS điều kiện biên CC cho kết lực tới hạn lớn khoảng lần, điều kiện biên CS cho kết lớn khoảng lần; điều kiện biên CF cho kết nhỏ khoảng lần Hình đồ thị biểu diễn biến thiên lực tới hạn Nth dầm FGM (L/h = 50) với bốn dạng điều kiện biên (CF, SS, CS, CC), theo số tỷ lệ thể tích, k Các kết cho thấy, tăng k (đồng nghĩa với việc tăng hàm lượng kim loại), với trường hợp điều kiện biên khác nhau, lực tới hạn giảm Lực tới hạn, giảm nhanh theo quy luật phi tuyến k nhỏ (0 ≤ k ≤ 2), sau giảm chậm dần lại Hình Biến thiên lực tới hạn, Nth dầm FGM theo số tỷ lệ thể tích, k Hình Biến thiên lực tới hạn Nth dầm FGM theo tỷ số kích thước, L/h Biến thiên lực tới hạn, Nth dầm FGM (k = 2) với bốn trường hợp điều kiện biên (CF, SS, CS, CC), theo tỷ số kích thước L/h thể đồ thị Hình Các kết cho thấy: L/h tăng (dầm dài ra), với bốn dạng điều kiện biên khảo sát, lực tới hạn giảm theo quy luật phi tuyến; giảm nhanh khoảng L/h = 5÷15, sau giảm chậm dần 6.3 Khảo sát ảnh hưởng số tỷ lệ thể tích vật liệu, độ mảnh dầm điều kiện biên lên đường cong sau ổn định dầm FGM Hình so sánh ảnh hưởng số tỷ lệ thể tích k lên đường cong tải - độ võng dầm FGM (L/h = 50); cho bốn trường hợp điều kiện biên (CF, SS, CS, CC) Có thể thấy rằng, k tăng, lực tới hạn giảm đường cong tải - độ võng sau tới hạn dịch chuyển xuống phía dưới, khả mang tải dầm giảm Nguyên nhân k tăng, tương ứng với hàm lượng kim loại tăng làm giảm độ cứng kết cấu dầm Hình đồ thị so sánh ảnh hưởng tỷ số kích thước dầm L/h lên đường cong tải - độ võng dầm FGM (k = 2); cho bốn trường hợp điều kiện biên (CF, SS, CS, CC) Có thể thấy rằng, L/h tăng có nghĩa độ mảnh dầm tăng dẫn đến lực tới hạn giảm đường cong tải - độ võng sau tới hạn dịch chuyển xuống dưới, khả mang tải dầm giảm 40 Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Hình Ảnh hưởng số tỷ lệ thể tích, k lên đường cong tải - độ võng dầm FGM (L/h = 50) Hình Ảnh hưởng tỷ số kích thước, L/h lên đường cong tải - độ võng dầm FGM (k = 2) 41 Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Kết luận Bài báo sử dụng mơ hình dầm Euler-Bernoulli để xây dựng biểu thức giải tích cho lực tới hạn quan hệ đường cong tải trọng nén - độ võng dầm FGM, chịu nén dọc trục với loại điều kiện biên khác Nghiệm giải tích dạng hiển thu cách giải trực tiếp hệ phương trình cân ổn định dầm thiết lập hệ trục gắn với mặt trung hòa Các khảo sát số cho phép đánh giá ảnh hưởng tham số hình học, vật liệu, điều kiện biên lên ứng xử ổn định sau ổn định dầm Các kết cho thấy, với dầm vật liệu FGM: - Lực tới hạn ln ứng với dạng ổn định có m = 1; - Khi tăng số tỷ lệ thể tích k tăng tỷ số kích thước L/h lực tới hạn dầm giảm, đường cong tải trọng - độ võng sau tới hạn dịch chuyển xuống phía cho thấy khả mang tải nén dầm giảm (độ cứng kết cấu giảm); - Độ ổn định dầm phụ thuộc lớn vào điều kiện biên; tương ứng với điều kiện liên kết lý tưởng CC, CS, SS, CF khả ổn định dầm giảm dần Các kết nhận nguồn tài liệu tham khảo hữu ích, góp phần cho cơng tác nghiên cứu, tính tốn ổn định kết cấu dầm FGM chịu tải nén dọc trục Tài liệu tham khảo [1] Zhen, W., Wanji, C (2008) An assessment of several displacement-based theories for the vibration and stability analysis of laminated composite and sandwich beams Composite Structures, 84(4):337–349 [2] Thai, H.-T., Vo, T P (2012) Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories International Journal of Mechanical Sciences, 62(1):57– 66 [3] S¸ims¸ek, M (2010) Fundamental frequency analysis of functionally graded beams by using different higher-order beam theories Nuclear Engineering and Design, 240(4):697–705 [4] Pradhan, K K., Chakraverty, S (2014) Effects of different shear deformation theories on free vibration of functionally graded beams International Journal of Mechanical Sciences, 82:149–160 [5] Tossapanon, P., Wattanasakulpong, N (2016) Stability and free vibration of functionally graded sandwich beams resting on two-parameter elastic foundation Composite Structures, 142:215–225 [6] Akbas¸, S¸ D (2015) Free vibration and bending of functionally graded beams resting on elastic foundation Research on Engineering Structures and Materials, 1(1) [7] Avcar, M., Mohammed, W K M (2018) Free vibration of functionally graded beams resting on WinklerPasternak foundation Arabian Journal of Geosciences, 11(10) [8] Kahya, V., Turan, M (2017) Finite element model for vibration and buckling of functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory Composites Part B: Engineering, 109:108–115 [9] Sayyad, A S., Ghugal, Y M (2018) Bending, buckling and free vibration responses of hyperbolic shear deformable FGM beams Mechanics of Advanced Composite Structures, 5(1):13–24 [10] Sina, S A., Navazi, H M., Haddadpour, H (2009) An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams Materials & Design, 30(3):741–747 [11] Atmane, H A., Tounsi, A., Bernard, F., Mahmoud, S R (2015) A computational shear displacement model for vibrational analysis of functionally graded beams with porosities Steel and Composite Structures, 19(2):369–384 [12] Atmane, H A., Tounsi, A., Bernard, F (2015) Effect of thickness stretching and porosity on mechanical response of a functionally graded beams resting on elastic foundations International Journal of Mechanics and Materials in Design, 13(1):71–84 [13] Kaddari, M., Kaci, A., Bousahla, A A., Tounsi, A., Bourada, F., Tounsi, A., Bedia, E A., Al-Osta, M A (2020) A study on the structural behaviour of functionally graded porous plates on elastic foundation using a new quasi-3D model: bending and free vibration analysis Computers and Concrete, 25(1):37–57 42 Long, N V., Tú, N M / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [14] Akbas¸, S¸ D (2017) Thermal Effects on the Vibration of Functionally Graded Deep Beams with Porosity International Journal of Applied Mechanics, 09(05):1750076 [15] Wattanasakulpong, N., Chaikittiratana, A (2015) Flexural vibration of imperfect functionally graded beams based on Timoshenko beam theory: Chebyshev collocation method Meccanica, 50(5):1331–1342 [16] Phuong, N T B., Tu, T M., Phuong, H T., Long, N V (2019) Bending analysis of functionally graded beam with porosities resting on elastic foundation based on neutral surface position Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE) - NUCE, 13(1):33–45 [17] Long, N V., Hường, N T (2020) Phân tích ổn định kết cấu dầm vật liệu xốp chịu nén dọc trục với điều kiện biên khác Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD) - ĐHXDHN, 14(2V): 97–106 [18] She, G.-L., Yuan, F.-G., Ren, Y.-R (2017) Thermal buckling and post-buckling analysis of functionally graded beams based on a general higher-order shear deformation theory Applied Mathematical Modelling, 47:340–357 [19] Akbas, S D (2017) Post-buckling responses of functionally graded beams with porosities Steel and Composite Structures, 24(5):579–589 [20] Lei, J., He, Y., Li, Z., Guo, S., Liu, D (2019) Postbuckling analysis of bi-directional functionally graded imperfect beams based on a novel third-order shear deformation theory Composite Structures, 209:811– 829 [21] Daneshmehr, A., Heydari, M., Akbarzadeh Khorshidi, M (2013) Post-buckling analysis of FGM beams according to different shear deformation theories International Journal of Multidisciplinary and Current Research, 1:37–49 [22] Zhang, J., Zheng, W (2020) Elastoplastic buckling of FGM beams in thermal environment Continuum Mechanics and Thermodynamics, 33(1):151–161 [23] Li, S.-R., Batra, R C (2013) Relations between buckling loads of functionally graded Timoshenko and homogeneous Euler–Bernoulli beams Composite Structures, 95:5–9 [24] Zhang, D.-G., Zhou, Y.-H (2008) A theoretical analysis of FGM thin plates based on physical neutral surface Computational Materials Science, 44(2):716–720 [25] Yin, S., Yu, T., Liu, P (2013) Free Vibration Analyses of FGM Thin Plates by Isogeometric Analysis Based on Classical Plate Theory and Physical Neutral Surface Advances in Mechanical Engineering, 5: 634584 [26] Zhang, D.-G (2013) Nonlinear bending analysis of FGM beams based on physical neutral surface and high order shear deformation theory Composite Structures, 100:121–126 [27] Larbi, L O., Kaci, A., Houari, M S A., Tounsi, A (2013) An Efficient Shear Deformation Beam Theory Based on Neutral Surface Position for Bending and Free Vibration of Functionally Graded Beams# Mechanics Based Design of Structures and Machines, 41(4):421–433 [28] Wang, C M., Ke, L L., Chowdhury, A N R., Yang, J., Kitipornchai, S., Fernando, D (2017) Critical examination of midplane and neutral plane formulations for vibration analysis of FGM beams Engineering Structures, 130:275–281 [29] Chi, S.-H., Chung, Y.-L (2006) Mechanical behavior of functionally graded material plates under transverse load—Part I: Analysis International Journal of Solids and Structures, 43(13):3657–3674 [30] Bao, G., Wang, L (1995) Multiple cracking in functionally graded ceramic/metal coatings International Journal of Solids and Structures, 32(19):2853–2871 [31] Reddy, J N (2006) Theory and analysis of elastic plates and shells CRC Press [32] Bích, Đ H (2000) Lý thuyết đàn hồi Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 43 ... hình dầm Timoshenko Lei cs [20] phân tích sau ổn định dầm FGM có vi bọt rỗng phương pháp cầu phương vi phân tổng quát (GDQM) Daneshmehra cs [21] khảo sát ứng xử sau ổn định dầm FGM sử dụng lý thuyết. .. định kết cấu dầm cột vấn đề tính tốn thiết kế kết cấu FGM Long Hường [17] phân tích ổn định dầm FGM có vi lỗ rỗng với điều kiện biên khác phương pháp giải tích She cs [18] trình bày ổn định sau. .. sau ổn định nhiệt dầm FGM phương pháp hàm phạt, sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Timoshenko Akbas [19] nghiên cứu ứng xử sau ổn định dầm FGM có vi bọt rỗng phương pháp phần tử hữu hạn theo