(BQ) Giáo trình Các phương pháp Toán kinh tế dành cho sinh viên hệ đào tạo chính quy, và có thể có ích cho những ai muốn tìm hiểu và vận dụng các phương pháp toán kinh tế trong nghiên cứu và hoạt động thực tiễn trong lĩnh vực quản lý và kinh doanh. Giáo trình kết cấu gồm 6 chương và chia thành 2 phần, phần 1 trình bày những nội dung về: cơ sở toán của quy hoạch tuyến tính; bài toán quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình; bài toán đối ngẫu;... Mời các bạn cùng tham khảo!
ĐẶNG VÀN THOAN CÁC PHỬƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ St giáo dục -1998 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI ĐẶNG VÀN THOAN CÁC PHƯƠNG PHÁP TORN KINH TẾ NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 1998 thêm "giáo trình tập phương pháp toán kinh tế" se xuất thời gian gàn Đối tượng phục vụ giáo trình sinh viên hệ đào tạo quy Trường Đại học Thương mại, song có ích cho muốn tìm hiểu vận dụng phương pháp toán kinh tế nghiên cứu hoạt động thực tiễn lĩnh vực quản lý kinh doanh Trong trình biên soạn, tác giả nhận ý kiên đóng góp q báu địng nghiệp mơn Tốn Trường Đại học Thương mại Tác già nhận góp ý gợi ý để giáo trình có chất lượng tốt PGS - Tiến sĩ Nguyễn Xuân Tấn (Viện toán học) PTS Nguyễn Xuân Viên (Học viện kỹ thuật quân sự) Tác giả chán thành cảm ơn tất đóng góp chân tình dó Tuy nhiên, giáo trình khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót nội dung cách diễn giải chương, mục Tác giả mong nhận dược ý kiến nhận xét bạn đọc, để tiếp tục hồn thiện nội dung giáo trình Tân xuất sau Hà Nội, tháng năm 1998 Tác gia CHƯƠNG I Cơ SỞ TOÁN CỦA QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 VÉC Tơ Ta gọi n số thực {xx, x2, xn) -được xếp theo thứ tự định véc tơ n - chiều Nếu xếp theo thứ tự từ xuống ta gọi véc tơ cột ký hiệu: X1 x2 xn Nếu theo thứ tự *T» từ trái sang phải ta gọi * véc tơ hàng ký hiệu X = [xx, x2, , xn] Số Xj (i = 1,2, ,n) gọi thành phần (hay toạ độ) thứ i véc tơ X véc tơ cột hai chiều, [-3, 5, -1, -4] véctơ hàng bơn chiều Ví dụ: Các véc tợ mà sau thường nói tới, véc tơ cột Để véc tơ hàng, ta dùng số T (chuyển vị) ghi góc bên phải, chẳng hạn AT = [-5, 4, 2, 6] Hai véc tơ n chiều X = [xx, x2, ,rXn]T Y = [yx, y2, yn]T gọi thành phần tương ứng chúng nhau, tức X = Y Xị = y¡, Vị = 1,2, ,n Đối vối hai véc tơ n chiều A = [ax, a2, , an]T B = [bi, b2, bn]T Ta ký hiệu A < B (đọc A nhỏ B) xảy đồng thời ax < bx, a2 < b2, , an < bn Ta kí hiệu: A < B ax < bx, a2 < b2( , an < bn Tương tự, đưa ký hiệu: A > B (đọc A lớn B) A > B - Một véc tơ mà tất thành phần 0, ta gọi véc tơ không, ký hiệu 0T = [0, 0, , 0], 1.2 CÁC PHÉP TÍNH VÉC Tơ Phép nhân véc tơ với số thực Ta gọi tích véc tơ n chiều A vởi số thực k véc tơ n chiều, ký hiệu kA, mà thành phần tích sơ k với thành phần ứng véc tơ A Như vậy: k.A = [kax, ka2, , kan]T Nếu ta nhân véc tơ A với -1 ta nhận véc tơ -A, véc tơ mà toạ độ sai khác dấu so với toạ độ A Véc tơ -A gọi véc tơ đối véc tơ A Tổng hai véc tơ Tổng hai véc tơ n chiều AT = [ab a2, , an] BT = [bj, b2, bn] véc tơ n chiều, ký hiệu AT + BT mà thành phần tổng thành phần tương ứng AT BT Như AT + BT = [ai + b1( a2 + b2, , an + bn] Chúng ta định nghĩa hiệu hai véc tơ A B tổng véc tơ A véc tơ -B Như A - B = [ax - b1; a2 - b2, , an - bn] Phép nhân vộc t vi mt s v phộp cng vộỗ t có tính chất sau: a Tính giao hốn A + B = B + A b Tính kết hợp t(kA) = (tk)A; A + (B + C) = (A + B) + c c Tính phân bố (t + k)A = tA + kA; k(A + B) = kA + kB Vởi véc tơ A = [a1; a2, , an] tồn véc tơ đối -A = [-ax, -a2, , -an] A + (-A) = Tích vơ hướng hai véc tơ Ta gọi tích vơ hướng hai vềctơ n chiều X Y số thực, xác định bỏi tổng tích thành phần tương ứng X Y, ký hiệu (X,Y) hay X.Y Như X = [xx, x2, , xn]T Y = [yx, y2, , yn]T (X,Y) = ỈVi i=l Ví dụ: Cho X = [-2, 3, -1, 0]T, Y = [4, -1, 5, 2]T (X,Y) = -8 - - + = -16 Tích vơ hướng có tính chất sau: a (X,Y) = (Y,X) b (kX,Y) = (X,kY) = k(X,Y) c (X + Y,Z) = (X,Z) + (Y,Z) d (X,X) > Dấu = xẩy X = 1.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH Tổ hợp tuyếi* tính véc tơ Cho.m véc tơ n chiều Ax, A2, , Am véc tơ A = kxAx +k2A2+ + kjjAn Vởi kx, k2, , km sô thực, gọi tổ hợp tuyến tính m véc tơ cho hay A biểu diễn tuyến tính qua véc tơ Ax, A2, ,Am Ví dụ- Cho Ax = [-2, 1, 0], A2 = [1, 3, 2], A3 = [4, -1, 1] A = 2AX + 5A2 - 3Ag = [-11, 20, 7] tổ hợp tuyêh tính Ax, A2 A3 - Tổ hợp tuyến tính gọi khơng âm kj > với mọi: i = 1, 2, , m - Ta gọi tổ hợp tuyến tính: klAl + k2A2 + + kmAm tổ hợp lồi nếu: kl + k2 + + km = kị > (i = 1, 2, , m) Các véc tơ Ax, A2, Ajn gọi độc lập tuyến tính tổ hợp tuyến tính chúng véc tơ khơng tất hệ số đệu 0, tức hệ thức kiAi + k2A2 + + kujAnj = (1.1) kx = k2 = km = (1.2) - Nếu hệ thức (1.1) xẩy có hệ số kj khác khơng véc tơ Ax, A2, , Ajn gọi phụ thuộc tuyến tính Điều kiện cần đủ để hệ véc tơ Ax, A2, Aja phụ thuộc tuyến tính có véc tơ hệ biểu diễn tuyến tính qua véc tơ cịn lại Thật vậy, véc tơ Ax, A2, , Anj phụ thuộc tuyến tính hệ thức (1.1) xẩy với hệ số khác không, chẳng hạn kj * 0, khi‘đó từ (1.1) ta có kl ko kj_x kj + x = - ^A!-^A2 -••• "k^-i" 1(^ + tức A¿ tổ hợp tuyến tính véc tơ lại Ngược lại véc tơ hệ, chẳng hạn Ax biểu diễn tuyến tính qua véc tơ cịn lại, nghĩa là: Ax = a2A2 + Œ3A3 + + amAm Ax - a2A2 - a3A3 - - amAm = Với hệ sơ Ax khác khơng Điều chứng tỏ hệ Ax, A2, , Am phụ thuộc tuyến tính Từ đây, ta suy mệnh đề tương tự cho hệ véc tơ độc lập tuyến tính: Điều kiện cần đủ để hệ véc tơ độc lập tuyến tính véc tơ hệ khơng thể biểu diễn tuyến tính qua véc tơ lại Từ định lý trên, ta dễ thấy véc tơ Ax, A2, Am véc tơ khơng hệ phụ thuộc tuyến tính Chẳng hạn Ax = Ax biểu diễn tuyến tính qua véc tơ lại Ax = O.A2 + O.A3 + + O.Ajn Ví dụ: Các véc tơ: AT = [3, 2, -4], B1' = [2, -1, 3], CT = [0, -7, 17] phụ thuộc tuyến tính 2AT - 3BT + CT =0 Nhưng véc tơ AT = [3, 2, -4], BT = [2, -1, 3], DT = [2, 2, 2] độc lập tuyến tính khơng véc tơ chúng biểu diễn tuyến tính qua hai véc tơ 10 1.4 HẠNG CỦA HỆ VÉC Tơ Định nghĩa hệ độc lập tuyến tích cực đại Cho hệ véc tơ (có thể gồm số hữu hạn hay vô hạn véc tơ) Giả sử, hệ có hệ gồm h véc tơ độc lập tuyến tính cho thêm vào véc tơ hệ cho, ta hệ (h + 1) véc tơ phụ thuộc tuyến tính Khi ta nói hệ h véc tơ hệ độc lập tuyến tính cực đại hệ véc tơ cho Ví dụ: Xét hệ gồm ba véc tơ: AT = [1, -2, 3], BT = [4, 2, -1] CT = [6, -2, 51 Ta thấy AT BT hai véc tơ độc lập tuyến tính, nhưnạ c có thê biểu diễn tuyến tính qua hai véc tơ A B : c = 2A + BT, nên hệ độc lập tụ^ến tính cực đại hệ ba véc tơ cho gồm hai véc tơ AT BT - Đối với hệ véc tơ cho, hệ độc lập tuyến tính cực đại có sơ lượng véc tơ Hạng hệ véc tơ Định nghĩa: số lượng véc tơ hệ độc lập tuyến tính cực đại củạ hệ véc tơ, gọi hạng hệ véc tơ Định lý: Nếu hạng hệ véc tơ h véc tơ hệ biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính h véc tơ độc lập tuyến tính hệ cách biểu diễn Chứng minh: Phần định lý hiển nhiên Thật hệ véc tơ có hạng h, nên ta chọn h véc tơ độc lập tuyến tính A1; A2, , Ajj 11 Trong Cj véctơ hàng mà thành phần hệ số cáẹ biến sở hàm mục tiêu, Aj1 ma trận nghịch đảo ma trận vuông Aj Ta biết ma trận A toán gốc chứa ma trận đơn vị (hoặc bổ xung chứa ma trận đơn vị) bước lặp thuật tốn đơn hình, nghịch đảo ma trận sỏ (tức ma trận AJ1) gồm cột vị trí tương ứng với cột ma trận đơn vị ma trận A (theo thứ tự tương ứng với véctơ đơn vị thứ nhất, thứ hai, thứ m) Như nêu tốn gốc có phương án tối ưu véctơ Cj ma trận AJ1 chứa bảng đơn hình kết thúc Ví dụ 3.5 Giải tốn sau phương pháp đơn hình suy phương án tối ưu toán đốì ngẫu (nếu có) z = 2Xx + 5X2 + 4X3 + X4 ã 5X5+ 3Xò > * xx + 2x2 + 4x3 - 3X5 = 152 4x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 60 3x2 + x5 + Xg = 36 Xj > (j = 1, 2, -, -6) Giải toán phương pháp đơn hình sau ba bước lặp ta thu phương án cực biên tối ưu: X = (104, 12, 6, 0, 0, 0,)T 130 -5 Xi x2 x3 x4 X5 x6 J Xj *1 152 -3 x4 60 3 *6 36 [3] 0 1 z 472 12 X1 128 -11/3 -2/3 x4 12 0 [2] 5/3 -4/3 x2 12 0 1/3 1/3 z 328 0 -4 X1 104 0 -2 -21/3 X3 0 1/2 5/6 -2/3 x2 12 0 1/3 1/3 z 292 0 -3 -5 Cj sở tối ưu Aj = [A1( A3, A2], Ma trận A chứa ma trận đơn vị [Av A4, Ag] nên bảng đơn hình kết thúc Aj1 gồm cột thú nhất, thứ tư thứ sáu Gọi yT phương án tối ưu tốn đối ngẫu Ý7 = cj A}1 = [2, 4, 5] 1-2 v2 - ^3 0 V3 [2, -2, 3] Chú ý Nếu biến đổi (3.18) để gắn với ý nghĩa hệ số bảng đơn hình ta xác định phương án tối ưu toán đối ngẫu cách đơn giản 131 Ta gọi oq, a2, , an véctd cột phần bảng đơn hình kết thúc giả sử {j’i, j2, jm } số véc tơ cột đơn vị tạo nên sở Jo ỏ bảng đơn hình ỹT = Cj AJ1 = Cj [a j, a i, a j ] hay ^1 {yi> y2>-,yk>-,ym} T „ T CJ ajf cj“j2’ • Jm J2 T„ T • > CJ ajk» • • • ’ cJajm yk = Cj aJk = E Ci aiJk = ( E c¡ aijk - Cjk ) + Cjk = Ajk + Cjk ieJ ieJ (k = 1, 2, , m) A j số ghi hàng cuối bảng đơn hình kết thúc ứng với véctơ đơn vị có thành phần thứ k ỏ bảng đơn hình Từ đầy ta phát biểu qui tắc suy nghiệm toán đối ngẫu sau: Nếu bảng đơn hình Aj véc tơ đơn vị có thành phần thứ k thì: ỹk = Aj + Cj (3.19) Trâ lại ví dụ vừa xét ta tìm Y = [y1( y2, y3]T sau: ỹi = Ai + C1 = + = 2, ỹ2 = A4 + c4 = -3 + = -2, y3 = Aß + c6 = + = -> Ỹ = [2, -2, 3]T • 132 3.4 Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA CẶP BÀI TỐN ĐỐI NGẪU Để trình bày vấn đề này, ta xét chẳng hạn toán "lập kế hoạch sản xuất số lượng loại sản phẩm qui định" coi tốn gốc Có n cách khác để sản xuất m loại sản phẩm Cách thứ j (j = 1, 2, ,.,n) áp dụng đơn vị thời gian cho ajj đơn vị sản phẩm loại i (i = 1, 2, ,m) địi hỏi chi phí Cj Hãy xác định thời gian (tj) cần áp dụng cho cách sản xuất để số sản phẩm loại i sản xuất bj (i= 1, 2, , m), đồng thời tổng chi phí sản xuất thấp Mơ hình tốn là: -> j=i aijtj > bị (i=l, 2, , m) j=i tj > (j =1, 2, , n) Ta lập toán đối ngẫu tương ứng: i=l £ i=1 i=l aijzi í Cj (j =1, 2, , n) 133 z¡ > o (i =1, 2, m) Nếu gọi Zj (i = 1, 2, giá trị (giá trị qui ước) đơn vị sản phẩm loại i tốn đối ngẫu mơ hình tốn học tốn thực tê sau: Có n cách khác để sản xuất m loại sản phẩm Cách thức j (j = 1, 2, ,n) áp dụng đơn vị thời gian cho ajj đơn vị sản phẩm loại i (i = 1, 2, , m) đòi hỏi chi phí Cj Hây xác định giá trị Zj cho đơn vị sản phẩm loại i để tổng giá trị sản phẩm sản xuất theo cách khơng vượt q chi phí sản xuất Cj, đồng thời tổng giá trị toàn sản phẩm lớn Sau sô' ý nghĩa kinh tế cặp toán trên: Theo định lý đối ngẫu hai muốn cho cặp To (phương án sản xuất) zo (phương án định giá trị) tốt điều kiện cần đủ là: a Nếu cách sản xuất áp dụng (tj0) > 0) tổng giá trị sản phẩm sản xuất theo cách phải vừa chi phí i=i cách sản xuất không áp dụng (tj0)=O) tổng giá trị sản phẩm sản xuất theo cách thấp chi phí 134 i=l b Nếu loại sản phẩm có giá trị (Z|0)>0) tổng số sản phẩm loại sản xuất phải vừa yêu cầu tối thiểu ỉ = bi j=l loại sản phẩm khơng có giá trị (Z[°)=0) tổng sơ sản phẩm loại sản xuất lại vượt yêu cầu tối thiểu ỉ aÿtf0 > bị j=i G-ả sử ta giải toán gốc phương pháp đơn hình thu phương án sản xuất tốt To Từ ta suy phương án định giá trị tốt zo Ta có z-°) = Ạj + Cj (thành phần thứ i phương án zo) giá trị cần xác định cho đơn vị sản phẩm loại i a Nếu sở bảng đơn hình kết thúc gồm tồn biến phụ khơng cách sản xuất áp dụng, không sản xuất sản phẩm cực tiểu tổng chi phí sản xuất Với tốn đối ngẫu cực đại tổng giá trị toàn sản phẩm Zj = Aj = (các véctơ sở ứng với Ạj = 0) b Nếu phương án tốt To toán gốc không chứa biến phụ nhận giá trị dương ta đạt tổng chi phí sản xuất thấp sử dụng cách sản xuất thu tổng giá trị tồn sản phẩm lơn 135 tổng chi phí sản xuất thấp (min f = max g) 3.5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU Khi áp dụng phương pháp đơn hình để giải tốn qui hoạch tuyến tính dạng tắc, ta xuất phát từ phương án cực biên, bước cải tiến để chuyển sang phương án cực biên khác tốt cuối tìm phương án tối ưu toán (nếu tốn cho có phương án tối ưu) phát tốn khơng giải Bây nghiên cứu cách cải tiến phương án toán đối ngẫu ta xuất phát từ phương án cực biên Áp dụng phương pháp đơn hình cho tốn đối ngẫu nhằm mục đích tìm lời giải tốn gốc Để định ý ta xét toán gốc toán max Aj sỏ bước thứ k thuật tốn đơn hình: Cơ sở gọi sô gốc chấp nhận A^b > ứng với sở hàng cuối bảng đơn hình tương ứng ta xác định véctơ CjAýA- CT (3.20) Nếu véctơ (3.20) không âm biết ta có Aj sở tối ưu cJAj1 xác định phương án tối ưu tốn đổì ngẫu - Một sỏ Aj ma trận hệ số A gọi sỏ đối ngẫu chấp nhận véctơ (3.20) không âm 136 Rõ ràng sở ma trận A vừa gốc đối ngẫu chấp nhận sỏ tối ưu toán Như phương pháp đơn hình ta xuất phát từ sở gốc chấp nhận bước ta chuyển sang sở gốc chấp nhận khác tốt hơn, tìm sở đồng thời gốc đôi ngẫu chấp nhận (nếu tốn ta xét có phương án tối ưu) Trong thực tế đơi ta gặp tốn mà ta có sở đối ngẫu chấp nhận gổic chấp nhận Trong trường hợp ta tiến hành cách giải theo trình tụ ngược lại, tức bước cải tiến tốt sỏ đối ngẫu chấp nhận đến sở đồng thời gốc chấp nhận Thuật tốn đơn hình đối ngẫu tóm tắt sau: Xét tốn: Z(X) = CTX -> max AX = b ■X > Giả sử biết phương án cực biên Y toán đối ngẫu với sở đối ngẫu tương ứng Aj Lập bảng đơn hình tương ứng với sỏ đối ngẫu Hiển nhiên ta có Aj > 0, Vj = 1, 2, ,n Véctơ Xq = AJxb = [Xj0), j G J] gọi giả phương án Đó hệ số phân tích véctơ b theo sồ Aj Các thành phần véctơ Xq ghi cột sỏ Giá trị Z(X) ghi bảng đơn hình xác định Z(Xq) 137 = CjAjXb = YTb = g(Y) - giá trị -hàm mục tiêu tốn đối ngẫu ứng với phương án cực biên Y, thay cho Z(X) ta ghi g(Y) Bước Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu Nếu Xj°) > (Vj e J) giả phương án trỏ thành phương án tối ưu bầi toán gốc, đồng thời Y phương án tối ưu toán đối ngẫu Nếu tồn Xj°) < Y phương án tối ưu ta chuyển sang bước Bước Kiểm tra tính khơng giải toán: Nếu tồn Xj°) < mà Ojk > vk Ể J tốn đối ngẫu khơng giải tốn gốc khơng có phương án Nếu với Xj0) < có ơjk < chuyển sang bước Bước Chọn véctơ loại khỏi sồ xác định véctơ đưa vào sở Giả sử niin Xj0) = véctơ A, bị loại khỏi sỏ (xjo) < } Tính 0O = Í777O lurk J ark < kg J Giả sử 90 = 77Ạ véctơ Ag đưa vào sở ^rs Phần tử trục phép biến đổi sở ars < Lập bảng đơn hình chuyển sang bước Bước Biến đổi bảng Thực phép biến đổi sồ cho toàn bảng, ta bảng đơn hình ứng với phương 138 án cực biên Y1 toán đối ngẫu tốt phương án cực biên Y với sỏ J’ = {J\(r|U(s}} Đối với Y quay trở lại bước Vì số phương án cực biên hữu hạn nên sau số hữu hạn bước ta tới kết luận: tốn gốc khơng có phương án tìm phương án cực biên tối ưu Chú ý áp dụng thuật toán: Đối với tốn có hàm Z(X) -> 0O xác định bỏi 0Q = I +Ak «rk ark 0 0-2-4 12 2 -> -> 6 12 0 10 18 25 24 36 10 0-2 10 010 2-4 0 11 ma trận thứ tư ứng với hệ - 2x4 + 10 x5 = + 2x4 - 4x5 = + x4 + 2x5 = Từ phương trình ta chuyển... trước, ta xét ỏ mục (1. 13) 31 1 .11 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Hệ phương trình tuyến tính tổng qt gồm m phương trình với n ẩn có dạng: au xx + a12x2 a 21 X1 + a22 x2 + + aml X1 + am2 x2 + • • +