X Hÿ j > bi ( iG I2) Yi < ( iG I2) j=l
3.4. NGHĨA KINH TẾ CỦA CẶP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
ĐỐI NGẪU
Để trình bày vấn đề này, ta hãy xét chẳng hạn bài toán
"lập kế hoạch sản xuất khi số lượng các loại sản phẩm đã
qui định" và coi đó là bài tốn gốc
Có n cách khác nhau để sản xuất ra m loại sản phẩm. Cách thứ j (j = 1, 2,. ,.,n) áp dụng trong một đơn vị thời
gian sẽ cho ajj đơn vị sản phẩm loại i (i = 1, 2,....,m) và đòi hỏi một chi phí bằng Cj. Hãy xác định thời gian (tj)
cần áp dụng cho từng cách sản xuất để số sản phẩm từng loại i sản xuất được ít nhất bằng bj (i= 1, 2, ...., m), đồng thời tổng chi phí sản xuất là thấp nhất.
Mơ hình bài toán trên là:
-> min j=i
j=i
aijtj > bị (i=l, 2,..., m)
tj > 0 (j =1, 2, ..., n) Ta lập bài toán đối ngẫu tương ứng:
i=l
z¡ > o (i =1, 2, m)
Nếu gọi Zj (i = 1, 2, là giá trị (giá trị qui ước) của một đơn vị sản phẩm loại i thì bài tốn đối ngẫu trên chính là mơ hình tốn học của bài tốn thực tê sau:
Có n cách khác nhau để sản xuất m loại sản phẩm.
Cách thức j (j = 1, 2, ...,n) áp dụng trong một đơn vị thời gian sẽ cho ajj đơn vị sản phẩm loại i (i = 1, 2,..., m)
và đòi hỏi chi phí bằng Cj. Hây xác định giá trị Zj cho mỗi đơn vị sản phẩm loại i để tổng giá trị các sản phẩm sản xuất được theo từng cách khơng vượt q chi phí sản xuất Cj, đồng thời tổng giá trị toàn bộ sản phẩm là lớn nhất.
Sau đây là một sô' ý nghĩa kinh tế của cặp bài toán trên: 1. Theo định lý đối ngẫu hai muốn cho cặp To (phương án sản xuất) và zo (phương án định giá trị) là tốt nhất thì điều kiện cần và đủ là:
a. Nếu một cách sản xuất được áp dụng (tj0) > 0) thì
tổng giá trị các sản phẩm sản xuất theo cách ấy phải vừa đúng bằng chi phí
i=i
hoặc một cách sản xuất sẽ không được áp dụng (tj0)=O) nếu
tổng giá trị các sản phẩm sản xuất theo cách ấy thấp hơn chi phí
b. Nếu một loại sản phẩm có giá trị (Z|0)>0) thì tổng số sản phẩm loại đó sản xuất được phải vừa đúng bằng
yêu cầu tối thiểu
ỉ = bi j=l
hoặc một loại sản phẩm sẽ khơng có giá trị (Z[°)=0) nếu
tổng sơ sản phẩm loại đó sản xuất được lại vượt quá yêu cầu tối thiểu
ỉ aÿtf0 > bị
j=i
2. G-ả sử ta giải bài toán gốc bằng phương pháp đơn hình và thu được phương án sản xuất tốt nhất là To. Từ đó ta suy ra phương án định giá trị tốt nhất zo.
Ta có z-°) = Ạj + Cj (thành phần thứ i của phương án
zo) chính là giá trị cần xác định cho một đơn vị sản phẩm
loại i
a. Nếu trong cơ sở của bảng đơn hình kết thúc gồm tồn
biến phụ thì khơng một cách sản xuất nào được áp dụng, không sản xuất một sản phẩm nào và cực tiểu tổng chi phí sản xuất bằng 0. Với bài tốn đối ngẫu thì khi đó cực
đại của tổng giá trị tồn bộ sản phẩm bằng 0 vì mọi Zj = Aj = 0 (các véctơ cơ sở đều ứng với Ạj = 0)
b. Nếu phương án tốt nhất To của bài tốn gốc khơng chứa một biến phụ nào nhận giá trị dương thì ta đạt được tổng chi phí sản xuất thấp nhất khi sử dụng các cách sản xuất và thu được tổng giá trị toàn bộ sản phẩm lơn nhất
cũng bằng tổng chi phí sản xuất thấp nhất ấy (min f =
max g).