vè một số bài toán mở rộng trong lý thuyết ổn định

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 1 VŨ TUẤN ˆ

vE MOT SO BAI TỘN MỜ RỘNG

TRONG LY THUYET ON DINH (rom TAT LUAN 4N PHO TIEN SI TOAN~ LY)

Trang 2

Cơng trình được hồn thành tại Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1 ` - Người nhận xĩi luận án

Địa điềm bảo vệ: Trưởng Đại học Sư phạm Hà-Nội bh ;

Cảc bản nhận xét xin gửi về phịng Quần lỷ khoa

“họe trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1

Trang 4

Cơng trinh này dành cho việc nghiên cứu một số

bài tốn mổ rộng trong lý thuyết én định : bài tốn ơn

định bộ phận (hay ồn định đối với một phần biến số) va bai toan.6n định đối với ma trận chéo

Cơng trình gồm 3 chương: Chương I và II trình bay ` các kết quả về vấn để thứ nhất, cịn chương TH dành,

cho vấn đề thứ hai :

Vấn đề ồn định bộ phận duge A.M Liapufoy đặt ra, (xem [1]; trang 292) và chỉ được thực sự nghiền cứu kề

từ khi xuất hiện cơng trình của V.V Humyantsev ([2])

Tiếp sau Humyantsev là A.S Oziraner, V/l: Zubovy,:

K Peiffer, X Rouche, G., -Corduneanu, Tất cả các tác giả đều mở rộng phương pháp thứ hai của Liapunov

đề giải quyết bài tốn : :

Bai toan này đặt ra như sau: - Cho hé vi phân cấp n

X= Xa (Xd, 0) = 0) ` =Œ)

Hãy xét xem với điều kiện nào vị trí cân bằng

x =0 của hệ (1) là ơn định đối với bộ phận biến số

Trang 5

Nĩi cách khác, hãy xét xem với điều kiện nào thì

với mỗi số đương e >0 và tạ€ RẺ đều tồn tại số

ơ(e, tạ) >0 sao cho tử n a Ixi = (Ð we To (2) ; je ta suy ra , 1 - v= (Lato)! <s im] (8) ˆ voi moit<é ít , 0) (6 day x = colon (y, z), y€lR", zc|fmrm),

- Nếu với mọi >0, lạ€ IR* , luén luơn tồn tại số

“ơ(, tạ)>>0 đề từ (2) suy ra (3) thì ta bảo vị trí cân

bằng (hay nghiệm tầm thường x =:0) của hệ (1) là ơn định đối với bộ phận các biến số xị, xạ hay gọn

hon là y — Ơn định

Nếu, ngồi ra, tồn tại số A (tạ) sao cho bất kỳ nghiệm X(t, lạ, xạ) nào của hệ (Í) mà

- dxal< A@)

đều kéo theo:

lim JÏy(t; tạ, xa) | = 0 (4) -

ab > 0

thì ta bảo nghiệm x = 0 là y - ồn định tiệm can , Ta sẽ gọi x=l là y — ơn định tiệm cận mũ nếu

tồn tại các số M>>0 và ø>>0 sao cho:

1ờy(¡ lạ; Xa) I< N¿ M( Yo | + l|Za J)e~ "út?

hoặc /

Hy(ts tes Xo) | << MUX] eT Erte?

với mọi tSt,>0

Trang 6

Việc nghiên cửu tính chất ơn định bộ phận cĩ những ứng dụng thiết thực (xem chẳng hạn [3], [4]) vào kỹ

thuật; vật lý

Chirong I khao sat tinh chất ồn định bộ phận đối với

hệ vi phân phi tuyến cắp n dạng:

“ = M()x + F(,x) 6)

(F(t, 0) = 0

(C{[a, =), X€IR®, x = colon(y,z), y la veeto m

chiéu, z 1A veeto n — m chiéu, Fat, x) = colon (f(y, z) g(t, y,2)), f 1a vecto m chiéu, g là vcetơ n — m chiều) -

O day đã xét vấn đề ồn định đối với hộ phận các biến Xu, Xm trong hai trường hợp khi phần tuyến tính

-đX TK -

——= M()x = M(t) | ®) 6

là hệ chính quy hoặc phi chính quy

Hai định lý sau đây là kết quả chính của chương này:

ĐỊNH LÝ I—2 Nếu:

1) Hệ (6) là hệ chính quy theo nghĩa Liapunov

2) Trong hệ nghiệm cơ bản chuận tác Xe) của hệ (6) cĩ m nghiệm cĩ số mũ đặc trưng âm `

Trang 7

3) Đổi với veetơ hàm F(t, x) ta cổ hất đẳng thức ify, 2 <9 (9llyJt ` (>Ð trong đĩ + ( là hàm số liên tục, dương tếong [ tạ, œ} và xIw(]=0 : thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (5) là y—ơn định mũ khi t + o

Định lý của Liapunov ay về sự ồn định theo xấp xỉ thứ nhất là một trường hợp riêng của định lý này khi m = n

ĐỊNH 1Ý !— 4 Nếu:

1) Đối với hệ (6) tồn tại ma trận cơ bản chuần tác dạng chéo khối U (t)=diag (U,, (Ð, Ủa_m Œ)) thỏa mãn bất đẳng thức GU) G (Dạ) G (Ủy m) (rong đĩ G (Uy) là định thie Gram :của ma trận Uy) 3 Ifđ/y.Z)<t®(0ylt (q> 1ˆ =p>0

trong dé y(t) là hàm số đương ; liên tục và x[t(Đ]= 0, `

Trang 8

{P¡(Œ) là phần tử chéo của ma trận ÀÍ(1)), thì nghiệm tam thường x= 0 của hệ phi tuyến (5) lay - — én dinh tiém cdn khi t—> o

Khi m =n dinh ly nay cho ta dinh ly Massera { 5 } ~

Trong chương H tác giả sử dụng cơng cụ của lý

thuyết số mũ trung lâm trên do R.E Vinograd đưa ra (xem [6}) dé nghiên cứu tính chất ồn định của nghiệm ˆ một hệ vỉ phân với nhiễu cấp cao

Hi NGHĨA 2—1 Cặp hàm số giới nội, đo được trên

ty » 2°) {RO, ø(@)} được gọi là thuộc lớp H nếu tồn

` hằng số D = Dạ,p sao cho -

t = l §

fre dt + (q — 1) foar

[Pm (X(t, s)f< Des te

doi voi moit, Cs Ct; 6 aay X(t, 8) ky hiện ma trận _ Cơsi của hệ tuyến tính (8) và

n

Trang 9

Số om = inf (RT) RG ` trong đĩ ( R+a= lim + (ŒR +p)dr t—> œ bo được gọi là sơ mũ trung tâm trên m — bộ phận cấp q của (6)

Với q= 1 vàm =n, định nghĩa này trùng với định ˆ nghĩa hàm thuộc lếp trên và số mũ trung tâm trên

theo nghia Vinograd

Dinh ly sau day la kết quả chỉnh của chương HH

Trang 10

Thế thì với bất kỳ điều kiện ban đầu nado x, = x(t,)

cĩ chuần đủ nhỏ ; phương trình (5) cĩ nghiệm x(t, ty, X»)

là z — thác triền được trên (t,, œ) và thỏa mãn bất

đẳng thức;

t

frear

Iv(Đi < đyđ2Ï + lize.) Dye"

Từ đĩ suy ra rằng nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (¿2 8 là y — ồn định

Áp đụng dịnh lý này ta chứng mìinh được các mệnh

dé mé rong cia định lý Malkin, định lý Massera, định

lý Liapunov :

Chang han:

HỆ QUÁ 2 — 3 Nếu chuẩn của Pa (X(t, s)) théa man bất đẳng thức sau với một hằng số D nào đĩ: %5 -

IP„(X@, sỹ < De #Œ — 9 + PS

trong đĩ +, B là các hằng số thỏa mãn điều kiện: > _ q—1)a+p<0

thì nghiệm tâm thường x=0 của hệ {ð) lày -ơn

định tiệm cận với bất kỷ nhiễu nào cĩ cấp > q

_ Khi m=n mệnh đề này cho ta định lý Malkin{7] HỆ QUÁ 2—2 Nếu số mũ trung tâm trên m—bộ phận cấp q là âm : @m <0 thì nghiệm tầm thường

x=0 của hệ (5) là yồn định tiệm cận khi L—> s với

Trang 11

Chương HI dành cho việc sử dụng phương pháp ham

Liapunov đề nghiên cứu tính chất ồn định đối với ma

trận chéo © (t) Khai niém nay, do tac ‘gid dua ra, 1a sự mẻ rộng của khái niệm ơn định (heo Liapunoy NO

giúp cho la khảo sái sâu sắc hơn «mức độ» ơn định đối với từng thành phần của veclơ biều diễn chuyên động Giả sử đã cho hệ vi phân cấp n dx: = =N, , ` mm a: (i, x) @)

với về phải liên tục và (hỏa mãn điều kiện duy ‘ahi at

nghiệm trong miền -

Ai <œ¡Jx[<H- (H0

Giả sử gt G=1, n) la nhitng ham số đơn điệu tăng, khả vi trong [a.oo) va;

ot) <1 ,a<t<io, lim g@;¡() =b; -(9ˆ

‘ vot `

ĐỊNH) NGHĨA Nghiệm + (Ð của hệ vi phân (7) được

gọi là ơn- định bậc k> 0 đối với ma trận „ ®Œ}= đỉag (0uufa) -

hoặc ®œt — ồn định khi t —> co nếu đối với mỗi s>>0,

tạ.€ [a,=) tồn lại số ở (se, tạ) — 0 sao cho từ bất đẳng

thức :

IP*đ2) x,—n(,)|<ð —— 10)

suy ra : , :

YOK (OQ XS ty Xe) — 1D <e voi moi i>t,

Trang 12

,

Nghiệm n (1) của hệ (7) được gọi là ®*.— ơn định - tiệm cận nếu nĩ là #* ~ ồn định và với mỗi lạ € [a,œ), 'tồn tại số A ()>0 sao cho mọi nghiệm x (L;fạ, xạ) mà I (2) xe — Wt <A thì lim J*(Ðx(t ; l2, xạ — n (ĐỊ = 0 i — co - Từ.các dinh nghĩa dưa ra la suy ra được một số mệnh đề sau đây:

- HỆ QUÁ 3—1 Nếu nghiệm m () của hệ vi phân (7) là `®(@) ồn định (hoặc ®() — ồn định liệm cận) với ®() = E (21a ma tran don vị cấ6 n) thì nĩ là ồn dịnh (hoặc Ov định tiệm cận) theo nghĩa Liapunov

HỆ QUÁ 3—3 Nếu nghiệm tầm thưởng x =0 của hệ dx oy dt „ là ®* — ồn định (hoặc @* ơn định tiệm cận) thì nĩ cũng là ®* — ồn định (hoặc @©° ~ ồn định tiệm cận): với mọi số h: 0< h < k, do do nĩ cũng là ồn định (hoặc ồn định tiệm cận) theo nghĩa Liapunov =X(@x (X@Œ0=0) — TdĐ

Sau khi đưa ra các khái niệm mở rộng trên đây tác- giả đã chứng minh một số mệnh đề cho các điều kiện đủ (và điều kiện cần) đề nghiệm tâm thường x=0 của hệ (11) là ®* — ồn định; @* — ồn định đều, ®* —nˆ định tiệm cận, Các mệnh đề này là mở rộng của các định lý đã biết trong Íý thuyết ồn định của Liapunov;

Persidski; Tsêtaev, ,

Chẳng hạn các định lý sau đây là mở rộng của định lý Liapunov

Trang 13

ĐỊNH lLÝ 3~1 Nếu đối với hệ vị phản cấp n dx dt ton tai ham V (t,x) théa mãn các bất đẳng thức = Xitx) (X(L.0) =0) (12) V(t x) > a(x) - ya V (Loe x) <0

(trong đĩ a (r) là hẳm số đơn điệu tăng; liên tục trong

[0 H] (hoặc [0, œ) và a(0 = 0) thì nghiệm tầm

thường x=0 của hệ (13) 1A &* — ồn định

ĐỊNH LÝ 3—5 Nếu đối với hệ vị phân (12) tồn: tại

hàm số khả vi liên tuc V(t, x) théa man cdc điều kiện sau: 9) VŒ, x) >9) adXID a) =1) trong đĩ 6() là hàm số đơn dié utang va lim Ot) = toe 3» ¬ Ÿ(d,®*(4)x) <0 thì nghiệm lăm thường x=0 của hệ (12) là @*~ồn định tiệm cận khi t-» + o ` `

Cuối chương JH tác giả đã nêu mét sé thi du minh họa cho những định lý đã“ -được chừng minh trong việc xác định lính chất (ĐÈ —ồn định; ok Sn định

tiệm cận của nghiệm tầm thường của một hệ vi phan

Trang 14

ở hội nghị khoa học của Tơ, Giải tích và Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà nội ! và ở xemine Phương

trình vi phân của trường Đại học Tơng hợp Hà Nội Các kết quả chính của luận văn được cơng bố trong

[8] — [11]

Trang 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO a

[1] Jlanyros A.M CoGpanne coqcuennl H MOckpa- J]iennnrpan, l956

[2] Pywannes B.B O6 ycrolqHBocTH /nBHXGHHT HO OTHOHICHHIO K HACTH: D€DEM€HHBIX Becrunk M.P.Y N® 4;

1957 : ‘

[3] Pymsannes B.B O6 acumnroruueckoft VCTOHWHBOCTH H H@VCTỌHHBOCTH ABHKCHHA HO OTHOUTeHINO K YacTH

trepemenuitx, ITM M, 1971, T35, BBH1 1

14] -Megenn H.P_ Đsenenue B TeopHo VCTOlffiBOCTiT -

apuxenusa Elan-po «Haywa», MocKsa, 1976, -

[5] Maccepa X.JI, K reopun yeroluneocrn, Cố nepe- somos « Matematuka», H.J1 1:4, 1957 |

[6] Busorpéa PS © nenrpasbnom XapaKTeDHCTN€CKOM IOKA34TEI6 CHCTEMD IHỦjj€pEIHUHA1EHBX YDABHHHE

MareM cØopHnk 42, N°2, 1957,

[7] Maakmm, J.P B8eneHu€ 8 TeOpHIO yGTOÍÏNHBOCTH

asHxcenns, Wlan-so « Hayka», Mocksa, 1966,

S4 B Tyan Heroropbe TeopeMi, 06 y€fOfiurROGTH

Re OTUOCHTEADHO MaTDITILBL @ a FLadibepeui.u~ apie ypapnenusa 1978, TOM XIV, N°9, e

Trang 16

{9] By Tyan O6 yCTOĐWOBO€TH To Hepsomy nphốan3.erudo 3XeưEHiOMWV ƠTHOCHT€IbHO HACTH H€D€M€HHHIX, TIMM (x tte-

_uadru)

[10] Vai Tuấn Số mũ trung tâm trên và tính chất ồn

định bộ phận Tạp chí Tốn học (đã gửi đăng)

fit] Vũ Tuấn Về tính chất ồn định tiệm cận bậc k ~ đối với ma trận ® (Ù - Tạp chí Tốu học LHià Nội (đã

gửi đăng) , - :