ở mục 1.4 ta đã đưa ra khái niệm hạng của một hệ
véc tơ là số cực đại các véc tơ độc lập tuyến tính có thể
chọn trong hệ đã cho. Vì các hàng của ma trận hoặc các cột của ma trận tạo nên một hệ véc tơ, vì vậy ta có thể nói đến hạng của hệ véc tơ hàng và hạng của hệ véc tơ cột của một ma trận. Chúng ta sẽ chứng minh hạng của
một hệ véc tơ hàng và hạng của hệ véc tơ cột của một ma
trận là bằng nhau và để cho đơn giản ta nói đó là hạng
của ma trận.
Giả sử ma trận A cấp m.n có hạng của hệ véc tơ cột
bằng s và hạng của hệ véc tơ hàng bằng r. Khi đó ta có thể chọn trong ma trận A s cột độc lập tuyến tính. Khơng
giảm tính tổng qt ta giả sử s cột đầu tiên của ma trận
A lập thành hệ độc lập tuyến tính. Từ s cột này ta lập
ma trận
Ai = [Aị, A2,....As1 cấp m.s
Khi đó tất cả* các cột của ma trận A đều có thể biểu
diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của s cột này. Một cách
tổng quát có thể viết
Aj = Aibj, (j= 1,2,...,n)
Việc phân tích ma trận A thành tích AịAq chứng tỏ mỗi
hàng của ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp
tuyến tính của s hàng của ma trận Ạ2- Vì theo giả thiết
trong ma trận A có thể chọn tối đa r hàng độc lập tuyến
tính nên
r < s
Tồn bộ lập luận trên đuỢc lặp lại. Nếu chúng ta biểu diễn mỗi hàng của ma trận A dưới dạng tổ hợp tuyến tính của r hàng độc lập tuyến tính cực đại, chúng ta sẽ
đi tới kết luận
s < r Từ đó suy ra rằng r = s
Nghĩa là hạng của hệ véc tơ hàng và hạng của hệ véc
tơ cột của ma trận A là bằng nhau. Và ta gọi đó là hạng
của ma trận A.
Vậy: Hạng của ma trận A bằng sô cực đại các véc tơ hàng độc lập tuyến tính hay số cực đại các véc tơ cột độc lập tuyến tính trong ma trận A.
Từ chứng minh trên ta suy ra rằng: hạng của ma trận cấp m.n nhỏ hơn hoặc bàng số nhỏ nhất trong hai sô m
và n.
Một ma trận vng cấp n có hạng bằng n (tức là bằng số hàng hoặc sô cột) được gọi là không suy biến.
Nếu hạng của ma trận vuông cấp n nhỏ hơn n, ta gọi
ma- trận đó là suy biến.