TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ta viết hệ phương trình dưới dạng ma trận
hoặc gọn hơn
AX = b (1.4a)
Rõ ràng việc giải hệ phương trình tuyến tính tương đương
với việc biểu diễn véctơ b dưới dạng tổ hợp tuyến tính của
Giả sử hạng của ma trận các hệ* sô' bằng h. Chúng ta gắn vào ma trận này cột hệ sô ở vê phải, ta sẽ nhận được
ma trận mở rộng A = [A I b]. Khi thêm vào một cột hiển nhiên hạng của ma trận không thể giảm.
Hạng của ma trận mở rộng sẽ bằng hạng của ma trận
A nếu véctơ gắn thêm vào là tổ hợp tuyến tính của các véctơ hệ sơ, hoặc tăng lên một nếu véctơ gắn thêm vào
khơng có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véctơ hệ số. Từ đây chúng ta trực tiếp suy ra định lý về điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm nếu ma trận các hệ sô và ma trận mỏ rộng có hạng bằng nhau. Hệ vơ nghiệm nếu hạng của ma trận mở rộng lởn hơn hạng của ma trận các hệ số.
Nếu hệ phương trình có nghiệm, câu hỏi đặt ra là có
bao nhiêu nghiêm. Để trả lời câu hỏi này chúng ta giả sử
rằng ma trận các hệ số A và ma trận mở rộng [A I b] của hệ phương trình Ax = b có cùng hạng bằng h, và như vậy hệ có nghiệm. Bằng cách đánh số lại các ẩn để h cột đầu tiên tạo nên hệ độc lập tuyến tính. Vì theo giả thiết thì tất cả các cột của ma trận A và véctơ â vế phải có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của h cột đầu tiên của ma trận A một cách duy nhất, nên ta có thể viết:
A — [A1; A2,....,Ah].[e1, e2,....eh, ejj +1,...., enJ (1.5) b = [Aj, A2,....,Ah].C
hoặc gọn hơn
b = Ạxc (1.5a)
ở đây Ax là ma trận cấp (m.h) lập bỏi h cột đầu tiên của ma trận các hệ số, Ijj là ma trận đơn vị cấp h, D là ma trận cấp h X (n - h), c là véctơ cột h chiều.
Hệ phương trình tuyến tính có thể viết dươi dạng
Ai [Ih I D].x = Ại c (1.6)
Vì b có thể biểu diễn tuyến tính qua các véctơ Ax, A2, ..., Ah một cách duy nhất, nên từ hệ thức trên ta suy ra
[Ih I D]X = c
Và như vậy, chúng ta đã có nghiệm của hệ (hệ phương
trình đã đưa về dạng chính tắc). Ta tách véctơ X thành
hai phần X?) - chứa h thành phần đầu tiên và x^) - chứa
n - h thành phần còn lại. Chúng ta nhận được
[Ih I D) -c
x(2)
Và sau khi nhân ra ta được
Ihx(1) + dx(2) = c *1 x2 Vì Ihx(1) = x(1) = xh Và như vậy:
= c - DX(2) (1.7)
. xh .
Ta cho các thành phần của x(2) những giá trị tu.ỳ ý, chúng ta sẽ nhận được các nghiệm khác nhau của hệ
Từ (1.7) chúng ta thấy rằng, nghiệm của hệ phương trình
là duy nhất nếu h = n, tức là nếu hạng của ma trận các
hệ số (và cả ma trận mỏ rộng) bằng sơ ẩn (trong trường hợp này x(2) khơng có). Nếu h < n hệ sẽ có vơ số nghiệm.
Ta trở lại ví dụ 1.9 ta có ba véc tơ hệ số đầu tiên độc
lập tuyến tính và ma trận các hệ số có hạng bằng ba (lớn hơn là khơng thể vì chỉ có ba hàng), ở đây, tất cả các cột của ma trận mở rộng đểu có thể biểu diễn tuyến tính qua ba véctơ cột đầu tiên. Cụ thể
A 1 3 4 1 0 0 -2 10 1 3 4 1 0 0 -2 10 2 9 14 0 1 0 2 -4 1 7 14 0 0 1 1 2 Ái I3 D 1 3 4 5 b = 2 9 14 4 1 7 14 2
10 0 0 10 0 0 1 -2 10 2 -4 1 2 Và từ đó: X1 x2 x3 5 4 - .2, -2 10 2 -4 1 2 x4 x5 Đây chính là nghiệm đã tìm khử dần. được bằng phương pháp
Đ,ến đây chúng ta có thể tóm tắt như sau: Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn
1. Có nghiệm nếu hạng của ma trận các hệ số và hạng của ma trận mỏ rộng bằng nhau
a. Có một nghiệm duy nhất, nếu hạng này bằng số ẩn
n, tức là nếu các cột của ma trận các hệ số độc lập tuyến tính;
b. Có vơ sơ nghiệm nếu hạng của ma trận các hệ sô
nhỏ hơn số ẩn;
2. Không có nghiệm nếu hạng của ma trận mở rộng lớn
hơn hạng của ma trận các hệ sô
Chúng ta đã thấy, nhờ phương pháp khử dần các ẩn,
ta có thể xác định trường hợp nào trong các trường hợp
trên sẽ xẩy ra. Từ định lý tồn tại nghiệm của hệ phương 'trình tuyến tính có thể suy rạ các kết quả sau:
a. Hệ n phương trình tuyến tính n ẩn có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nếu ma trận các hệ số không
suy biến.
b. Hệ n phương trình tưyến tính thuần nhất n ẩn bao
giị cũng có nghiệm và:
- Chỉ một nghiệm X = 0 (nghiệm tầm thường) nếu ma trận các hệ số khơng suy biến.
- Có cả những nghiệm khơng tầm thường nếu ma trận các hệ số suy biến.