ở mục 1.4, chúng ta đã biết rằng mỗi véc tơ đều có thể
biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véctơ của cơ sở bất kỳ. Đối với nhiều trường hợp, ta cần phải xác
định toạ độ của véctơ trong một cơ sở đã cho hoặc xác định sự thay đổi toạ độ của véctơ, tức là véctơ sẽ thay đổi như thế nào nếu cơ sỏ thay đổi. Trong thực hành, các phép
biến đổi được tiến hành theo trình tự từng bước, ỏ mỗi bước ta chỉ thay một véctơ trong cơ sở. Bằng một dẫy các
phép biến đổi cơ bản như vậy, có thể chuyển từ một cơ sỏ đã cho sang một cơ sỏ bất kỳ.
Chúng ta giả sử rằng các véctơ
ai> a2,...,an
tạo nên cơ sỏ của không gian ơ cờ lít n chiều En. Véctơ khác khơng b có thể biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
này dưới dạng:
(bj, b2, ...,bn là các thành phần của véc tơ b trong cơ sỏ đã cho).
ở đây vấn đề đặt ra là, ta có thể thay một véc tơ nào đó trong cơ sở bỏi véc tơ b và với sự thay đổi này toạ độ của các véc tơ khác sẽ thay đổi như thê nào trong cơ sỏ
mới.
- Ta có thể thay véc tơ a¡ nào đó trong cơ sở bởi véc
tơ b, để được một cơ sỏ mới nếu hệ số bị tương ứng khác
khơng.
Để định ý, ta giả sử bk * o Khi đó hệ véc tơ
a1( a2, ..., ak_i, b, ak+1, ..., an tạo nên một cơ sỏ mới của
En. Thật vậy, nếu hạng của hệ véc tơ này nhỏ hơn n, điều này có nghĩa là véc tơ b có thể biểu diễn tuyến tính qua (n-1) véc tơ
ai> a2,...,ak.1, ak+1,...,an và như vậy mâu thuẫn với giả thiết bk * 0
Để cho gọn, ta nói véc tơ ak bị loại ra khỏi cơ sở là véc tơ loại, véc tơ b được đưa vào cơ sở gọi là véc tơ đưa vào.
Toạ độ bk gọi là phần tử trục của phép biến đổi.
Bây giờ ta xác định tọa độ của véc tơ c bất kỳ trong
cơ sỗ mới.
Trong cơ sở cũ ta có:
c = c^aj + c2a2 +... + ckak +...+ cnan ta thay ak bởi biểu thức
„ _ 1 k „ „ lu 1 ,
(suy từ 1.8), ta sẽ được: ( \ ct k K 7 al + c2 “ u b2 ck k l bk ) định.
Phép biến đổi sơ cấp này về thực chất giống như một bước của phương pháp khử dần. Để dễ nhận biết nếu ta
Trong bảng 1.2a, ghi toạ độ của các véc tơ b và c trong
cơ sở xuất phát, trong bảng 1.2b, ghi toạ độ của các véc tơ
này trong cơ sâ mới, ở đó véc tơ ak được thay bởi véc tơ b. Trong cơ sỏ này, véc tơ b được chuyển thành véc tơ đơn vị.
Để minh hoạ, ta tiến hành biến đổi hệ véc tơ các hệ số
trong ví dụ 1.9. Bảng 1.3a Cơ sở ei ®2 e3 ai a2 83 a4 a5 b ei 1 0 0 1 3 4 8 6 25 e2 ' 0 1 0 2 9 14 28 12 74 e3 0 0 1 1 7 14 26 10 61
Trong bảng 1.3a, ta ghi ở phía trước cơ sở xuất phát -
đó là hệ ba véc tơ đơn vị.
Ta thay véc tơ e} trong cơ sở bỏi véc tơ ax. Sự thay đổi này là có thể vì an = 1 * 0, ta đựơc bảng 1.3b. Bảng 1.3b Cơ sở ei *2 e.3 ai a2 a3 a4 a5 b a1 1 0 0 1 3 4 8 6 25 e2 -2 1 0 0 3 6 12 0 24 e3 -1 0 1 0 4 10 18 4 36
Kết quả nhận được giống như bước một của phương pháp
khử dần.
Chúng ta lần lượt đưa vào cơ sỏ (trong bảng 1.3c và
Bảng 1.3c Cơ sở ei e2 e3 31 a2 a3 a4 a5 b 31 3 -1 0 1 0 -2 -4 6 1 a2 -2/3 1/3 0 0 1 2 4 0 8 e3 5/3 -4/3 1 0 0 2 2 4 4 (1.10) Bảng 1.3d Cơ sở ei ?2 e3 31 a2 33 a4 a5 b 31 14/3 -7/3 1 1 0 0 -2 10 5 a2 -7/3 5/3 -1 0 1 0 2 -4 4 a3 5/6 -2/3 1/2 0 0 1 1 2 2
Ba lần thực hiện các phép biến đổi sơ cấp hoàn toàn
trùng với ba bưâc của phương pháp khử dần mà ta đã làm
ở ví dụ 1.9. ở đó, ta khơng ghi các biến mà chỉ có các véc
tơ tương ứng. Trong các bảng trên, ta đưa thêm cơ sở đơn
yị và biến đổi nó theo cơ sỏ thay đổi. Mỗi bước của phương
pháp khử dần, có thể minh hoạ như thực hiện các phép
biến đổi sơ cấp hệ thống véc tơ hệ số và véc tơ hệ số ỏ vế phải, tức là đối với ma trận mở rộng.
Vê' thực chất, việc biến đổi hệ véc tơ không phải chỉ bằng dẫy các phép biến đổi sơ cấp mà chúng ta có thể thực hiên bằng cách khác. Chúng ta nhân về phía trái
của mỗi véc tơ một ma trận xác định (tức là ma trận của
phép biến đổi).
- Đó là ma trận nghịch đảo của cơ sỏ đã cho. Trong ví
đảo của cơ sở này chính là ma trận của phép biến đổi -
đó là ma trận:
14/g - 7/g 1- 7/3 5/3 - 1 - 7/3 5/3 - 1
- &3 Vg
Nếu ta nhân ma trận này về bên trái với các véc tơ
trong bảng 1.2a, chúng ta sẽ trực tiếp nhận được hệ (1.10)
Trong mục 1.11, chúng ta đã nghiên cứu cách giải hệ
phương trình tuyến tính. Chúng ta đã chứng minh rằng bằng phương pháp khử dần có. thể chuyển hệ phương trình về dạng chính tắc, ở đó có thể trực tiếp tìm được nghiệm
cơ sở. Việc chuyển hệ phương trình về dạng chính tắc có nghĩa là biến đổi ma trận mỏ rộng của hệ sao cho ma trận các hệ sô chứa cơ sở đơn vị (tức là tất cả các cột của ma
trận được biểu diễn theo cơ sỏ đã chọn). Nghiệm cơ sỏ chính là khai triển (biểu diễn)của véc tơ vê phải qua cơ sở này.
Trong quy hoạch tuyến tính, chúng ta sẽ dùng đến các nghiệm cơ sỏ cũng như việc chuyển từ một nghiệm cơ sỏ
này sang một nghiệm cơ sỏ khác - Thực chất là việc thay đổi cơ sở, chúng ta có thể thực hiện được bởi các phép biến đổi sơ cấp, tức là lần lượt thay một trong các véc tơ của
cơ sỏ.
Như vậy từ (1.10), ta suy ra một nghiệm cơ sỏ [5,4,2,0,01 với các biến cơ sở là xx, x2, x3 hoặc với các véc tơ ax, a2,
a3 trong cơ sỏ. Lần lượt thay các véc tơ này bởi các véc tơ khác, chúng ta sẽ nhận đựợc các nghiệm cơ sỏ khác.
Chẳng hạn nếu chúng ta thay.ax bồi a5, chúng ta sẽ đưa
ma trận (1.10) có thể thực hiện nhò phương pháp khử dần, chúng ta nhận được Bảng 1.3e 31 a2 33 a4 a5 b 0,1 0 0 -0,2 1 0,5 0,4 1 0 1,2 0 6 -0,2 0 1 1,4 0 1
Cho ta nghiệm cơ sở [0; 6; 1; 0; 0,5].
Khi giải hệ phương trình tuyến tính, có thể gặp trưịng
hợp đặc biệt: Trong một nghiệm cơ sỏ nào đó có một hoặc
một số ẩn cơ sở nhận giá trị khơng. Nói cách khác, véc tơ
vế phải có thể biểu diễn tuyến tính qua một số véc tơ hệ
số, số này nhỏ hơn hạng của hệ. Trong những trường hợp như vậy, ta nói bài tốn suy biến.
Chẳng hạn, nếu chúng ta thay đổi một số hạng ỏ vế phải trong hệ phương trình cuối (ví dụ 1.9) từ 61 sang 57, chúng ta nhận được hê phương trình
xr + 3x2 + 4x3 .+ 8x4 + 6x5 = 25 • 2xx + 9x2 + 14x3 V 28x4 + 12x5 = 74 xx + 7x2 + 14x3 + 26x4 + 10x5 = 57
Hệ này suy biến. Hệ có hạng giống như hệ đã xét bằng
3 (vì ma trận các hệ số không thay đổi), nhưng véc tơ vê
phải có thể biểu diễn tuyến tính qua hai véc tơ cột hệ sô
1 3 25
2 + 8 9 = 74
1 7 57
Giải hệ này bằng phương pháp khử dần, sau hai bước
chúng ta nhận được hệ
X! - 2x3 - 4x4 + 6x5 = 1
■ x2 + 2x3 + 4x4 - 8
2x3 + 2x4 + 4x5 = 0
ở bưởc sau, khử bất cứ ẩn nào, ta cũng nhận được nghiệm [1, 8, 0, 0, 0] chính là nghiệm cơ sở với một số không đầy đủ các thành phần khác không. Sau này chúng ta sẽ thấy tính suy biến sẽ gây khó khàn nhất định, khi
giải các bài tốn quy hoạch tuyến tính.
1.14. TẬP LỒI
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian được gọi là tập lồi nếu đoạn thẳng nôi hai điểm bất kỳ của tập hợp này cũng thuộc nó. Ví dụ: Tồn bộ mặt phẳng, góc phần tư thứ nhất, tập trơng, tập hợp chỉ có
một điểm, tập các điểm của hình trịn, tam giác,hình viên
phân... là những tập lồi. Tập hợp các điểm của hình vành khăn hoặc đa giác như trong hình 1.1 khơng phải là những tập lồi vì trong những tập hợp này ta có thể tìm được hai điểm để đoạn thẳng nối chúng khơng hồn tồn nằm trong tập hợp. Tương tự trong khơng gian ba chiều hình cầu,
hình nón, hình trụ, ... là những tập lồi nhưng phần nằm giữa hai hình cầu khơng phải tập lồi.
Hình 1.1
Để có thể tổng qt hố khái niệm lồi trong khơng
gian n chiều, ta hãy xét cách xác định đoạn thảng nối hai điểm.
Trong mặt phẳng, cho hai điểm ax = [a11,a12] và a2 =
[a21, a22l, giả sử điểm b = [b1,b2] bất kỳ nằm trên đoạn
thẳng nôi chúng và chia khoảng cách giữa hai điểm theo tỷ sô k : (1-k), vởi 0 < k < 1. Khi đó toạ độ của điểm b có thể biểu diễn dưởi dạng (xem hình 1.2)
bi = an + k (a21 - an) = (1 - k)ajj + ka2i
b2 = a12 - k (a12 - a22) = (1 - k)a12 + ka22 (1.11)
hoặc gọn hơn b = (1 - k) a! + ka2. Nói cách khác b là tổ
hợp lồi của ax và a2 (mục 1.3)
Ta dễ dàng chứng minh điều ngược lại: mỗi tổ hợp lồi của hai điểm ai và a2, tức là mỗi điểm (1 - k)ax +ka2 với 0 < k < 1 nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm này.
Hình 1.2
Nếu cho k nhận tất cả các giá trị từ 0 đến 1 ta sẽ nhận
được tất cả các điểm trên đoạn thẳng nối ax và a2. Như vậy tập hợp các tổ hợp lồi của hai điểm là đoạn thẳng nôi
hai điểm này.
Tương tự có thể chứng minh đối với các điểm trong không
gian ba chiều.
Nếu cho k nhận tất cả các giá trị từ - 00 đến + 00 thì
tập hợp các điểm
(1 - k)a! + ka2
Chính là đường thẳng xác định bởi các điểm ax và a2 Nếu cho k chỉ nhận các giá trị không âm hoặc khơng dương thì ta được nửa đưịng thẳng.
Dựa trên cơ sở cách biểu diễn đại số này, chúng ta có thể đưa ra khái niệm đoạn, đường thẩng, nửa đường thẳng
Cho hai điểm ax và a2 của không gian n chiều thì a. Tập hợp của tất cả các tổ hợp lồi của chúng
(1 -k)ax + ka2 với 0 < k < 1
gọi là đoạn thảng nốì chúng.
b. Tập hợp tất cả các điểm
(1 - k)ax + ka2 với -00 < k < +00
là đưòng thẳng xác định bởi ax và a2
- Nếu k chỉ nhận các giá trị khơng âm thì ta được một
nửa đường thẳng đi từ ax qua a2.
Trong khơng gian En, ta nói tập hợp c là lồi nếu hai điểm bất kỳ X, Y thuộc c thì điểm Z = XX +(1- Ầ)Y (trong
đó 0 < À < 1 ) cũng thuộc c, tức là nếu c chứa hai điểin nào đó thì chứa cả đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
Tập hợp lồi được gọi là bị chặn nếu nó khơng chứa một
nửa đường thẳng nào và được gọi là không bị chặn nếu nó chứa ít nhất một nửa đường thẳng.
Tập hợp lồi bị chặn cũng có thể định nghĩa như sau: Tập lồi được gọi là bị chặn nếu đối vối mỗi điểm X = [xx, x2, ...,xn] thuộc nó ta có Xj < M (j = 1,2,...,n) với M là
một số thực (hữu hạn).
Từ định nghĩa tập lồi, ta có thể suy ra:
- Giao của một sơ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi. - Tổng (hoặc hiệu) của hai tập lồi chưa hẳn là một
- Điểm cực biên của tập lồi: Điểm X thuộc tập lồi c được gọi là điểm cực biên của nó nếu không tồn tại hai
điểm khác nhau X! và x2 thuộc c sao cho:
X = AXx + (1-X)X2 với 0 < X < 1
túc là X không nằm trên đoạn thảng nào nối hai điểm thuộc c.
Một tập lồi có thể khơng có điểm cực biên nào, chăng hạn toàn bộ mặt phảng hoặc những điểm trong của một
hình trịn (khơng kể các điểm nằm trên đường trịn) là những tập lồi khơng có điểm cực biên. Tập lồi có thể có một sơ hữu hạn các điểm cực biên (chảng hạn góc phần
tư thứ nhất, đa giác lồi) và cũng có thể có vơ số điểm cực biên (chẳng hạn tập hợp các điểm của hình trịn thì các điểm nằm trên đường trịn là những điểm cực biên).
Một tập lồi bị chặn (giới nội) có một số hữu hạn các điểm cực biên gọi là một đa diện lồi. Các điểm cực biên được gọi là các đỉnh của đa diện.
Mối liên hệ giữa các khái niệm tổ hợp lồi và tập lồi được thể hiện qua các định lý sau đây:
Định lý 1. Nếu đa diện lồi có m đỉnh ax, a2, ..., am thì
mỗi điểm của đa dịên có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp
lồi của các đỉnh.
Định lý 2. Nếu ta có m điểm ax, a2, ..., am thì tập hợp
tất cả các điểm là tổ hợp lồi của các điểm này tạo nên
một đa diện lồi, số các đỉnh của nó nhiều nhất là bằng sơ các điểm a1,a2,...,am
Một đa diện lồi như vậy được gọi là bao lồi của các điểm a1; a2,..„ am.
Chẳng hạn bao lồi của hai điểm là đoạn thảng nôi chúng.
Bao lồi của ba điểm là một tam giác nếu ba điểm không nằm :i'ên một đường thẳng.
Đối với m = 2 (tức là đối với đoạn thẳng) là hiển nhiên
do trực tiếp suy ra từ định nghĩa đoạn thẳng. Ta chứng
minh bằng phương pháp quy nạp, tức là giả sử định lý
đúng với các đa diện có m đỉnh, ta chứng minh định lý
đúng đối với các đa diện có m + 1 đỉnh.
Giả sử chúng ta có đa diện lồi A vỡi m đỉnh a1; a2, ..., am và một điểm b bất kỳ của đa diện này, có thể biểu diễn dưới dạng:
b = k1a1 + k2a2 + ... + kmam (1.12)
trong đó kj > 0 (i = 1,2,...,m)
và ki + k2 + :.. + km = 1
Bằng cách thêm vào các điểm khác nữa từ đa diện A
ta lập đa diện lồi A’ với m + 1 đỉnh a1; a2,..., am, am+1. Vì đa diện A’ có thêm một đỉnh am +1 so với đa diện A, nên mỗi điểm cuả đa diện A’ phải nằm trên đoạn thẳng nối đỉnh am + ! và một điểm nào đó của đa diện A. Như vậy
đối với một điểm c bất kỳ của đa diện A’ phải thoả mãn
c — (1 - km + x)b + km + Ị am + I
ở đây b là điểm của đa diện A và 0 < km+1 < 1 Thay biểu thức của b từ (1.12) vào ta được
c = (l-km+1) Mx + (l-km+1)k2a2 + ... + (l-km+1)kmam + km+lam+l
Mọi hệ số trong biểu thức cuối khơng âm vì kj > 0 (i =
l,2,...,m + 1) và (1 - km+1) > 0 Tổng của chúng bằng một vì
(1 * km+^)k^ "^111+1)^2 +•••+ (1 ■ km+2)krn km+i -
(1 - km+iXkx + k2 + ... +kj + = 1k^! + k m+1 = 1 Điều này có nghĩa là, một điểm c bất kỳ của đa diện
lồi A’ có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của các đỉnh của nó.
Tương tự bằng phương pháp quy nạp hồn tồn, ta có
CHƯƠNG II