Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông không suy biến. Má trận nghịch đảo của ma trận A là một ma trận mà
tích của nó với ma trận A cho ta ma trận đơn vị.
Do tính khơng giao hoán của phép nhân ma trận nên một câu hỏi được đặt ra liệu có tồn tại hai ma trận nghịch
đảo của ma trận A, trong đó X là ma trận nghịch đảo phải
xác định bởi phương trình
AX = E (1)
và Y là ma trận nghịch đảo trái xác định từ phương trình
YA = E (2)
Dễ dàng chứng minh được hai ma trận nghịch đảo tiên
là bằng nhau. Ta nhân phương trình thứ nhất về bên trái với ma trận Y ta nhận được:
YAX = YE = Y
Tương tự nhân phương trình (2) về bên phải với ma trận X ta nhận được
từ đó suy ra
YAX = EX = X Y = X ■
tức là đổỉ với ma trận A tồn tại chỉ một ma trận nghịch
đảo, chúng ta sẽ ký hiệu là A’1. Đối với cặp ma trận A và
A’1 phép nhân có tính chất giao hốn
Ví dụ về ma trận nghịch đảo
A = 5]
r-2 3-| r-5. 3- 1 0
-3 1.-3 2_ 0 1.
Đối với ma trận đường chéo
3 0 0 r 1/3 0 0 D = 0 -4 0 thì D’1 = 0 -v4 0 0 0 5 0 0 v5_ 3 0 0 V3 0 0 1 0 0 Vì 0 -4 0 0 -14 0 = 0 1 0 0 0 5 0 0 V5. 0 0 1
Tổng quát: Một ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo khác khơng thì ma trận nghịch đảo của nó cũng là một ma trận đường chéo cùng cấp, các phần tử trên đưòng chéo bằng nghịch đảo của các 'phần tương ứng trên đường chéo của ma trận ban đầu, tức là nếu’
kl 0 . . 0 0 . . . 0 D = 0 k2 . . . 0 thì D’1 = 0 14c2 . . . 0
0 0 . . • kn. 0 0 . •
Để tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận A cho trước,