b. Điều kiện đủ.
2.4.2. Tiêu chuẩn tối ưu
Chúng ta xét bài toán (2.5) - (2.7). Nếu coi z là biến
thứ (n + 1) khi đó ta có thể phát biểu bài tốn như sau: Giải hệ (m + 1) phương trình với (n + 1) ẩn
allxl + a12x2 + ■ • • + alnxn = bl
a21xl + a22x2 + • • • + a2nxn = b2 , „ .
. ..................... (¿./10)
amlxl + am2x2 + . . • + amnxn = bm z - cpq - C2X2 + . . . - cnxn = 0
đồng thời Xj > 0 (j = 1, 2,..., n) và z đạt giá trị cực đại.
Giả sử bài tốn này có phương án cực biên vởi cơ sỗ
của nó là Ajo = {Ax, Aọ,...., Am} và phương án cực biên tương
ứng là Xo = [x/0), x2( \ ....xm(0), 0...., 0]T có m thành phần
đầu tiên không âm. Đe đánh giá phương án cực biên này ta phải khai triển các véctơ điều kiện Aj (j Ể Jo) và véctơ
b theo cơ sở Ajo> thay giá trị của Xq vào hàm mục tiêu
để đánh giá phương án. Ta biết rằng trong thực tế, để có
được các hệ số triển khai, ta phải chuyển các véctơ cơ sở
về hệ m véctơ đơn vị. về thực chất, điều này cũng có nghĩa
là ta- chuyển hệ phương trình (2.10) về hệ tương đương, ở
đó z và m ẩn đầu tiên xb x2,....,xm là các ẩn cơ sở của hệ vởi hệ số bằng 1 trong các phương trình tương ứng, cịn trong các phương trình khác hệ số của chúng bằng 0, tức
là dùng phương pháp khử dần các ẩn chuyển (2.10) về hệ tương đương: X1 + “l.m+lXm+l + • • • + CtljXj + . . . + - òi x2 + ccl)m+lxm+l + ã ã • + CljjXj + . . . + alnXn = ịi ơ “m)m+lxm+l + • • • + + ã ã + CCjjjjjXjj ịm Z + “o,m+lxm+l + • • • + <XojXj + . . . + ŒqjjXjj — ßo
(2.11) trong đó ßi > 0 (i = 1, 2,...., m)
Nếu ta gán cho các ẩn phi cơ sỏ các giá trị bằng 0, ta
nhận được phương án cực biên Xq:
\) = [ịi, ị2> ãããã> ịm>0ằ ã>0]
ứng; với nó ta có Z(Xo) = ß0
Phương án này sẽ là tối ưu nếu như khi chuyển sang một phương án khác, giá trị của hàm mục tiêu không thể
tăng nữa, cịn nếu giá trị của z cịn có thể tăng thì phương
án chưa phải là tối ưu.
Ta biết rằng, từ hệ (2.11) ta sẽ có các nghiệm khác của hệ nếu thay xm+1,...., xn bồi nhũng số thích hợp và khi đó
từ (2.11) ta có
z = ßo - ao,m+lxm+l ■ ••• ■ a0nxn
Vì ta chỉ quan tâm đến các phương án của bài tốn,
nên ta có thể chuyển sang một phương án khác, nếu ta thay các ẩn phi cơ sỏ bởi các số không âm. Chẳng hạn, ta gán cho xm+1 bỏi một giá trị dương thì giá trị của z chỉ
0^0,m+1 < O
Từ đây, chúng ta có thể phát biểu tiêu chuẩn tốì ưu
một cách đơn giản như sau:
Nếu trong phương trinh cuối của hệ (2.11), tất cả các hệ số đều không âm, tức là aOj > 0 (Vj Ế Jo) thì giá trị của z không thể tâng nữa và phương án cực biên đang xét là phương án tối ưu. Nếu cịn ít nhất một hệ số âm
thì giá trị của hàm mục tiêu z cịn có thể tăng
Nếu ta xét bài tốn min thì phương án sẽ tối ưu khi
aOj < 0 (Vj Ể Jo)
Chúng ta sẽ nghiên cứu ý nghía các hệ số của hệ (2.11)
đặc biệt các hệ số aOj trong hàng cuối của hệ này. Với mục đích đó, ta viết hệ (2.10) dưới dạng ma trận.
(2.10a)
Để chuyển về dạng (2.11), phải có giả thiết m cột đầu của A độc lập tuyến tính. Ta ký hiệu Aỉo là ma trận cơ
sở lập bởi m cột đầu tiên này và A(1) là ma trận con lập bởi các cột còn lại. Ta tách véc tơ c và X một cách thích hợp thành 2 phần: véc tơ m chiều là hệ số của các ẩn cơ sở ký hiệu Cj0 và (n-m) chiều c(1), tương tự đối với Xj0 và x(1). Chúng ta có thể viết lại hệ như sau:
z ỉk X(1) 0 AJ0 A(l)‘ 1 CT - C(1)T (2.10b) b 0
Bằng phương pháp thích hợp, chúng ta sẽ biến đổi (2.10b) về dạng (2.11). Ma trận của phép biến đổi này dễ dàng có thể xác định được là:
0
1 (2.12)
Nếu nhân về bên trái hai vế của (2.10b) vởi ma trận của phép biến đổi (2.12) ta sẽ nhận được
z + (C^A’1^ - C(1)T)X(1) = C^A-^bz z 0 E A-A» XJ. Aíb 1 0 Cj Aj'A01-c'"T WO WO X(l) cỉ AJxb 0 0 Hệ (2.13) và (2.14) là những cách viết khác của hệ chính
tắc (2.11), trong đó Xf là véctơ m chiều của các ẩn cơ sỏ, X J là véc tơ (n - m) chiều của các biến phi cơ sở, CT là
véctơ hệ sô của m ẩn cơ sỏ, c(1) là véctơ hệ số của các ẩn phi
cơ sỏ.
Bây giờ ta xét hệ số của các biến phi cơ sở Xj (j Ể Jo).
aij «2j alj a2j (2.15) amj
hoặc sau khi nhân bên trái 2 vế với ma trận Ạt ta đượcJo Y
(2.16) alj alj a2j a2j • o II . - amj _ (2.16) cũng có thể viết dưới dạng:
Aj = ctiỹAi + a2jA2 +....+ (2.16a)
Như vậy, các hệ số ajj (i = 1, 2, ,...,m) chính là các hệ
số phân tích của véẹtơ Aj theo cơ sỏ {Ab A2,....,Am} (jỂ Jo)
Bây giờ chũng ta xét các hệ số aOj suy ra từ sự đồng
nhất các phần tử ở hàng cuối của (2.11) và (2.14) a0j = - Cj (j Ể Jq) (2.17) “Ij «2j Ta thay (theo 2.15) amj nên:
aoj = Citty + c2a2j +....+ Cmamj - Cj (2.17a)
(j í Jo)
Các hệ số aOj (j Ể Jo) được dùng để kiểm tra tính tối ưu của phương án cực biên tương ứng nên hàng chứa các
hệ số aOj (j Ế Jo) được gọi là hàng kiểm tra và gọi các hệ số aOj (j Ể Jo) là các ước lượng.
Trong tính tốn thực hành, ta hay ký hiệu aOj bỏi Aj, như vậy ta có thể viết
Aj = E °iaij~cj , Vj = 1,2, ..., n (2.17b) ieJ0
»•
Ta dễ thấy Ạj = 0 với j 6 Jo nên (2.17b) đúng với mọi j = 1, 2,.....,n
Chú ý: Trong trường hợp tổng quát, nếu X là một phương án cực biên với cơ sồ là Aj = ÍẠj, Ạj2, ...,Ạj } không nhất thiết là m véctơ cột đầu tiên. Khi biết Aj và biết AjX ta
xác định được má trận của phép biến đổi
At1 ị 0
CJTÃj‘ i 1 (2.18)
Nhân bên trái hai vế của (2.10a) với (2.18) ta được:
0_ AjỊẠ________ 1 CĨA^A-C1 2^ X. AJ*b CĨA^b (2.19) ỏ đây
A^A là ma trận hệ sô của các ẩn đã được biến đổi - nó Ịà ma trận chứa các hệ số phân tích của A theo cơ
AjXb véc tơ đã được biến đổi ỏ vế phải- đó chính là các
hệ số phân tích của b theo cơ sở Aj, các thành phần của nó cho giá trị của các biến cơ sỏ trong phương án cực biên tương ứng.
CjAjXb cho giá trị của hàm mục tiêu ứng với phương án cực biên đã biết,
cJaJxA - CT là véc tơ n chiều; các thành phần của nó
cho ta các ước lượng Aj (j= 1,2,..., n)
Aj = s CjOtij-Cj , (j = 1,2,..., n) (2.20) ỉeJ
Vì X là một phương án nên phải có AjXb > 0
X là phương án tối ưu khi
CjAJxA - CT > 0 và giá trị tối ưu của hàm mục tiêu sẽ là CĨAýb.